Intégrales impropres et comparaisons

📋 Plan du Cours

1. Définition et exemples fondamentaux
2. Propriétés et découpage des intégrales
3. Intégrales positives et comparaisons
4. Équivalents et petits o
5. Convergence absolue et semi-convergence
6. Changement de variable impropre

📖 1. Définition et exemples fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale impropre : la limite finie de $\int_a^x f(t)\,dt$ lorsque $x\to b$, lorsque $f$ est intégrable sur tout segment $[a,x]$

★ À maîtriser

📌 Une intégrale impropre peut être impropre en la borne supérieure, comme sur $[a,b[$, ou en la borne inférieure, comme sur $]a,b]$.

• L’intégrale $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ converge et vaut $2$, bien que la fonction $1/\sqrt{x}$ ne soit pas bornée en $0$.

• L’intégrale $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx$ diverge car sa fonction intégrale vaut $\ln x$ et tend vers $+\infty$.

Compléments

• L’intégrale $\int_0^{+\infty}\cos x\,dx$ diverge car $\sin x$ n’a pas de limite lorsque $x\to+\infty$.

💡 Astuce mémo

Convergence = limite finie ; divergence = limite infinie ou inexistante

📖 2. Propriétés et découpage des intégrales

🔑 Notions clés & Définitions