QCM : Intégrales impropres et comparaisons (18 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition définit la convergence de l’intégrale impropre de ff sur [a,b[[a,b[ ?

La valeur finie de ∫abf(t) dt\int_a^b f(t)\,dt obtenue par une primitive définie en toute borne
La limite nulle de ∫xbf(t) dt\int_x^b f(t)\,dt lorsque x→ax\to a, avec continuité sur chaque [x,b][x,b]
La convergence de ∫axf(t) dt\int_a^x f(t)\,dt vers une valeur finie pour un seul choix de x<bx<b
La limite finie de ∫axf(t) dt\int_a^x f(t)\,dt lorsque x→bx\to b, avec intégrabilité sur chaque [a,x][a,x]

La limite finie de $$\int_a^x f(t)\,dt$$ lorsque $$x\to b$$, avec intégrabilité sur chaque $$[a,x]$$

Explication

La convergence est définie par une limite finie de ∫axf(t) dt\int_a^x f(t)\,dt lorsque xx tend vers bb, sous réserve d’intégrabilité sur chaque segment intermédiaire. Une valeur obtenue pour un seul point ne caractérise pas une limite impropre.

2. Sur quelle borne l’intégrale ∫abf(t) dt\int_a^b f(t)\,dt est-elle impropre lorsque le domaine est [a,b[[a,b[ ?

Sur aucune borne, car l’intervalle reste borné
Sur la borne inférieure aa
Sur la borne supérieure bb
Sur les deux bornes aa et bb

Sur la borne supérieure $$b$$

Explication

Dans [a,b[[a,b[, la borne bb n’appartient pas à l’intervalle et doit être approchée par la gauche. Dans ]a,b]]a,b], c’est au contraire la borne aa qui est impropre.

3. Quelle est la valeur de l’intégrale ∫011x dx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx ?

Elle converge et vaut 11
Elle converge et vaut 12\frac{1}{2}
Elle diverge vers +∞+\infty
Elle converge et vaut 22

Elle converge et vaut $$2$$

Explication

Malgré le fait que 1/x1/\sqrt{x} ne soit pas bornée en 00, son intégrale impropre converge et vaut 22. Le caractère non borné de la fonction n’entraîne donc pas forcément la divergence.

4. Pourquoi l’intégrale ∫1+∞1x dx\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx diverge-t-elle ?

Parce que sa fonction intégrale ln⁡x\ln x tend vers une limite finie non nulle
Parce que la fonction 1/x1/x est négative pour les grandes valeurs de xx
Parce que la fonction 1/x1/x n’est pas définie au point x=1x=1
Parce que sa fonction intégrale ln⁡x\ln x tend vers +∞+\infty

Parce que sa fonction intégrale $$\ln x$$ tend vers $$+\infty$$

Explication

Une primitive de 1/x1/x sur [1,+∞[[1,+\infty[ est ln⁡x\ln x, qui tend vers +∞+\infty. La limite définissant l’intégrale impropre n’est donc pas finie.

5. Quelle propriété permet d’écrire une intégrale impropre convergente après un découpage en un point intermédiaire cc ?

La relation de Chasles ∫abf=∫acf+∫cbf\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f
La relation de changement d’échelle ∫abf=∫a/cb/cf\int_a^b f=\int_{a/c}^{b/c}f
La relation de symétrie ∫abf=∫−b−af\int_a^b f=\int_{-b}^{-a}f
La relation de moyenne ∫abf=(b−a)f(c)\int_a^b f=(b-a)f(c)

La relation de Chasles $$\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$$

Explication

L’intégrale impropre conserve la relation de Chasles lorsque les intégrales concernées convergent. Les autres relations nécessitent des hypothèses particulières et ne sont pas des propriétés générales du découpage.

6. Si f(t)≥g(t)f(t)\geq g(t) sur un intervalle et si les deux intégrales impropres convergent, quelle comparaison peut-on effectuer ?

On a ∫abf(t) dt≤∫abg(t) dt\int_a^b f(t)\,dt\leq\int_a^b g(t)\,dt
On a ∫abf(t) dt≥∫abg(t) dt\int_a^b f(t)\,dt\geq\int_a^b g(t)\,dt
On ne peut comparer les intégrales qu’après avoir prouvé que f=gf=g
On a ∫abf(t) dt=∫abg(t) dt\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^b g(t)\,dt

On a $$\int_a^b f(t)\,dt\geq\int_a^b g(t)\,dt$$

Explication

L’ordre ponctuel f≥gf\geq g se transmet aux intégrales lorsque celles-ci convergent. L’inégalité dans l’autre sens correspondrait à l’hypothèse opposée.

