Fiche de révision : Intégrales et équations différentielles

📋 Plan du Cours

1. Primitives et régularité
2. Intégrale et propriétés fondamentales
3. Théorème fondamental et calcul intégral
4. Intégration par parties
5. Changement de variable
6. Intégrales complexes
7. Primitives usuelles
8. Équations linéaires d’ordre un
9. Équations d’ordre deux homogènes
10. Solutions particulières d’ordre deux
11. Problèmes de Cauchy

📖 1. Primitives et régularité

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si F'(x)=f(x) pour tout x de I.

★ À maîtriser

📌 Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante réelle.

Compléments

• Si f est continue sur un intervalle, toute primitive F de f est de classe C¹.

• La recherche d’une primitive est en général plus difficile que le calcul d’une dérivée, et connaître des primitives de deux fonctions ne permet généralement pas d’en déduire une primitive de leur produit, de leur quotient ou de leur composée.

💡 Astuce mémo

Primitive : même dérivée ; les fonctions ne diffèrent que d’une constante.

📖 2. Intégrale et propriétés fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale : Pour une fonction continue f sur [a,b], son intégrale de a à b est l’aire algébrique sous sa courbe entre a et b.

★ À maîtriser

📌 L’aire algébrique est comptée positivement au-dessus de l’axe des abscisses et négativement en dessous.

📌 Pour f et g continues sur un intervalle, l’intégrale est linéaire et vérifie la relation de Chasles, l’inégalité triangulaire, la positivité et la croissance ; elle est strictement positive si a<b et si f est strictement positive sauf en un nombre fini de points.

Compléments

📌 Pour une fonction intégrable, inverser les bornes change le signe : $\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$.

• Si f est continue sur [a,b], elle y est bornée par des réels m et M, et son intégrale est comprise entre (b−a)m et (b−a)M.

💡 Astuce mémo

Au-dessus de l’axe : positif ; en dessous : négatif.

📖 3. Théorème fondamental et calcul intégral

★ À maîtriser

• Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I.

📐 Formule - Pour f continue sur I et a∈I, la fonction $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ est une primitive de f qui s’annule en a.

📐 Formule - Si F est une primitive de f continue sur [a,b], alors $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=[F(x)]_a^b$.

Compléments

• La notation d’une primitive sans constante désigne une famille de fonctions égales à une constante additive près, et non une fonction unique.

📖 4. Intégration par parties

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour u,v de classe C¹ sur [a,b], l’intégration par parties donne $\int_a^b u'(x)v(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u(x)v'(x)\,dx$.

Compléments

• Pour choisir une intégration par parties, on écrit le produit de façon à pouvoir dériver un facteur et intégrer l’autre, puis on vérifie que la nouvelle intégrale est plus simple.

📖 5. Changement de variable

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si ϕ∈C¹(I,J) et f est continue sur J, le changement de variable x=ϕ(t) donne $\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,dt=\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}f(x)\,dx$.

• Pour effectuer un changement de variable, on transforme les bornes, on remplace l’expression de l’intégrande et on exprime la différentielle à l’aide de la dérivée du changement de variable.

💡 Astuce mémo

Bornes, expression, différentielle : les trois étapes du changement de variable.

📖 6. Intégrales complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale complexe : Pour une fonction f:I→ℂ, avec I intervalle réel, son intégrale est la somme de l’intégrale de sa partie réelle et de i fois celle de sa partie imaginaire.

★ À maîtriser

• Si F est une primitive de f à valeurs complexes, alors $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$, et les formules d’intégration par parties et de changement de variable restent valables.

Compléments

📌 Une fonction à valeurs complexes a pour ensemble de départ un intervalle réel ; son évaluation en un nombre complexe tel que 1+i n’est donc pas définie.

• Si F_Re et F_Im sont des primitives des parties réelle et imaginaire de f, alors F_Re+iF_Im est une primitive de f.

