QCM : Intégrales et équations différentielles (28 questions)

Question 1

1. Sur un intervalle $I$ , quelle condition caractérise une fonction $F$ comme primitive de $f$ ?

F

est dérivable sur

I

et

F'(x)=f(x)

pour tout

x\in I

F'(x)=f(x)

en au moins un point de

I

F

est continue sur

I

et

F(x)=f'(x)

pour tout

x\in I

F'(x)=0

pour tout

x\in I

et

f

est dérivable sur

I

Explication

Une primitive doit être dérivable sur l’intervalle et sa dérivée doit coïncider avec $f$ en chaque point. La dérivée nulle confond primitive et fonction constante, tandis que l’égalité en un seul point ou l’inversion des fonctions ne suffit pas.

Answer

$$F$$ est dérivable sur $$I$$ et $$F'(x)=f(x)$$ pour tout $$x\in I$$

Question 2

2. Deux fonctions $F$ et $G$ sont primitives de la même fonction sur un intervalle $I$ . Que peut-on affirmer de leur différence sur $I$ ?

F-G

est une constante réelle

F=G

en tout point de

I

F/G

est une constante réelle

F-G

est une fonction linéaire non constante

Explication

Deux primitives d’une même fonction ont la même dérivée ; la dérivée de leur différence est donc nulle, ce qui implique que cette différence est constante sur l’intervalle. L’égalité des primitives est un cas particulier, mais elles peuvent différer d’une constante non nulle.

Answer

$$F-G$$ est une constante réelle

Question 3

3. Pour une fonction continue $f$ sur $[a,b]$ , que représente $\int_a^b f(x)\,dx$ ?

L’aire algébrique sous la courbe entre

a

et

b

La valeur moyenne de

f

entre

a

et

b

La longueur de la courbe entre

a

et

b

L’aire géométrique entre la courbe et l’axe des abscisses

Explication

L’intégrale d’une fonction continue sur un segment représente l’aire algébrique sous sa courbe sur cet intervalle. Contrairement à l’aire géométrique, cette aire tient compte du signe de la fonction.

Answer

L’aire algébrique sous la courbe entre $$a$$ et $$b$$

Question 4

4. Sur un intervalle, une courbe se trouve au-dessus de l’axe des abscisses sur une partie et en dessous sur une autre. Comment les deux contributions interviennent-elles dans son aire algébrique ?

La partie au-dessus compte positivement et celle en dessous négativement

Les deux parties comptent positivement, comme des aires géométriques

La partie en dessous compte positivement et celle au-dessus négativement

Les deux parties comptent négativement, selon l’orientation de la courbe

Explication

L’aire algébrique est positive au-dessus de l’axe des abscisses et négative en dessous. Compter les deux parties positivement correspond à une aire géométrique, non à l’aire algébrique.

Answer

La partie au-dessus compte positivement et celle en dessous négativement

Question 5

5. Une fonction continue $f$ est strictement positive sur $[a,b]$ sauf en un nombre fini de points, avec $a<b$ . Que peut-on conclure sur son intégrale de $a$ à $b$ ?

Son intégrale est nulle

Son intégrale est strictement négative

Son intégrale est strictement positive

Son intégrale est nécessairement égale à

b-a

Explication

Sur un intervalle de longueur positive, une fonction continue positive sauf en un nombre fini de points a une intégrale strictement positive. La présence de quelques zéros ne rend donc pas l’intégrale nulle.

Answer

Son intégrale est strictement positive

Question 6

6. Quelle propriété le théorème fondamental garantit-il pour une fonction continue sur un intervalle ?

Elle est dérivable sur cet intervalle.

Elle admet une intégrale strictement positive sur cet intervalle.

Elle atteint un maximum sur cet intervalle.

Elle admet une primitive sur cet intervalle.

Explication

Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle. La dérivabilité de la fonction elle-même ne découle pas de sa continuité, l’existence d’un maximum exige des conditions supplémentaires, et la positivité de l’intégrale n’est pas garantie.

Answer

Elle admet une primitive sur cet intervalle.

Question 7

7. Pour une fonction continue f sur un intervalle I et un point a de I, on définit $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ . Que peut-on affirmer de F ?

F est une primitive de −f et F(a)=0.

