Flashcards : Intégrales multiples et analyse vectorielle (34 cartes)

Elle calcule des aires, volumes, masses et moments.

Une association d’un vecteur à chaque point d’un domaine avec direction, sens et intensité variables.

Observer la géométrie, modéliser l’intégrale, calculer les intégrales successives, contrôler signe, unités et ordre de grandeur.

La limite des sommes des volumes des colonnes quand le découpage de D devient fin.

$V=\iint_D f(x,y)\,dx\,dy$

$\iint_D 1\,dx\,dy=\operatorname{Aire}(D)$

$\iint_D(\lambda f+\mu g)\,dx\,dy=\lambda\iint_Df\,dx\,dy+\mu\iint_Dg\,dx\,dy$ pour tous réels λ et μ.

L'intégrale sur l'union est la somme des intégrales sur chaque domaine.

Un domaine où a≤x≤b et y1(x)≤y≤y2(x) avec chaque section verticale un segment unique.

$\iint_Df(x,y)\,dx\,dy=\int_a^b\left(\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\,dy\right)dx$.

Observer les sections, modéliser le domaine, choisir l'ordre, calculer l'intégrale intérieure puis extérieure, et contrôler le résultat.

Par sa distance r=OM à l’origine et l’angle θ entre l’axe des abscisses et le vecteur OM.

$x = r \cos(\theta)$.

$y = r \sin(\theta)$.

dx dy = r dr $d\theta$.

$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \iint_\Delta f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$.

$M=\iint_D \rho(x,y)\,dx\,dy$

$x_G=\frac{1}{M}\iint_D \rho(x,y)x\,dx\,dy$

$y_G=\frac{1}{M}\iint_D \rho(x,y)y\,dx\,dy$

$I_\delta=\iint_D r^2(x,y)\,dx\,dy$

$I_{(Ox)}=\iint_D y^2\,dx\,dy$

$I_{(Oy)}=\iint_D x^2\,dx\,dy$

$\left(\frac{1}{8},\frac{4}{3\pi}\right)$

$\frac{\pi}{8}$

À déterminer des aires, centres de gravité, moments quadratiques, volumes, poids, stabilité, débits, pressions et flux.

C'est $f(u_{ij},v_{ij})$ multiplié par l'aire du rectangle.

Leurs intérieurs ne se recouvrent pas, même si leurs bords peuvent se toucher.

On le décompose en domaines élémentaires disjoints puis on additionne leurs intégrales.

$V=\frac{81\pi}{2}$

Un disque de centre $(\frac{1}{2},0)$ et de rayon $\frac{1}{2}$

$0 \le r \le \cos(\theta)$ et $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$

La résistance géométrique d’une section à la flexion autour d’un axe.

Masse totale égale à π.

Calculer la masse, puis les coordonnées du centre de gravité, puis le moment quadratique par rapport à Ox.