Flashcards : Intégrales et équations différentielles (56 cartes)

À quelles conditions $F$ est-elle une primitive de $f$ sur $I$ ?

Que différencie deux primitives d’une même fonction sur un intervalle ?

Pour une fonction continue sur $[a,b]$, que représente son intégrale de $a$ à $b$ ?

Comment compte-t-on l’aire algébrique au-dessus de l’axe des abscisses ?

Comment compte-t-on l’aire algébrique en dessous de l’axe des abscisses ?

Quelles propriétés l’intégrale de fonctions continues vérifie-t-elle sur un intervalle ?

Quand l’intégrale d’une fonction continue est-elle strictement positive ?

Quelle propriété garantit l’existence d’une primitive pour toute fonction continue sur un intervalle ?

Quelle fonction est une primitive de $f$ lorsque $f$ est continue sur $I$ et que $a\in I$ ?

Quelle est la valeur de $F(a)$ pour $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ ?

Comment calculer $\int_a^b f(x)\,dx$ à l’aide d’une primitive $F$ ?

Quelle formule d’intégration par parties s’applique à des fonctions de classe $C^1$ sur $[a,b]$ ?

Quelle formule donne le changement de variable $x=\phi(t)$ dans une intégrale ?

Quelles opérations réalise-t-on pour effectuer un changement de variable dans une intégrale ?

Comment définit-on l’intégrale complexe de $f:I\to\mathbb{C}$ ?

Quelles méthodes d’intégration restent valables pour les fonctions complexes ?

Quelles primitives usuelles associe-t-on à $x^n$, avec $n\in\mathbb{N}$ ?

Quelle primitive usuelle associe-t-on à $x^\alpha$, avec $\alpha\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ ?

Quelle forme définit une équation différentielle linéaire d’ordre 1 ?

Quelle équation homogène associe-t-on à $y'+a(x)y=b(x)$ ?

Quelle est la forme des solutions homogènes si $A$ est une primitive de $a$ ?

Sous quelle forme la variation de la constante cherche-t-elle une solution particulière ?

Comment détermine-t-on $\lambda$ par variation de la constante ?

Comment s’écrivent toutes les solutions si $f$ est une solution particulière ?

Quelle forme caractérise une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants ?

Quels ensembles peuvent constituer $K$ dans cette équation ?

Quel polynôme caractéristique associe-t-on à $ay''+by'+cy=0$ ?

De quoi dépendent les solutions réelles d’une équation homogène d’ordre 2 ?

De quelles solutions se compose toute solution d’une équation non homogène d’ordre 2 ?

Quelle forme essayer pour un second membre $Ce^{\alpha x}$ si $\alpha$ n’est pas racine du polynôme caractéristique ?

Quelle forme essayer pour un second membre $Ce^{\alpha x}$ si $\alpha$ est une racine simple du polynôme caractéristique ?

Quelle forme essayer pour un second membre $Ce^{\alpha x}$ si $\alpha$ est une racine double du polynôme caractéristique ?

Quelle relation lie les degrés de $R(x)$ et $Q(x)$ lorsque $0$ n’est pas racine du polynôme caractéristique ?

Quel second membre correspond à la solution $y_1+y_2$ selon le principe de superposition ?

Quelle condition initiale complète le problème de Cauchy pour $y'+a(x)y=b(x)$ ?

Combien de solutions possède un problème de Cauchy linéaire du premier ordre à coefficients continus ?

Quelles conditions initiales déterminent la solution d’un problème de Cauchy linéaire du second ordre à coefficients constants ?

Quelle régularité possède toute primitive d’une fonction continue sur un intervalle ?

Comment la recherche d’une primitive se compare-t-elle au calcul d’une dérivée ?

Que peut-on généralement déduire de primitives connues de deux fonctions concernant leur produit ?

Que peut-on généralement déduire de primitives connues de deux fonctions concernant leur quotient ?

Que peut-on généralement déduire de primitives connues de deux fonctions concernant leur composée ?

Pour une fonction intégrable, que devient son intégrale quand on inverse les bornes ?

Quels réels encadrent une fonction continue sur $[a,b]$ ?

Entre quelles expressions l’intégrale d’une fonction bornée par $m$ et $M$ sur $[a,b]$ est-elle comprise ?

Que désigne la notation d’une primitive sans constante ?

Que vérifie-t-on après avoir choisi les facteurs d’une intégration par parties ?

Quel est l’ensemble de départ d’une fonction à valeurs complexes dans cette définition ?

Pourquoi une fonction à valeurs complexes n’est-elle pas définie en $1+i$ dans ce cadre ?

Comment construire une primitive complexe à partir de primitives des parties réelle et imaginaire ?

Quelle primitive de $\ln x$ est donnée sur $\mathbb{R}_+^*$ ?

Quelle forme générale obtient-on avec deux racines complexes distinctes $\alpha$ et $\beta$ ?

Quelle forme générale obtient-on avec une racine double complexe $\alpha$ ?

Sous quelle forme s’écrit l’équation d’ordre deux si $0$ est racine et si le second membre est polynomial ?

Quelle substitution ramène $ay''+by'=Q(x)$ à une équation d’ordre un ?

Quelle partie de la solution complexe prendre pour un second membre $Ae^{\alpha x}\cos(\omega x)$ ?