7. Comment faut-il vérifier la convergence de ∫−∞+∞f(t) dt\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,dt en choisissant un point intérieur cc ?

Il suffit que l’une des deux intégrales converge et que l’autre soit bornée
Il suffit que les intégrales sur des intervalles symétriques autour de cc aient une limite commune
Il faut que ∫−∞cf\int_{-\infty}^{c}f et ∫c+∞f\int_c^{+\infty}f convergent séparément, puis additionner leurs valeurs
Il faut remplacer les deux bornes infinies par une seule limite tendant vers +∞+\infty

Il faut que $$\int_{-\infty}^{c}f$$ et $$\int_c^{+\infty}f$$ convergent séparément, puis additionner leurs valeurs

Explication

Une intégrale à deux bornes impropres converge lorsque les deux morceaux, séparés par un point intérieur, convergent chacun et que leur somme définit l’intégrale. Une limite symétrique peut masquer deux divergences opposées et ne suffit donc pas.

8. Que peut-on conclure à propos de ∫−∞+∞t dt\int_{-\infty}^{+\infty}t\,dt malgré l’égalité lim⁡x→+∞∫−xxt dt=0\lim_{x\to+\infty}\int_{-x}^{x}t\,dt=0 ?

L’intégrale diverge, car les deux morceaux impropres ne convergent pas séparément
L’intégrale converge et vaut une quantité positive, car tt devient positif à droite
L’intégrale converge et vaut 00 grâce à la symétrie de la fonction
L’intégrale est indéterminée, car la fonction tt change de signe une seule fois

L’intégrale diverge, car les deux morceaux impropres ne convergent pas séparément

Explication

Les intégrales sur les deux demi-intervalles divergent, même si leur troncature symétrique vaut toujours 00. La limite symétrique ne remplace pas l’exigence de convergence séparée des deux morceaux.

9. Pour une fonction positive ff, quelle condition caractérise la convergence de ∫abf\int_a^b f ?

La fonction F(x)=∫axfF(x)=\int_a^x f est majorée
La fonction F(x)=∫axfF(x)=\int_a^x f tend vers −∞-\infty
La fonction F(x)=∫axfF(x)=\int_a^x f est minorée par zéro sans autre condition
La fonction F(x)=∫axfF(x)=\int_a^x f change de signe lorsque xx tend vers bb

La fonction $$F(x)=\int_a^x f$$ est majorée

Explication

Comme f≥0f\geq0, la fonction intégrale FF est croissante, et l’intégrale converge exactement lorsque cette fonction est majorée. L’absence de majoration entraîne au contraire une divergence.

10. Si 0≤f≤g0\leq f\leq g et si ∫abg\int_a^b g converge, que peut-on déduire pour ∫abf\int_a^b f ?

L’intégrale ∫abf\int_a^b f possède la même valeur que ∫abg\int_a^b g
L’intégrale ∫abf\int_a^b f converge par comparaison avec la fonction majorante gg
L’intégrale ∫abf\int_a^b f diverge parce que ff est plus petite que gg
Aucune conclusion n’est possible sans connaître une primitive de ff

L’intégrale $$\int_a^b f$$ converge par comparaison avec la fonction majorante $$g$$

Explication

La positivité et l’inégalité f≤gf\leq g permettent de contrôler les intégrales partielles de ff par celles de gg. La convergence de l’intégrale majorante entraîne donc celle de l’intégrale de ff.

11. Pour quelle condition sur α\alpha l’intégrale ∫a+∞dttα\int_a^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha}, avec a>0a>0, converge-t-elle ?

Lorsque α>1\alpha>1
Lorsque α≥0\alpha\geq 0
Lorsque α≤−1\alpha\leq -1
Lorsque α<1\alpha<1

Lorsque $$\alpha>1$$

Explication

L’intégrale de la fonction puissance sur un intervalle non borné converge précisément lorsque l’exposant vérifie α>1\alpha>1. Par exemple, la condition α<1\alpha<1 correspond au régime divergent et ne fournit donc pas le bon critère.

12. Si deux fonctions positives vérifient f∼gf\sim g au voisinage d’une borne impropre, que peut-on conclure sur leurs intégrales ?

Elles ont la même nature, convergente ou divergente
Leur différence possède nécessairement une intégrale convergente
L’intégrale de ff converge dès que celle de gg est bornée
Elles ont des valeurs égales pour toute borne d’intégration

Elles ont la même nature, convergente ou divergente

Explication

L’équivalence de fonctions positives permet de comparer leur comportement dominant près de la borne impropre : les deux intégrales convergent ensemble ou divergent ensemble. Elle n’implique pas que leurs valeurs soient égales ni que leur différence soit intégrable.

