QCM : Intégrales multiples et analyse vectorielle (22 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Que permet notamment de calculer l’intégrale double d’une fonction répartie sur un domaine plan ?

Une pente, une vitesse, une durée ou une température
Une aire, un volume, une masse ou un moment
Une probabilité, une fréquence, une moyenne ou une médiane
Un angle, une longueur, une direction ou une courbure

Une aire, un volume, une masse ou un moment

Explication

L’intégrale double additionne des contributions réparties sur un domaine plan et sert notamment à déterminer des aires, des volumes, des masses et des moments. Les autres réponses regroupent des grandeurs qui ne constituent pas les applications citées ici.

2. Comment caractérise-t-on un champ de vecteurs défini sur un domaine ?

Il associe une constante unique à chaque région du domaine
Il relie chaque point du domaine à une valeur scalaire
Il attribue une courbe fermée à chaque point du domaine
Il associe un vecteur à chaque point du domaine

Il associe un vecteur à chaque point du domaine

Explication

Un champ de vecteurs associe à chaque point un vecteur dont la direction, le sens et l’intensité peuvent varier avec la position. Une valeur scalaire ou une constante régionale ne décrit pas cette structure vectorielle.

3. Quelle succession d’étapes constitue une démarche correcte pour traiter une intégrale appliquée au génie civil ?

Calculer les bornes, mesurer la masse, simplifier, puis modifier le domaine
Choisir une primitive, négliger les unités, intégrer, puis tracer la surface
Tracer le résultat, choisir une fonction, dériver, puis vérifier la géométrie
Observer la géométrie, modéliser, intégrer, puis contrôler le résultat

Observer la géométrie, modéliser, intégrer, puis contrôler le résultat

Explication

La démarche consiste à analyser la géométrie, formuler l’intégrale adaptée, calculer les intégrales successives et vérifier le signe, les unités ainsi que l’ordre de grandeur. Les autres séquences omettent ou remplacent plusieurs contrôles essentiels.

4. Comment interpréter géométriquement l’intégrale double d’une fonction continue sur un domaine plan ?

Comme la moyenne des valeurs de la fonction aux sommets
Comme la somme des longueurs des côtés du domaine
Comme la limite des pentes calculées sur chaque rectangle
Comme la limite des sommes de volumes de petites colonnes

Comme la limite des sommes de volumes de petites colonnes

Explication

L’intégrale double est construite comme la limite des sommes des volumes de colonnes lorsque le découpage du domaine devient de plus en plus fin. Une somme de longueurs, de pentes ou une moyenne aux sommets ne correspond pas à cette construction.

5. Une fonction positive ff décrit une hauteur au-dessus d’un domaine plan DD. Quelle expression donne le volume situé sous la surface et au-dessus de DD ?

V=∬D∂f∂y(x,y) dx dyV=\iint_D \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,dx\,dy
V=∬D∂f∂x(x,y) dx dyV=\iint_D \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\,dx\,dy
V=∬D1 dx dyV=\iint_D 1\,dx\,dy
V=∬Df(x,y) dx dyV=\iint_D f(x,y)\,dx\,dy

$$V=\iint_D f(x,y)\,dx\,dy$$

Explication

Lorsque ff est positive, chaque petite colonne a une hauteur donnée par f(x,y)f(x,y), et leur somme limite donne V=∬Df(x,y) dx dyV=\iint_D f(x,y)\,dx\,dy. L’intégrale de 11 mesure l’aire de la base, tandis que les dérivées partielles ne représentent pas directement le volume.

6. Que représente l’expression ∬D1 dx dy\iint_D 1\,dx\,dy ?

Le volume sous la fonction ff
L’aire du domaine DD
La hauteur moyenne au-dessus du domaine DD
La variation de ff sur le domaine DD

L’aire du domaine $$D$$

Explication

Intégrer la fonction constante égale à 11 additionne les petites aires élémentaires et donne donc ∬D1 dx dy=Aire⁡(D)\iint_D1\,dx\,dy=\operatorname{Aire}(D). L’intégrale d’une fonction positive ff, elle, représente le volume situé sous sa surface.

7. Quelle propriété permet de séparer l’intégrale double d’une combinaison linéaire de fonctions ?

∬D(λf+μg) dx dy=λ∬Df dx dy+μ∬Dg dx dy\iint_D(\lambda f+\mu g)\,dx\,dy=\lambda\iint_Df\,dx\,dy+\mu\iint_Dg\,dx\,dy
∬Df dx dy=∬D∣f∣ dx dy\iint_Df\,dx\,dy=\iint_D\lvert f\rvert\,dx\,dy
∬D1 dx dy=Aire⁡(D)\iint_D1\,dx\,dy=\operatorname{Aire}(D)
∬Df dx dy=∬D1f dx dy+∬D2f dx dy\iint_Df\,dx\,dy=\iint_{D_1}f\,dx\,dy+\iint_{D_2}f\,dx\,dy

$$\iint_D(\lambda f+\mu g)\,dx\,dy=\lambda\iint_Df\,dx\,dy+\mu\iint_Dg\,dx\,dy$$

Explication

La linéarité distribue l’intégrale sur la combinaison λf+μg\lambda f+\mu g et fait sortir les coefficients réels. La décomposition en intégrales sur D1D_1 et D2D_2 relève de l’additivité par rapport au domaine, et non de la linéarité des fonctions.

