Fiche de révision : Fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme développée
2. Forme canonique et variations
3. Parabole et représentation graphique
4. Racines et forme factorisée
5. Somme et produit des racines

📖 1. Définition et forme développée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ telle qu’il existe trois réels a, b et c, avec a ≠ 0, vérifiant pour tout réel x : f(x) = ax² + bx + c.

📝 Points essentiels

• Dans la forme développée f(x) = ax² + bx + c, le coefficient c est égal à f(0).

• La forme développée de 2(5 - x)(4x + 3) est -8x² + 34x + 30.

📌 Les fonctions 2x + 1, 3x³ et 5x² + 1/x sont respectivement une fonction affine, une fonction polynôme du troisième degré et une fonction rationnelle, et non des fonctions polynômes du second degré.

📖 2. Forme canonique et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’une fonction polynôme du second degré s’écrit f(x) = a(x - α)² + β, avec a ≠ 0, et elle est unique.

★ À maîtriser

📌 Si a > 0, la fonction est décroissante sur ]-∞ ; α] puis croissante sur [α ; +∞[ ; si a < 0, elle est croissante sur ]-∞ ; α] puis décroissante sur [α ; +∞[.

Compléments

• Pour x² - 3x + 1, on obtient α = -b/(2a) = 3/2 et β = -1,25.

💡 Astuce mémo

a > 0 : minimum ; a < 0 : maximum

📖 3. Parabole et représentation graphique

📝 Points essentiels

• La courbe représentative de f(x) = a(x - α)² + β est une parabole de sommet S(α ; β) et d’axe de symétrie la droite d’équation x = α.

📌 Si a > 0, la parabole a ses bras tournés vers le haut et son minimum β = f(α) est atteint en α.

• Si a < 0, la parabole a ses bras tournés vers le bas et son maximum β = f(α) est atteint en α.

💡 Astuce mémo

Une parabole pose son sommet S(α ; β) sur l’axe x = α.

📖 4. Racines et forme factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Nombre réel x₀ tel que P(x₀) = 0, ce qui signifie que x₀ est une solution de l’équation P(x) = 0.
• Forme factorisée : La forme factorisée d’une fonction polynôme du second degré est f(x) = a(x - x₁)(x - x₂), avec a ≠ 0 et x₁, x₂ réels.

📝 Points essentiels

• Graphiquement, une racine réelle correspond à l’abscisse d’un point où la parabole coupe l’axe des abscisses.

📌 Un polynôme du second degré ayant une forme factorisée réelle possède exactement les deux racines x₁ et x₂, éventuellement égales.

• Le polynôme P(x) = x² + 1 n’a aucune racine réelle, car x² + 1 ≥ 1 > 0 pour tout réel x, et il ne peut donc pas être factorisé dans ℝ sous la forme a(x - x₁)(x - x₂).

💡 Astuce mémo

Racines réelles → intersections avec l’axe des abscisses → forme factorisée possible.

📖 5. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Si P(x) = ax² + bx + c admet deux racines x₁ et x₂, éventuellement égales, alors leur somme vérifie $x₁ + x₂ = -\\frac{b}{a}$ et leur produit vérifie $x₁x₂ = \\frac{c}{a}$.

Compléments

• Pour f(x) = 3x² - 5x + 2, -1 est une racine et la somme des deux racines permet d’en déduire l’autre racine.

💡 Astuce mémo

Somme : -b/a ; produit : c/a.