13. Si f,g≥0f,g\geq0 et f=o(g)f=o(g) près de la borne impropre, quelle implication est valide ?

La divergence de ∫abg\int_a^b g entraîne celle de ∫abf\int_a^b f
La convergence de ∫abg\int_a^b g entraîne celle de ∫abf\int_a^b f
Les deux intégrales possèdent nécessairement la même valeur
La convergence de ∫abf\int_a^b f entraîne celle de ∫abg\int_a^b g

La convergence de $$\int_a^b g$$ entraîne celle de $$\int_a^b f$$

Explication

La relation f=o(g)f=o(g) signifie que ff est négligeable devant gg près de la borne, et la positivité permet alors de transférer la convergence de gg à ff. En revanche, la divergence de l’intégrale de gg ne force pas celle de ff.

14. Comment définit-on la convergence absolue d’une intégrale impropre convergente ∫abf\int_a^b f ?

Par la convergence de ∫ab∣f∣\int_a^b |f|
Par la convergence de ∫abf2\int_a^b f^2
Par la divergence de ∫ab∣f∣\int_a^b |f|
Par l’annulation de ∫abf\int_a^b f

Par la convergence de $$\int_a^b |f|$$

Explication

Une intégrale convergente est absolument convergente lorsque l’intégrale de la valeur absolue, ∫ab∣f∣\int_a^b|f|, converge également. La convergence de ∫abf2\int_a^b f^2 ou l’annulation de l’intégrale ne constitue pas la définition de cette notion.

15. Quelle situation caractérise une intégrale semi-convergente ∫abf\int_a^b f ?

∫abf\int_a^b f converge tandis que ∫ab∣f∣\int_a^b|f| diverge
Les deux intégrales convergent avec des valeurs égales
∫abf\int_a^b f diverge tandis que ∫ab∣f∣\int_a^b|f| converge
Les deux intégrales divergent à cause d’un même comportement positif

$$\int_a^b f$$ converge tandis que $$\int_a^b|f|$$ diverge

Explication

La semi-convergence associe la convergence de l’intégrale de ff à la divergence de celle de ∣f∣|f|, souvent grâce à des compensations de signes. La convergence de l’intégrale absolue correspondrait plutôt à la convergence absolue.

16. Quelle est la nature de l’intégrale ∫1+∞sin⁡tt dt\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt ?

Elle est absolument convergente
Elle est divergente comme son intégrale absolue
Elle est semi-convergente
Elle est impropre mais dépourvue de nature déterminée

Elle est semi-convergente

Explication

Cette intégrale converge grâce aux oscillations du sinus, alors que l’intégrale de ∣sin⁡t∣/t|\sin t|/t diverge : elle est donc semi-convergente. Elle n’est pas absolument convergente, puisque la valeur absolue détruit la compensation des signes.

17. Sous les hypothèses du changement de variable impropre, quelle relation relie les intégrales après substitution ?

Elles ont la même nature et sont égales lorsqu’elles convergent
Elles sont égales même lorsque l’une des deux intégrales diverge
La nouvelle intégrale converge dès que la fonction substituée est bornée
Elles ont des natures opposées et des valeurs inverses

Elles ont la même nature et sont égales lorsqu’elles convergent

Explication

Un changement de variable impropre valide conserve la nature de l’intégrale et conserve sa valeur lorsque les intégrales convergent. La divergence ne permet pas d’affirmer une égalité de valeurs, et la seule bornitude de la fonction ne suffit pas.

18. Quelle condition est requise pour appliquer rigoureusement un changement de variable à une intégrale impropre ?

Une substitution formelle avec une dérivée continue sur l’intervalle considéré
Une fonction croissante dont les valeurs restent dans un intervalle borné
Une bijection C1C^1, une réciproque continue et des limites adaptées aux bornes
Une fonction dérivable dont les deux extrémités ont la même image

Une bijection $$C^1$$, une réciproque continue et des limites adaptées aux bornes

Explication

Le changement de variable impropre requiert une bijection de classe C1C^1, une réciproque continue et des limites de la transformation aux extrémités correspondant aux bornes d’intégration. Une substitution formelle ou la simple dérivabilité ne garantit pas ces propriétés.

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Quelle est la définition d'une intégrale impropre sur [a,b[ ?

C'est la limite finie de ∫axf(t) dt\int_a^x f(t)\,dt quand x→bx\to b.

Quelles bornes peuvent rendre une intégrale impropre ?

La borne supérieure ou la borne inférieure.

Que vaut l'intégrale ∫011x dx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx ?

Elle converge et vaut 2.

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