8. Si D1D_1 et D2D_2 sont disjoints et que D=D1∪D2D=D_1\cup D_2, quelle relation exprime l’additivité de l’intégrale double ?

∬D(f+f) dx dy=∬D1f dx dy+∬D2f dx dy\iint_D(f+f)\,dx\,dy=\iint_{D_1}f\,dx\,dy+\iint_{D_2}f\,dx\,dy
∬Df dx dy=∬D1∩D2f dx dy\iint_Df\,dx\,dy=\iint_{D_1\cap D_2}f\,dx\,dy
∬Df dx dy=∬D1f dx dy+∬D2f dx dy\iint_Df\,dx\,dy=\iint_{D_1}f\,dx\,dy+\iint_{D_2}f\,dx\,dy
∬Df dx dy=∬D1f dx dy−∬D2f dx dy\iint_Df\,dx\,dy=\iint_{D_1}f\,dx\,dy-\iint_{D_2}f\,dx\,dy

$$\iint_Df\,dx\,dy=\iint_{D_1}f\,dx\,dy+\iint_{D_2}f\,dx\,dy$$

Explication

L’additivité permet de calculer l’intégrale sur un domaine union en additionnant les intégrales sur ses sous-domaines disjoints. La linéarité concerne plutôt une somme de fonctions, tandis que l’intersection ou la soustraction ne décrivent pas cette décomposition.

9. Quelle condition caractérise un domaine élémentaire en xx ?

Il s’écrit avec a≤x≤ba\le x\le b et y1(x)≤y≤y2(x)y_1(x)\le y\le y_2(x), chaque section verticale formant un segment.
Il est décrit par des bornes constantes pour xx et yy.
Il possède une section horizontale unique pour chaque valeur de yy.
Il est limité par deux fonctions de xx sans intervalle fixé pour xx.

Il s’écrit avec $$a\le x\le b$$ et $$y_1(x)\le y\le y_2(x)$$, chaque section verticale formant un segment.

Explication

Un domaine élémentaire en xx est compris entre deux bornes dépendant de xx, avec un intervalle fixé pour xx, de sorte que chaque section verticale soit un segment. La description par des sections horizontales correspondrait plutôt à une organisation élémentaire en yy.

10. Pour un domaine décrit par a≤x≤ba\le x\le b et y1(x)≤y≤y2(x)y_1(x)\le y\le y_2(x), quelle écriture de Fubini convient à une intégrale double ?

∫y1(x)y2(x)(∫abf(x,y) dx)dy\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy
∫ab(∫y1(x)y2(x)f(x,y) dy)dx\int_a^b\left(\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\,dy\right)dx
∫ab(∫y1(x)y2(x)f(x,y) dx)dy\int_a^b\left(\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\,dx\right)dy
∫y1(x)y2(x)(∫abf(x,y) dy)dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}\left(\int_a^b f(x,y)\,dy\right)dx

$$\int_a^b\left(\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\,dy\right)dx$$

Explication

Les sections verticales imposent d’intégrer d’abord yy entre y1(x)y_1(x) et y2(x)y_2(x), puis xx entre aa et bb. L’expression qui inverse les variables d’intégration ne respecte pas ces bornes dépendant de xx.

11. Après avoir modélisé le domaine d’une intégrale double et choisi l’ordre d’intégration, quelle étape vient immédiatement dans la procédure décrite ?

Calculer l’intégrale intérieure, puis l’intégrale extérieure.
Transformer systématiquement le domaine en coordonnées polaires.
Remplacer l’intégrande par une constante représentant l’aire.
Déterminer le centre de gravité avant d’effectuer les intégrations.

Calculer l’intégrale intérieure, puis l’intégrale extérieure.

Explication

La procédure consiste ensuite à calculer l’intégrale intérieure, puis l’intégrale extérieure, avant de contrôler le résultat. Les autres actions concernent des méthodes ou des applications qui ne constituent pas l’étape générale suivante.

12. Quelles grandeurs définissent les coordonnées polaires d’un point MM ?

Ses projections sur les axes et la pente de la droite OMOM.
Ses distances signées aux deux axes de coordonnées.
La longueur de l’arc parcouru et son altitude par rapport à l’origine.
Sa distance à l’origine et l’angle entre l’axe des abscisses et le vecteur OMOM.

Sa distance à l’origine et l’angle entre l’axe des abscisses et le vecteur $$OM$$.