F est une primitive de f et F(a) peut être toute constante.

F est une primitive de f et F(a)=0.

F est une primitive de f et F(a)=f(a).

Explication

La fonction définie par l’intégrale de a à x a pour dérivée f et vaut zéro lorsque x=a. La primitive de −f inverse le signe de la dérivée, f(a) n’est pas la valeur de l’intégrale en a, et la condition initiale fixe ici la constante.

Answer

F est une primitive de f et F(a)=0.

Question 8

8. Une fonction continue f sur [2,5] admet une primitive F telle que F(2)=3 et F(5)=−1. Quelle est la valeur de $\int_2^5 f(x)\,dx$ ?

4

−4

2

3

Explication

Le théorème fondamental donne $\int_2^5 f(x)\,dx=F(5)-F(2)=−1−3=−4$ . La valeur 4 inverse la soustraction, 2 additionne les valeurs aux bornes, et 3 correspond à la longueur de l’intervalle.

Answer

$$[x^2e^x]_0^2-\int_0^2 x^2e^x\,dx$$

Answer

Retenir une décomposition seulement si la nouvelle intégrale devient plus simple à calculer.

Answer

$$\int_1^3 2t f(t^2)\,dt$$

Answer

Prendre les bornes $$1$$ et $$7$$, remplacer $$f(3t+1)$$ par $$f(x)$$ et utiliser $$dt=\frac{dx}{3}$$

Answer

Par $$\int_a^b\operatorname{Re}(f(x))\,dx+i\int_a^b\operatorname{Im}(f(x))\,dx$$

Answer

$$\arcsin x$$

Answer

$$x\ln x-x$$

Answer

$$y'+2y=\sin x$$ ; homogène : $$y'+2y=0$$

Answer

$$y(x)=\lambda e^{-3x}$$

Answer

$$y=y_h+f$$

Answer

$$P(r)=ar^2+br+c$$

Answer

Le discriminant du polynôme caractéristique

Answer

Comme la somme d’une solution particulière et d’une solution homogène

Answer

$$(\lambda x+\mu)e^{\alpha x}$$

Answer

$$Bxe^{\alpha x}$$

Answer

Le degré 3

Answer

$$y_1+y_2$$

Answer

La condition $$y(x_0)=y_0$$

Answer

Une unique solution existe sur $$[-2,3]$$

Answer

Une unique solution de l’équation

Question 9

9. Sur [0,2], on choisit $u(x)=x^2$ et $v(x)=e^x$ . Quelle expression donne l’intégration par parties de $\int_0^2 2xe^x\,dx$ ?

[x^2e^x]_0^2-\int_0^2 x^2e^x\,dx

\int_0^2 x^2e^x\,dx

[x^2e^x]_0^2+\int_0^2 x^2e^x\,dx

[2xe^x]_0^2-\int_0^2 x^2e^x\,dx

Explication

Avec u=x² et v=eˣ, la formule donne $\int u'v=[uv]_0^2-\int uv'$ , soit l’expression indiquée. L’intégrale seule omet le terme aux bornes, le signe positif inverse le signe de la formule, et le terme aux bornes doit contenir u et v, non u' et v.

Question 10

10. Pour calculer $\int_0^1 x^3e^{-x^2}\,dx$ par intégration par parties, un étudiant envisage de dériver $e^{-x^2}$ et de prendre une primitive de $x^3$ ; cela produit ensuite une intégrale contenant $x^5e^{-x^2}$ . Quel critère devrait guider son choix ?

Retenir la décomposition qui augmente la puissance de x dans l’intégrale restante.

Dériver l’exponentielle composée et intégrer l’autre facteur dans tous les cas.

Retenir la décomposition qui donne une primitive immédiate d’un des facteurs.

Retenir une décomposition seulement si la nouvelle intégrale devient plus simple à calculer.

Explication

Le choix d’une intégration par parties doit permettre de dériver un facteur et d’intégrer l’autre, puis de vérifier que l’intégrale obtenue est plus simple. Une primitive immédiate ne suffit pas si la suite se complique; dériver l’exponentielle ou augmenter la puissance ne constitue pas un critère de simplification.

