Fiche de révision : Intégrales impropres et comparaisons

📋 Plan du Cours

1. Définition et exemples fondamentaux
2. Propriétés et découpage des intégrales
3. Intégrales positives et comparaisons
4. Équivalents et petits o
5. Convergence absolue et semi-convergence
6. Changement de variable impropre

📖 1. Définition et exemples fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale impropre : la limite finie de $\int_a^x f(t)\,dt$ lorsque $x\to b$, lorsque $f$ est intégrable sur tout segment $[a,x]$

★ À maîtriser

📌 Une intégrale impropre peut être impropre en la borne supérieure, comme sur $[a,b[$, ou en la borne inférieure, comme sur $]a,b]$.

• L’intégrale $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ converge et vaut $2$, bien que la fonction $1/\sqrt{x}$ ne soit pas bornée en $0$.

• L’intégrale $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx$ diverge car sa fonction intégrale vaut $\ln x$ et tend vers $+\infty$.

Compléments

• L’intégrale $\int_0^{+\infty}\cos x\,dx$ diverge car $\sin x$ n’a pas de limite lorsque $x\to+\infty$.

💡 Astuce mémo

Convergence = limite finie ; divergence = limite infinie ou inexistante

📖 2. Propriétés et découpage des intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale à deux bornes impropres : Une intégrale $\int_a^b f$ à deux bornes impropres converge si, pour un point $c$ intérieur, les deux intégrales $\int_a^c f$ et $\int_c^b f$ convergent, et elle vaut leur somme

📝 Points essentiels

📌 L’intégrale impropre est linéaire sur l’espace des fonctions pour lesquelles elle converge, et elle respecte l’égalité de Chasles $\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$.

📌 Si $f\geq0$ et si $f$ est intégrable sur $[a,b[$, alors $\int_a^b f\geq0$, et si $f\geq g$, alors $\int_a^b f\geq\int_a^b g$.

• Pour $f(t)=t$, l’intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty}t\,dt$ diverge, même si $\lim_{x\to+\infty}\int_{-x}^{x}t\,dt=0$.

💡 Astuce mémo

Un bord, puis deux bords, puis plusieurs problèmes séparés

📖 3. Intégrales positives et comparaisons

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction positive, $\int_a^b f$ converge si et seulement si la fonction $F(x)=\int_a^x f$ est majorée.

📌 Si $0\leq f\leq g$ et si $\int_a^b g$ converge, alors $\int_a^b f$ converge.

Compléments

📌 Par contraposée, si $0\leq f\leq g$ et si $\int_a^b f$ diverge, alors $\int_a^b g$ diverge.

📌 Si $f\geq0$ est continue et non nulle en au moins un point, alors une intégrale convergente $\int_a^b f$ est strictement positive.

💡 Astuce mémo

Positivité → primitive croissante → convergence si elle est majorée

📖 4. Équivalents et petits o

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout $a>0$, $\int_a^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.

📌 Si $f,g\geq0$ et $f\sim g$ au voisinage de la borne impropre, alors leurs intégrales sont soit toutes deux convergentes, soit toutes deux divergentes.

📌 Si $f,g\geq0$ et $f=o(g)$ au voisinage de la borne impropre, la convergence de $\int_a^b g$ entraîne celle de $\int_a^b f$.

Compléments

📌 Lorsque les deux intégrales convergent et $f=o(g)$, leurs restes vérifient $\int_x^b f=o\left(\int_x^b g\right)$ au voisinage de la borne.

💡 Astuce mémo

Équivalent conserve convergence ; petit o fournit une domination stricte

📖 5. Convergence absolue et semi-convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence absolue : Une intégrale convergente $\int_a^b f$ est absolument convergente lorsque $\int_a^b |f|$ converge
• Semi-convergence : Une intégrale convergente $\int_a^b f$ est semi-convergente lorsque $\int_a^b |f|$ diverge

★ À maîtriser

• L’intégrale $\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt$ est semi-convergente.

Compléments

📌 L’intégration par parties dans une intégrale impropre n’est possible que si elle ne fait apparaître aucune forme indéterminée.

💡 Astuce mémo

Convergence de $|f|$ = absolue ; divergence de $|f|$ = semi-convergence

📖 6. Changement de variable impropre

★ À maîtriser

• Sous les hypothèses du changement de variable impropre, les intégrales $\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt$ et $\int_a^b f(u)\,du$ ont la même nature et, si elles convergent, sont égales.

📌 Le changement de variable impropre exige que $\varphi$ soit une bijection de classe $C^1$, que $\varphi^{-1}$ soit continue et que ses limites aux extrémités soient $a$ et $b$.

Compléments

📌 Si $\varphi$ est décroissante et échange les extrémités, alors $\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt=-\int_a^b f(u)\,du$ lorsque les intégrales convergent.

💡 Astuce mémo

Bijection, régularité, extrémités : puis égalité des intégrales

📊 Tableaux de synthèse

Critères de comparaison positive