QCM : Fonctions du second degré — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la définition d’une fonction polynôme du second degré :

Elle est définie sur R\mathbb{R} et s’écrit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\neq0.
Elle comporte un terme en x2x^2 dont le coefficient est non nul.
Elle utilise trois réels aa, bb et cc dans son expression développée.
Elle est définie sur R\mathbb{R} avec un coefficient aa pouvant être nul.
Elle est une fonction affine lorsque son coefficient de x2x^2 est non nul.

Elle est définie sur $$\mathbb{R}$$ et s’écrit $$f(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a\neq0$$. · Elle comporte un terme en $$x^2$$ dont le coefficient est non nul. · Elle utilise trois réels $$a$$, $$b$$ et $$c$$ dans son expression développée.

Explication

Une fonction polynôme du second degré est définie sur R\mathbb{R} et comporte un terme ax2ax^2 avec a≠0a\neq0. Une fonction affine est de degré 1 et ne répond donc pas à cette définition, tandis que la présence de trois réels a,b,ca,b,c caractérise bien la forme développée.

2. Parmi les propositions suivantes concernant la forme développée, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le développement de 2(5−x)(4x+3)2(5-x)(4x+3) est −8x2+34x+30-8x^2+34x+30.
La fonction 3x33x^3 est un polynôme du second degré.
Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, la valeur f(0)f(0) est égale à cc.
Dans ax2+bx+cax^2+bx+c, le coefficient aa est égal à f(0)f(0).
La fonction 5x2+1/x5x^2+1/x est un polynôme du second degré.

Le développement de $$2(5-x)(4x+3)$$ est $$-8x^2+34x+30$$. · Pour $$f(x)=ax^2+bx+c$$, la valeur $$f(0)$$ est égale à $$c$$.

Explication

Dans la forme développée, le terme constant est obtenu en prenant x=0x=0, donc f(0)=cf(0)=c. Le développement donné est correct, tandis que les fonctions citées relèvent respectivement des degrés affine et cubique ou ne sont pas des polynômes.

3. Concernant la forme canonique et les variations d’un polynôme du second degré :

La forme canonique utilise les coefficients aa, bb et cc comme paramètres principaux.
Si a>0a>0, la fonction décroît jusqu’à α\alpha puis croît après α\alpha.
Si a<0a<0, la fonction décroît jusqu’à α\alpha puis croît après α\alpha.
La forme canonique s’écrit f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta avec a≠0a\neq0.
Cette écriture canonique est unique pour une fonction donnée.

Si $$a>0$$, la fonction décroît jusqu’à $$\alpha$$ puis croît après $$\alpha$$. · La forme canonique s’écrit $$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$ avec $$a\neq0$$. · Cette écriture canonique est unique pour une fonction donnée.

Explication

La forme canonique s’écrit a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta avec a≠0a\neq0 et elle est unique. Les variations dépendent du signe de aa : pour a>0a>0, la fonction décroît puis croît, alors que pour a<0a<0 elle croît puis décroît.

4. Pour la fonction f(x)=x2−3x+1f(x)=x^2-3x+1, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le sommet possède pour coordonnées (−1,25 ; 3/2)(-1,25\ ;\ 3/2).
La valeur α=−1,25\alpha=-1,25 donne l’ordonnée du sommet.
La valeur β=3/2\beta=3/2 donne l’abscisse du sommet.
L’ordonnée du sommet est β=−1,25\beta=-1,25.
L’abscisse du sommet est α=3/2\alpha=3/2.

L’ordonnée du sommet est $$\beta=-1,25$$. · L’abscisse du sommet est $$\alpha=3/2$$.

Explication

Pour x2−3x+1x^2-3x+1, on a a=1a=1 et b=−3b=-3, donc α=−b/(2a)=3/2\alpha=-b/(2a)=3/2 et β=−1,25\beta=-1,25. La valeur α\alpha correspond à l’abscisse du sommet, tandis que β\beta en donne l’ordonnée.

5. Les éléments graphiques associés à f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta comprennent :

Un axe de symétrie d’équation y=αy=\alpha.
Un sommet situé aux coordonnées S(β ; α)S(\beta\ ;\ \alpha).
Un axe de symétrie d’équation x=αx=\alpha.
Une parabole dont l’axe de symétrie passe par l’abscisse α\alpha.
Un sommet de coordonnées S(α ; β)S(\alpha\ ;\ \beta).