Question 11

11. On pose $x=\phi(t)=t^2$ sur $[1,3]$ . Quelle intégrale en $t$ est égale à $\int_1^9 f(x)\,dx$ ?

\int_1^3 f(t^2)\,dt

\int_1^3 2t f(t^2)\,dt

\int_1^3 2t f(t)\,dt

\int_9^1 2t f(t^2)\,dt

Explication

Avec $x=t^2$ , on a $dx=2t\,dt$ et les bornes $x=1,9$ correspondent à $t=1,3$ . Ne pas inclure $2t$ oublie la dérivée, inverser les bornes change l’orientation, et garder $f(t)$ ne remplace pas correctement son argument.

Question 12

12. Pour calculer $\int_0^2 f(3t+1)\,dt$ en posant $x=3t+1$ , quelle démarche transforme correctement l’intégrale ?

Prendre les bornes

1

et

7

, remplacer

f(3t+1)

par

f(x)

et utiliser

dt=3\,dx

Prendre les bornes

1

et

7

, remplacer

f(3t+1)

par

f(x)

et utiliser

dt=\frac{dx}{3}

Prendre les bornes

1

et

7

, garder

f(3t+1)

et utiliser

dt=\frac{dx}{3}

Garder les bornes

0

et

2

, remplacer

f(3t+1)

par

f(x)

et utiliser

dt=\frac{dx}{3}

Explication

La substitution donne $x(0)=1$ , $x(2)=7$ et $dx=3\,dt$ , donc $dt=\frac{dx}{3}$ ; l’argument devient $f(x)$ . Garder les bornes initiales ne les transforme pas, utiliser $3\,dx$ inverse la relation différentielle, et conserver $f(3t+1)$ ne remplace pas l’intégrande.

Question 13

13. Une fonction $f:I\to\mathbb{C}$ est intégrée sur un intervalle réel $[a,b]$ . Comment définit-on son intégrale ?

Par

\int_a^b|f(x)|\,dx

Par

\int_a^b\operatorname{Re}(f(x))\,dx+i\int_a^b\operatorname{Im}(f(x))\,dx

Par

i\int_a^b\operatorname{Re}(f(x))\,dx+\int_a^b\operatorname{Im}(f(x))\,dx

Par

\int_a^b\operatorname{Re}(f(x))\,dx+\int_a^b\operatorname{Im}(f(x))\,dx

Explication

L’intégrale complexe est construite en intégrant séparément les parties réelle et imaginaire, puis en multipliant l’intégrale de la partie imaginaire par $i$ . L’intégrale du module remplace les composantes par une quantité réelle, tandis que les deux autres expressions placent incorrectement le facteur $i$ ou l’omettent.

Question 14

14. Sur l’intervalle $]-1,1[$ , quelle fonction a pour dérivée $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ?

\arctan x

\arcsin x

\ln x

\arccos x

Explication

La dérivée de $\arcsin x$ est $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ sur $]-1,1[$ . $\arccos x$ a la dérivée opposée, $\ln x$ a pour dérivée $1/x$ et $\arctan x$ a pour dérivée $1/(1+x^2)$ .

Question 15

15. Pour $x>0$ , quelle expression est une primitive de $\ln x$ ?

x\ln x+x

\frac{1}{2}(\ln x)^2

x\ln x-x

\ln x-x

Explication

Sur $\mathbb{R}_+^*$ , une primitive de $\ln x$ est $x\ln x-x$ , car sa dérivée vaut $\ln x+1-1=\ln x$ . Le signe du terme correctif est inversé dans $x\ln x+x$ , tandis que les deux autres expressions ne dérivent pas en $\ln x$ .

Question 16

16. Laquelle des équations suivantes est une équation différentielle linéaire d’ordre un avec son équation homogène associée correctement identifiée ?

y'+2y=\sin x

; homogène :

y'+2y=0

y'+2y=\sin x

; homogène :

y'+2y=\sin x

y''+2y=\sin x

; homogène :

y''+2y=0

y'+y^2=\sin x

; homogène :

y'+y^2=0

Explication

Une équation linéaire d’ordre un s’écrit $y'+a(x)y=b(x)$ , et l’équation homogène associée s’obtient en posant le second membre égal à zéro. Garder $\sin x$ conserve le second membre, le terme $y^2$ rend l’équation non linéaire, et $y''$ donne une équation d’ordre deux.

