Flashcards : Intégrales impropres et comparaisons (29 cartes)

Toutes les cartes

1Question

Quelle est la définition d'une intégrale impropre sur [a,b[ ?

Réponse

C'est la limite finie de ∫axf(t) dt\int_a^x f(t)\,dt quand x→bx\to b.

2Question

Quelles bornes peuvent rendre une intégrale impropre ?

Réponse

La borne supérieure ou la borne inférieure.

3Question

Que vaut l'intégrale ∫011x dx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx ?

Réponse

Elle converge et vaut 2.

4Question

La fonction 1/x1/\sqrt{x} est-elle bornée en 0 ?

Réponse

Non, elle n'est pas bornée en 0.

5Question

Pourquoi l'intégrale ∫1+∞1x dx\int_1^{+\infty} \frac{1}{x}\,dx diverge-t-elle ?

Réponse

Parce que sa fonction intégrale ln⁡x\ln x tend vers +∞+\infty.

6Question

Quelle est la fonction intégrale de 1x\frac{1}{x} sur [1,+∞[[1,+\infty[ ?

Réponse

C'est ln⁡x\ln x.

7Question

Quelle propriété linéaire l’intégrale impropre respecte-t-elle ?

Réponse

Elle est linéaire sur l’espace des fonctions pour lesquelles elle converge.

8Question

Quelle égalité l’intégrale impropre respecte-t-elle selon Chasles ?

Réponse

∫abf=∫acf+∫cbf\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f

9Question

Que vaut l’intégrale de ff si f≥0f\geq0 et intégrable sur [a,b[[a,b[ ?

Réponse

Elle est positive ou nulle.

10Question

Quelle inégalité l’intégrale respecte-t-elle si f≥gf\geq g sur [a,b[[a,b[ ?

Réponse

∫abf≥∫abg\int_a^b f\geq\int_a^b g

11Question

Quand une intégrale à deux bornes impropres converge-t-elle ?

Réponse

Si les intégrales ∫acf\int_a^c f et ∫cbf\int_c^b f convergent pour un point cc intérieur.

12Question

Que vaut une intégrale à deux bornes impropres convergente ?

Réponse

La somme des intégrales ∫acf\int_a^c f et ∫cbf\int_c^b f.

13Question

Que montre l’exemple de f(t)=tf(t)=t pour ∫−∞+∞t dt\int_{-\infty}^{+\infty} t\,dt ?

Réponse

L’intégrale diverge malgré lim⁡x→+∞∫−xxt dt=0\lim_{x\to+\infty}\int_{-x}^x t\,dt=0.

14Question

Quand une intégrale d'une fonction positive converge-t-elle ?

Réponse

Lorsque la fonction F(x)=∫axfF(x)=\int_a^x f est majorée.

15Question

Que garantit la convergence de ∫abg\int_a^b g si 0≤f≤g0\leq f\leq g ?

Réponse

La convergence de ∫abf\int_a^b f.

16Question

Quelle condition sur α\alpha assure la convergence de ∫a+∞dttα\int_a^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} ?

Réponse

La convergence a lieu si et seulement si α>1\alpha > 1.

17Question

Que peut-on dire des intégrales de ff et gg si f,g≥0f,g \geq 0 et f∼gf \sim g près de la borne impropre ?

Réponse

Leurs intégrales sont toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes.

18Question

Que signifie f=o(g)f = o(g) pour la convergence des intégrales de ff et gg ?

Réponse

Si ∫abg\int_a^b g converge, alors ∫abf\int_a^b f converge aussi.

19Question

Qu'est-ce qu'une intégrale absolument convergente ?

Réponse

Une intégrale convergente dont l'intégrale de la valeur absolue converge.

20Question

Quand une intégrale convergente est-elle semi-convergente ?

Réponse

Lorsque l'intégrale de la valeur absolue diverge.

21Question

Quelle est la nature de l'intégrale ∫1+∞sin⁡tt dt\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt ?

Réponse

Elle est semi-convergente.

22Question

Quelle relation existe entre ∫αβf(φ(t))φ′(t) dt\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt et ∫abf(u) du\int_a^b f(u)\,du ?

Réponse

Elles ont la même nature et sont égales si elles convergent.

23Question

Quelles conditions doit satisfaire φ\varphi pour un changement de variable impropre ?

Réponse

φ\varphi doit être une bijection de classe C1C^1 avec φ−1\varphi^{-1} continue et limites aux extrémités aa et bb.

24Question

Pourquoi l'intégrale ∫0+∞cos⁡x dx\int_0^{+\infty} \cos x\,dx diverge-t-elle ?

Réponse

Parce que sin⁡x\sin x n'a pas de limite quand x→+∞x\to +\infty.

25Question

Que déduit-on si 0≤f≤g0\leq f\leq g et ∫abf\int_a^b f diverge ?

Réponse

Alors ∫abg\int_a^b g diverge.

26Question

Quelle condition assure que ∫abf\int_a^b f est strictement positive ?

Réponse

Si f≥0f\geq0 est continue et non nulle en au moins un point.

27Question

Que vérifient les restes des intégrales de ff et gg si f=o(g)f=o(g) et les deux intégrales convergent ?

Réponse

On a ∫xbf=o(∫xbg)\int_x^b f = o\left(\int_x^b g\right) près de la borne.

28Question

Quelle condition impose l'intégration par parties dans une intégrale impropre ?

Réponse

Elle ne doit pas faire apparaître de forme indéterminée.

29Question

Que vaut ∫αβf(φ(t))φ′(t) dt\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt si φ\varphi est décroissante et échange les extrémités ?

Réponse

Elle vaut −∫abf(u) du-\int_a^b f(u)\,du si les intégrales convergent.

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 18 questions sur Intégrales impropres et comparaisons.

1. Quelle condition définit la convergence de l’intégrale impropre de ff sur [a,b[[a,b[ ?

2. Sur quelle borne l’intégrale ∫abf(t) dt\int_a^b f(t)\,dt est-elle impropre lorsque le domaine est [a,b[[a,b[ ?

Faire le QCM →

Consultez la fiche

Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Intégrales impropres et comparaisons.

Voir la fiche →

Cours similaires

Industrialisation et APEF

Raisonnement en sciences sociales

Contrat de phase industriel

Théorème de Thalès et triangles semblables

Mathématiques

Aménagements des espaces naturels

Clinique de l’activité et psychologie du travail

Crée tes propres flashcards

Importe ton cours et l'IA génère des flashcards en 30 secondes.

Générateur de flashcards