Un axe de symétrie d’équation $$x=\alpha$$. · Une parabole dont l’axe de symétrie passe par l’abscisse $$\alpha$$. · Un sommet de coordonnées $$S(\alpha\ ;\ \beta)$$.

Explication

La forme canonique permet de lire le sommet S(α;β)S(\alpha;\beta) et l’axe de symétrie x=αx=\alpha. Le sommet n’est donc pas l’axe, et l’équation de l’axe ne contient pas β\beta.

6. Concernant une parabole associée à une fonction polynôme du second degré, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Si a<0a<0, elle possède un minimum atteint en α\alpha.
Si a>0a>0, son maximum égal à β\beta est atteint en α\alpha.
Si a<0a<0, ses bras sont tournés vers le haut.
Si a>0a>0, elle possède un minimum égal à β=f(α)\beta=f(\alpha).
Si a>0a>0, ses bras sont tournés vers le haut.

Si $$a>0$$, elle possède un minimum égal à $$\beta=f(\alpha)$$. · Si $$a>0$$, ses bras sont tournés vers le haut.

Explication

Lorsque a>0a>0, les bras de la parabole sont tournés vers le haut et le minimum β=f(α)\beta=f(\alpha) est atteint en α\alpha. Le maximum et les bras vers le bas correspondent au cas a<0a<0.

7. Pour une fonction dont la forme canonique vérifie a<0a<0, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La parabole a ses bras tournés vers le haut.
La fonction possède un minimum égal à β\beta atteint en α\alpha.
Le maximum est atteint lorsque x=αx=\alpha.
La parabole a ses bras tournés vers le bas.
La fonction possède un maximum égal à β=f(α)\beta=f(\alpha).

Le maximum est atteint lorsque $$x=\alpha$$. · La parabole a ses bras tournés vers le bas. · La fonction possède un maximum égal à $$\beta=f(\alpha)$$.

Explication

Lorsque a<0a<0, la parabole est tournée vers le bas et possède un maximum. Ce maximum vaut β=f(α)\beta=f(\alpha) et est atteint pour x=αx=\alpha; le minimum correspond au cas a>0a>0.

8. Concernant les racines et la forme factorisée, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La forme factorisée d’un trinôme s’écrit f(x)=a(x+x1)(x+x2)f(x)=a(x+x_1)(x+x_2) avec a≠0a\ne0.
Une racine d’un polynôme est un réel vérifiant P(x0)=1P(x_0)=1.
Une racine d’un polynôme est un réel vérifiant P(x0)=0P(x_0)=0.
La forme factorisée réelle s’écrit f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) avec a≠0a\ne0.
La forme développée fait apparaître directement les deux racines du polynôme.

Une racine d’un polynôme est un réel vérifiant $$P(x_0)=0$$. · La forme factorisée réelle s’écrit $$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$ avec $$a\ne0$$.

Explication

Une racine est un réel qui annule le polynôme, donc qui vérifie P(x0)=0P(x_0)=0. La forme factorisée d’un trinôme réel s’écrit a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2) avec a≠0a\ne0 et fait apparaître ses racines.

9. Les caractéristiques graphiques et algébriques des racines comprennent :

Une racine réelle correspond à l’ordonnée d’un point où la parabole coupe l’axe des abscisses.
Un second degré sous forme factorisée réelle possède les racines x1x_1 et x2x_2, éventuellement égales.
Une racine réelle correspond à l’abscisse d’un point de la parabole situé sur l’axe des abscisses.
Le sommet d’une parabole correspond à une racine réelle dans toute situation.
Une parabole possède deux racines réelles dès qu’elle possède un sommet.

Un second degré sous forme factorisée réelle possède les racines $$x_1$$ et $$x_2$$, éventuellement égales. · Une racine réelle correspond à l’abscisse d’un point de la parabole situé sur l’axe des abscisses.

Explication

Graphiquement, une racine réelle est l’abscisse d’un point où la parabole coupe l’axe des abscisses. Un trinôme possédant une forme factorisée réelle admet les deux racines indiquées, qui peuvent être égales.

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Qu'est-ce qu'une fonction polynôme du second degré ?

C'est une fonction définie par f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0.

Que vaut le coefficient c dans f(x) = ax² + bx + c ?

Le coefficient c est égal à f(0).

Quelle est la forme développée de 2(5 - x)(4x + 3) ?

La forme développée est -8x² + 34x + 30.

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