Question 17

17. Pour résoudre l’équation homogène $y'+3y=0$ sur $\mathbb{R}$ , quelle forme décrit toutes les solutions ?

y(x)=\lambda e^{3x}

y(x)=\lambda e^{-3x}

y(x)=\lambda e^{-x}

y(x)=3e^{-3x}+\lambda

Explication

Ici, une primitive de $a(x)=3$ est $A(x)=3x$ , donc les solutions homogènes sont $y(x)=\lambda e^{-A(x)}=\lambda e^{-3x}$ . Le signe positif donne une fonction croissante qui ne satisfait pas l’équation, et les autres formes ne respectent pas la formule générale.

Question 18

18. Une équation linéaire non homogène possède une solution particulière $f$ . Comment décrire l’ensemble de ses solutions à partir des solutions $y_h$ de l’équation homogène associée ?

y=y_h

y=y_h-f

y=y_h+f

y=f+\lambda

Explication

Toutes les solutions de l’équation non homogène s’obtiennent en ajoutant une solution particulière à une solution de l’équation homogène : $y=y_h+f$ . La forme $y=y_h$ omet la solution particulière, $y_h-f$ utilise le mauvais signe, et une constante ajoutée à $f$ ne représente pas généralement toutes les solutions homogènes.

Question 19

19. Pour l’équation homogène $ay''+by'+cy=0$ , quelle expression définit le polynôme caractéristique ?

P(r)=a'r^2+b'r+c'

P(r)=ar^2+c

P(r)=ar^2+br+c

P(r)=ar^2+br

Explication

On construit le polynôme caractéristique en remplaçant les dérivées par les puissances de la variable $r$ , ce qui donne $P(r)=ar^2+br+c$ . L’omission de $br$ oublie le terme en $y'$ , tandis que les autres propositions confondent polynôme et équation ou dérivent les coefficients.

Question 20

20. Pour résoudre une équation homogène réelle d’ordre deux à coefficients constants, quelle donnée permet de distinguer les cas possibles pour les solutions ?

Le degré du polynôme caractéristique

Le signe du coefficient de y

Le discriminant du polynôme caractéristique

Le terme constant du polynôme caractéristique

Explication

Les formes des solutions réelles de l’équation homogène dépendent du discriminant du polynôme caractéristique. Le degré reste deux, et ni le signe du coefficient de $y$ ni le terme constant pris isolément ne distinguent les cas.

Question 21

21. Une équation différentielle linéaire d’ordre deux est non homogène. Comment s’exprime toute solution à partir d’une solution particulière et des solutions de l’équation homogène associée ?

Comme une solution particulière seule, sans terme homogène

Comme une constante ajoutée à une solution particulière

Comme la somme d’une solution particulière et d’une solution homogène

Comme la différence d’une solution particulière et d’une solution homogène

Explication

Toute solution de l’équation non homogène s’obtient en ajoutant à une solution particulière une solution de l’équation homogène associée. La différence inverse le principe, et une solution particulière seule ou une constante ajoutée ne décrit pas le résultat général.

Question 22

22. Une équation homogène à coefficients complexes a pour polynôme caractéristique une racine double $\alpha$ . Quelle forme générale prend sa solution ?

\mu e^{\alpha x}

(\lambda x+\mu)e^{\alpha x}

(\lambda x^2+\mu)e^{\alpha x}

\lambda e^{\alpha x}+\mu e^{\alpha x}

Explication

Pour une racine double $\alpha$ , la solution générale est $(\lambda x+\mu)e^{\alpha x}$ , avec des constantes complexes. La somme de deux exponentielles identiques omet l’effet de la multiplicité, et les autres formes ne donnent pas la forme requise pour une racine double.

Question 23

23. Dans une équation d’ordre deux dont le second membre est $Ce^{\alpha x}$ , le nombre $\alpha$ est une racine simple du polynôme caractéristique. Sous quelle forme chercher une solution particulière ?

Be^{\alpha x}

Bxe^{2\alpha x}

Bx^2e^{\alpha x}

Bxe^{\alpha x}

Explication

Lorsqu’ $\alpha$ est une racine simple, on cherche une solution particulière sous la forme $Bxe^{\alpha x}$ . Le facteur $x^2$ correspond à une racine double, tandis que $Be^{\alpha x}$ s’emploie lorsque $\alpha$ n’est pas racine.