📖 7. Primitives usuelles

★ À maîtriser

• Les primitives usuelles incluent celles de xⁿ (n∈ℕ), x^α (α∈ℝ{-1}), 1/x, eˣ, cos x, sin x, 1/cos²x, sh x, ch x, ±1/√(1−x²), 1/(1+x²) et ln x, sur les intervalles indiqués par leur domaine de définition.

Compléments

• La fonction ln x a pour primitive x ln x−x sur ℝ*⁺.

📖 8. Équations linéaires d’ordre un

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle linéaire d’ordre 1 : Une équation différentielle linéaire d’ordre 1 est une équation d’inconnue y∈C¹(I,ℝ) de la forme y′+a(x)y=b(x), où a et b sont continues sur I ; son équation homogène associée est y′+a(x)y=0.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si A est une primitive de a sur I, les solutions de l’équation homogène y′+a(x)y=0 sont $y(x)=\lambda e^{-A(x)}$, où λ∈ℝ.

• La variation de la constante cherche une solution particulière de y′+a(x)y=b(x) sous la forme y(x)=λ(x)e^(−A(x)), où A′=a, puis détermine λ comme une primitive de b(x)e^(A(x)).

📌 Si f est une solution particulière de l’équation linéaire non homogène et y_h parcourt les solutions de l’équation homogène, toutes les solutions sont y=y_h+f.

📖 9. Équations d’ordre deux homogènes

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle linéaire d’ordre 2 : Une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants a la forme ay″+by′+cy=d(x), avec a∈K*, b,c∈K et d continue, où K=ℝ ou ℂ.
• Polynôme caractéristique : Pour l’équation homogène ay″+by′+cy=0, le polynôme caractéristique est P(r)=ar²+br+c.

★ À maîtriser

• Les solutions réelles de l’équation homogène d’ordre 2 dépendent du discriminant du polynôme caractéristique.

📌 Pour une équation non homogène d’ordre 2, toute solution est la somme d’une solution particulière et d’une solution de l’équation homogène associée.

Compléments

• Pour une équation homogène à coefficients complexes, deux racines distinctes α et β donnent y=λe^(αx)+μe^(βx), tandis qu’une racine double α donne y=(λx+μ)e^(αx), avec λ,μ∈ℂ.

📖 10. Solutions particulières d’ordre deux

★ À maîtriser

• La forme d’une solution particulière dépend de la multiplicité de α :
  • Si α n’est pas racine, essayer Be^(αx).
  • Si α est racine simple, essayer Bxe^(αx).
  • Si α est racine double, essayer Bx²e^(αx).

📌 Pour un second membre polynomial Q(x), il existe une solution particulière polynomiale R(x), et deg R=deg Q si et seulement si 0 n’est pas racine du polynôme caractéristique.

📌 Le principe de superposition affirme que si y₁ et y₂ résolvent la même équation linéaire avec seconds membres d₁ et d₂, alors y₁+y₂ résout l’équation avec second membre d₁+d₂.

Compléments

• Si 0 est racine du polynôme caractéristique d’une équation d’ordre 2 dont le second membre est polynomial, l’équation est de la forme ay″+by′=Q(x) et la substitution z=y′ la ramène à une équation d’ordre 1.

• Pour un second membre Ae^(αx)cos(ωx) ou Ae^(αx)sin(ωx), on peut chercher une solution complexe pour le second membre Ae^((α+iω)x), puis prendre respectivement sa partie réelle ou imaginaire.

📖 11. Problèmes de Cauchy

🔑 Notions clés & Définitions

• Problème de Cauchy : Pour l’équation y′+a(x)y=b(x), un problème de Cauchy impose en plus une condition initiale y(x₀)=y₀.

📝 Points essentiels

• Pour une équation différentielle linéaire d’ordre 1 à coefficients continus sur un intervalle, tout problème de Cauchy possède une unique solution sur cet intervalle.

• Pour une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants avec second membre continu, les conditions y(x₀)=y₀ et y′(x₀)=y′₀ déterminent une unique solution.