Question 24

24. Une équation d’ordre deux a pour second membre un polynôme $Q(x)$ de degré 3, et 0 n’est pas une racine de son polynôme caractéristique. Quel degré peut-on donner à une solution particulière polynomiale ?

Le degré 2

Le degré 4

Le degré 3

Le degré du polynôme caractéristique

Explication

Quand 0 n’est pas racine du polynôme caractéristique, il existe une solution particulière polynomiale de même degré que $Q$ : ici, le degré 3. Ajouter ou retrancher un degré n’est pas justifié par cette règle, et le degré du polynôme caractéristique ne détermine pas celui de cette solution.

Question 25

25. Une même équation linéaire admet $y_1$ comme solution lorsque son second membre est $d_1$ , et $y_2$ comme solution lorsque son second membre est $d_2$ . Quelle fonction résout l’équation dont le second membre est $d_1+d_2$ ?

d_1+d_2

y_1-y_2

y_1+y_2

y_1y_2

Explication

Le principe de superposition indique que la somme de deux solutions correspond à la somme de leurs seconds membres, donc $y_1+y_2$ résout l’équation de second membre $d_1+d_2$ . La différence et le produit ne découlent pas de ce principe, tandis que $d_1+d_2$ est le second membre, pas la fonction solution.

Question 26

26. Pour l’équation $y' + a(x)y = b(x)$ , quelle donnée supplémentaire transforme l’équation en un problème de Cauchy ?

La condition

b(x_0)=y_0

La condition

y'(x_0)=y_0

La condition

y(x_0)=y_0

La condition

y(x_1)=y_0

avec

x_1\ne x_0

Explication

Un problème de Cauchy associe à l’équation une condition initiale qui fixe la valeur de la solution en $x_0$ . Fixer la dérivée, choisir un autre point ou imposer une valeur à $b$ ne correspond pas à cette donnée.

Question 27

27. Sur l’intervalle $[-2,3]$ , les fonctions $a$ et $b$ sont continues et une équation différentielle linéaire du premier ordre est munie de la condition $y(1)=4$ . Quelle conclusion s’applique ?

Une unique solution existe sur

[-2,3]

Une unique solution est garantie seulement en

x=1

L’unicité exige aussi de fixer

y'(1)

Une solution existe, mais plusieurs peuvent satisfaire la condition

Explication

Pour une équation linéaire du premier ordre à coefficients continus sur un intervalle, tout problème de Cauchy possède une unique solution sur cet intervalle. Une condition sur la dérivée est liée au cadre de l’ordre deux, et la conclusion porte sur l’intervalle entier.

Question 28

28. Une équation différentielle linéaire du second ordre a des coefficients constants et un second membre continu. On impose $y(2)=3$ et $y'(2)=-1$ . Que déterminent ces données ?

Une unique solution seulement si

y''(2)

est aussi imposée

Une famille de solutions dépendant d’une constante

Une unique solution de l’équation

Une solution unique seulement si le second membre est nul

Explication

Pour une équation linéaire du second ordre à coefficients constants dont le second membre est continu, les valeurs de $y$ et de $y'$ au même point déterminent une unique solution. Ajouter une condition sur $y''$ n’est pas requis, et le second membre n’a pas à être nul.

QCM : Intégrales et équations différentielles (28 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Sur un intervalle $I$ , quelle condition caractérise une fonction $F$ comme primitive de $f$ ?

2. Deux fonctions $F$ et $G$ sont primitives de la même fonction sur un intervalle $I$ . Que peut-on affirmer de leur différence sur $I$ ?

3. Pour une fonction continue $f$ sur $[a,b]$ , que représente $\int_a^b f(x)\,dx$ ?

4. Sur un intervalle, une courbe se trouve au-dessus de l’axe des abscisses sur une partie et en dessous sur une autre. Comment les deux contributions interviennent-elles dans son aire algébrique ?

5. Une fonction continue $f$ est strictement positive sur $[a,b]$ sauf en un nombre fini de points, avec $a<b$ . Que peut-on conclure sur son intégrale de $a$ à $b$ ?

6. Quelle propriété le théorème fondamental garantit-il pour une fonction continue sur un intervalle ?

7. Pour une fonction continue f sur un intervalle I et un point a de I, on définit $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ . Que peut-on affirmer de F ?

8. Une fonction continue f sur [2,5] admet une primitive F telle que F(2)=3 et F(5)=−1. Quelle est la valeur de $\int_2^5 f(x)\,dx$ ?

9. Sur [0,2], on choisit $u(x)=x^2$ et $v(x)=e^x$ . Quelle expression donne l’intégration par parties de $\int_0^2 2xe^x\,dx$ ?

10. Pour calculer $\int_0^1 x^3e^{-x^2}\,dx$ par intégration par parties, un étudiant envisage de dériver $e^{-x^2}$ et de prendre une primitive de $x^3$ ; cela produit ensuite une intégrale contenant $x^5e^{-x^2}$ . Quel critère devrait guider son choix ?

11. On pose $x=\phi(t)=t^2$ sur $[1,3]$ . Quelle intégrale en $t$ est égale à $\int_1^9 f(x)\,dx$ ?

12. Pour calculer $\int_0^2 f(3t+1)\,dt$ en posant $x=3t+1$ , quelle démarche transforme correctement l’intégrale ?

13. Une fonction $f:I\to\mathbb{C}$ est intégrée sur un intervalle réel $[a,b]$ . Comment définit-on son intégrale ?

14. Sur l’intervalle $]-1,1[$ , quelle fonction a pour dérivée $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ?

15. Pour $x>0$ , quelle expression est une primitive de $\ln x$ ?

16. Laquelle des équations suivantes est une équation différentielle linéaire d’ordre un avec son équation homogène associée correctement identifiée ?

17. Pour résoudre l’équation homogène $y'+3y=0$ sur $\mathbb{R}$ , quelle forme décrit toutes les solutions ?

18. Une équation linéaire non homogène possède une solution particulière $f$ . Comment décrire l’ensemble de ses solutions à partir des solutions $y_h$ de l’équation homogène associée ?

19. Pour l’équation homogène $ay''+by'+cy=0$ , quelle expression définit le polynôme caractéristique ?

20. Pour résoudre une équation homogène réelle d’ordre deux à coefficients constants, quelle donnée permet de distinguer les cas possibles pour les solutions ?

21. Une équation différentielle linéaire d’ordre deux est non homogène. Comment s’exprime toute solution à partir d’une solution particulière et des solutions de l’équation homogène associée ?

22. Une équation homogène à coefficients complexes a pour polynôme caractéristique une racine double $\alpha$ . Quelle forme générale prend sa solution ?

23. Dans une équation d’ordre deux dont le second membre est $Ce^{\alpha x}$ , le nombre $\alpha$ est une racine simple du polynôme caractéristique. Sous quelle forme chercher une solution particulière ?

24. Une équation d’ordre deux a pour second membre un polynôme $Q(x)$ de degré 3, et 0 n’est pas une racine de son polynôme caractéristique. Quel degré peut-on donner à une solution particulière polynomiale ?

25. Une même équation linéaire admet $y_1$ comme solution lorsque son second membre est $d_1$ , et $y_2$ comme solution lorsque son second membre est $d_2$ . Quelle fonction résout l’équation dont le second membre est $d_1+d_2$ ?

26. Pour l’équation $y' + a(x)y = b(x)$ , quelle donnée supplémentaire transforme l’équation en un problème de Cauchy ?

27. Sur l’intervalle $[-2,3]$ , les fonctions $a$ et $b$ sont continues et une équation différentielle linéaire du premier ordre est munie de la condition $y(1)=4$ . Quelle conclusion s’applique ?

28. Une équation différentielle linéaire du second ordre a des coefficients constants et un second membre continu. On impose $y(2)=3$ et $y'(2)=-1$ . Que déterminent ces données ?

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QCM : Intégrales et équations différentielles (28 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Sur un intervalle III, quelle condition caractérise une fonction FFF comme primitive de fff ?

2. Deux fonctions FFF et GGG sont primitives de la même fonction sur un intervalle III. Que peut-on affirmer de leur différence sur III ?

3. Pour une fonction continue fff sur [a,b][a,b][a,b], que représente ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx∫ab​f(x)dx ?

4. Sur un intervalle, une courbe se trouve au-dessus de l’axe des abscisses sur une partie et en dessous sur une autre. Comment les deux contributions interviennent-elles dans son aire algébrique ?

5. Une fonction continue fff est strictement positive sur [a,b][a,b][a,b] sauf en un nombre fini de points, avec a<ba<ba<b. Que peut-on conclure sur son intégrale de aaa à bbb ?

6. Quelle propriété le théorème fondamental garantit-il pour une fonction continue sur un intervalle ?

7. Pour une fonction continue f sur un intervalle I et un point a de I, on définit F(x)=∫axf(t) dtF(x)=\int_a^x f(t)\,dtF(x)=∫ax​f(t)dt. Que peut-on affirmer de F ?

8. Une fonction continue f sur [2,5] admet une primitive F telle que F(2)=3 et F(5)=−1. Quelle est la valeur de ∫25f(x) dx\int_2^5 f(x)\,dx∫25​f(x)dx ?

9. Sur [0,2], on choisit u(x)=x2u(x)=x^2u(x)=x2 et v(x)=exv(x)=e^xv(x)=ex. Quelle expression donne l’intégration par parties de ∫022xex dx\int_0^2 2xe^x\,dx∫02​2xexdx ?

11. On pose x=ϕ(t)=t2x=\phi(t)=t^2x=ϕ(t)=t2 sur [1,3][1,3][1,3]. Quelle intégrale en ttt est égale à ∫19f(x) dx\int_1^9 f(x)\,dx∫19​f(x)dx ?

12. Pour calculer ∫02f(3t+1) dt\int_0^2 f(3t+1)\,dt∫02​f(3t+1)dt en posant x=3t+1x=3t+1x=3t+1, quelle démarche transforme correctement l’intégrale ?

13. Une fonction f:I→Cf:I\to\mathbb{C}f:I→C est intégrée sur un intervalle réel [a,b][a,b][a,b]. Comment définit-on son intégrale ?

14. Sur l’intervalle ]−1,1[]-1,1[]−1,1[, quelle fonction a pour dérivée 11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}1−x2​1​ ?

15. Pour x>0x>0x>0, quelle expression est une primitive de ln⁡x\ln xlnx ?

16. Laquelle des équations suivantes est une équation différentielle linéaire d’ordre un avec son équation homogène associée correctement identifiée ?

17. Pour résoudre l’équation homogène y′+3y=0y'+3y=0y′+3y=0 sur R\mathbb{R}R, quelle forme décrit toutes les solutions ?

18. Une équation linéaire non homogène possède une solution particulière fff. Comment décrire l’ensemble de ses solutions à partir des solutions yhy_hyh​ de l’équation homogène associée ?

19. Pour l’équation homogène ay′′+by′+cy=0ay''+by'+cy=0ay′′+by′+cy=0, quelle expression définit le polynôme caractéristique ?

20. Pour résoudre une équation homogène réelle d’ordre deux à coefficients constants, quelle donnée permet de distinguer les cas possibles pour les solutions ?

21. Une équation différentielle linéaire d’ordre deux est non homogène. Comment s’exprime toute solution à partir d’une solution particulière et des solutions de l’équation homogène associée ?

22. Une équation homogène à coefficients complexes a pour polynôme caractéristique une racine double α\alphaα. Quelle forme générale prend sa solution ?

23. Dans une équation d’ordre deux dont le second membre est CeαxCe^{\alpha x}Ceαx, le nombre α\alphaα est une racine simple du polynôme caractéristique. Sous quelle forme chercher une solution particulière ?

24. Une équation d’ordre deux a pour second membre un polynôme Q(x)Q(x)Q(x) de degré 3, et 0 n’est pas une racine de son polynôme caractéristique. Quel degré peut-on donner à une solution particulière polynomiale ?

25. Une même équation linéaire admet y1y_1y1​ comme solution lorsque son second membre est d1d_1d1​, et y2y_2y2​ comme solution lorsque son second membre est d2d_2d2​. Quelle fonction résout l’équation dont le second membre est d1+d2d_1+d_2d1​+d2​ ?

26. Pour l’équation y′+a(x)y=b(x)y' + a(x)y = b(x)y′+a(x)y=b(x), quelle donnée supplémentaire transforme l’équation en un problème de Cauchy ?

27. Sur l’intervalle [−2,3][-2,3][−2,3], les fonctions aaa et bbb sont continues et une équation différentielle linéaire du premier ordre est munie de la condition y(1)=4y(1)=4y(1)=4. Quelle conclusion s’applique ?

28. Une équation différentielle linéaire du second ordre a des coefficients constants et un second membre continu. On impose y(2)=3y(2)=3y(2)=3 et y′(2)=−1y'(2)=-1y′(2)=−1. Que déterminent ces données ?

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1. Sur un intervalle $I$ , quelle condition caractérise une fonction $F$ comme primitive de $f$ ?

2. Deux fonctions $F$ et $G$ sont primitives de la même fonction sur un intervalle $I$ . Que peut-on affirmer de leur différence sur $I$ ?

3. Pour une fonction continue $f$ sur $[a,b]$ , que représente $\int_a^b f(x)\,dx$ ?

5. Une fonction continue $f$ est strictement positive sur $[a,b]$ sauf en un nombre fini de points, avec $a<b$ . Que peut-on conclure sur son intégrale de $a$ à $b$ ?

7. Pour une fonction continue f sur un intervalle I et un point a de I, on définit $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ . Que peut-on affirmer de F ?

8. Une fonction continue f sur [2,5] admet une primitive F telle que F(2)=3 et F(5)=−1. Quelle est la valeur de $\int_2^5 f(x)\,dx$ ?

9. Sur [0,2], on choisit $u(x)=x^2$ et $v(x)=e^x$ . Quelle expression donne l’intégration par parties de $\int_0^2 2xe^x\,dx$ ?

11. On pose $x=\phi(t)=t^2$ sur $[1,3]$ . Quelle intégrale en $t$ est égale à $\int_1^9 f(x)\,dx$ ?

12. Pour calculer $\int_0^2 f(3t+1)\,dt$ en posant $x=3t+1$ , quelle démarche transforme correctement l’intégrale ?

13. Une fonction $f:I\to\mathbb{C}$ est intégrée sur un intervalle réel $[a,b]$ . Comment définit-on son intégrale ?

14. Sur l’intervalle $]-1,1[$ , quelle fonction a pour dérivée $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ?

15. Pour $x>0$ , quelle expression est une primitive de $\ln x$ ?

17. Pour résoudre l’équation homogène $y'+3y=0$ sur $\mathbb{R}$ , quelle forme décrit toutes les solutions ?

18. Une équation linéaire non homogène possède une solution particulière $f$ . Comment décrire l’ensemble de ses solutions à partir des solutions $y_h$ de l’équation homogène associée ?

19. Pour l’équation homogène $ay''+by'+cy=0$ , quelle expression définit le polynôme caractéristique ?

22. Une équation homogène à coefficients complexes a pour polynôme caractéristique une racine double $\alpha$ . Quelle forme générale prend sa solution ?

23. Dans une équation d’ordre deux dont le second membre est $Ce^{\alpha x}$ , le nombre $\alpha$ est une racine simple du polynôme caractéristique. Sous quelle forme chercher une solution particulière ?

24. Une équation d’ordre deux a pour second membre un polynôme $Q(x)$ de degré 3, et 0 n’est pas une racine de son polynôme caractéristique. Quel degré peut-on donner à une solution particulière polynomiale ?

25. Une même équation linéaire admet $y_1$ comme solution lorsque son second membre est $d_1$ , et $y_2$ comme solution lorsque son second membre est $d_2$ . Quelle fonction résout l’équation dont le second membre est $d_1+d_2$ ?

26. Pour l’équation $y' + a(x)y = b(x)$ , quelle donnée supplémentaire transforme l’équation en un problème de Cauchy ?

27. Sur l’intervalle $[-2,3]$ , les fonctions $a$ et $b$ sont continues et une équation différentielle linéaire du premier ordre est munie de la condition $y(1)=4$ . Quelle conclusion s’applique ?

28. Une équation différentielle linéaire du second ordre a des coefficients constants et un second membre continu. On impose $y(2)=3$ et $y'(2)=-1$ . Que déterminent ces données ?