Explication

Les coordonnées polaires utilisent la distance r=OMr=OM et l’angle θ\theta formé avec l’axe des abscisses. Les projections sur les axes sont plutôt les coordonnées cartésiennes xx et yy.

13. Un point a pour coordonnées polaires (r,θ)(r,\theta). Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

x=cos⁡(θ)r,y=sin⁡(θ)rx=\frac{\cos(\theta)}{r},\qquad y=\frac{\sin(\theta)}{r}
x=r+cos⁡(θ),y=r+sin⁡(θ)x=r+\cos(\theta),\qquad y=r+\sin(\theta)
x=rcos⁡(θ),y=rsin⁡(θ)x=r\cos(\theta),\qquad y=r\sin(\theta)
x=rsin⁡(θ),y=rcos⁡(θ)x=r\sin(\theta),\qquad y=r\cos(\theta)

$$x=r\cos(\theta),\qquad y=r\sin(\theta)$$

Explication

Le passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes s’effectue par les projections de la longueur rr : x=rcos⁡(θ)x=r\cos(\theta) et y=rsin⁡(θ)y=r\sin(\theta). Intervertir le sinus et le cosinus change l’orientation des projections.

14. Lors d’un changement en coordonnées polaires, par quel facteur l’élément d’aire dx dydx\,dy est-il multiplié ?

Par le facteur rr, puisque dx dy=r dr dθdx\,dy=r\,dr\,d\theta.
Par le facteur r2r^2, puisque dx dy=r2 dr dθdx\,dy=r^2\,dr\,d\theta.
Par le facteur θ\theta, puisque dx dy=θ dr dθdx\,dy=\theta\,dr\,d\theta.
Par le facteur 1/r1/r, puisque dx dy=1r dr dθdx\,dy=\frac{1}{r}\,dr\,d\theta.

Par le facteur $$r$$, puisque $$dx\,dy=r\,dr\,d\theta$$.

Explication

Le jacobien du changement polaire fournit l’élément d’aire dx dy=r dr dθdx\,dy=r\,dr\,d\theta. Le facteur n’est donc ni l’angle lui-même ni une puissance différente de la distance radiale.

15. Quelle expression obtient-on pour une intégrale double après le changement de variables polaires ?

∬Δf(rcos⁡θ,rsin⁡θ) 1r dr dθ\iint_\Delta f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,\frac{1}{r}\,dr\,d\theta
∬Δf(rcos⁡θ,rsin⁡θ) r dr dθ\iint_\Delta f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta
∬Δf(r,θ) dr dθ\iint_\Delta f(r,\theta)\,dr\,d\theta
∬Δf(rsin⁡θ,rcos⁡θ) r2 dr dθ\iint_\Delta f(r\sin\theta,r\cos\theta)\,r^2\,dr\,d\theta

$$\iint_\Delta f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$$

Explication

Il faut remplacer xx et yy par rcos⁡θr\cos\theta et rsin⁡θr\sin\theta, puis intégrer avec le facteur jacobien rr. Omettre ce facteur ou inverser les projections produit une transformation incorrecte.

16. Une lamina occupe un domaine DD et possède une densité surfacique ρ(x,y)\rho(x,y). Quelle formule donne sa masse totale ?

M=∬D(x+y) dx dyM=\iint_D (x+y)\,dx\,dy
M=∬Dxρ(x,y) dx dyM=\iint_D x\rho(x,y)\,dx\,dy
M=∬D1 dx dyM=\iint_D 1\,dx\,dy
M=∬Dρ(x,y) dx dyM=\iint_D\rho(x,y)\,dx\,dy

$$M=\iint_D\rho(x,y)\,dx\,dy$$

Explication

La masse totale s’obtient en intégrant la densité surfacique sur tout le domaine. L’intégrale de 11 donne l’aire, ce qui correspond au cas d’une densité uniforme égale à 11, pas à une densité générale ρ\rho.

17. Si la masse MM d’une lamina est non nulle, quelle expression donne son abscisse de centre de gravité ?

xG=1M∬Dρ(x,y)y dx dyx_G=\frac{1}{M}\iint_D\rho(x,y)y\,dx\,dy
xG=1M∬Dx dx dyx_G=\frac{1}{M}\iint_D x\,dx\,dy
xG=∬Dρ(x,y)x dx dyx_G=\iint_D\rho(x,y)x\,dx\,dy
xG=1M∬Dρ(x,y)x dx dyx_G=\frac{1}{M}\iint_D\rho(x,y)x\,dx\,dy

$$x_G=\frac{1}{M}\iint_D\rho(x,y)x\,dx\,dy$$

Explication

L’abscisse du centre de gravité est le moment pondéré par xx, divisé par la masse totale. L’intégrale faisant intervenir yy correspond au calcul de l’ordonnée pondérée, tandis que l’absence de ρ\rho néglige la densité.

18. Quelle expression définit le moment quadratique d’un domaine DD par rapport à un axe δ\delta, où r(x,y)r(x,y) désigne la distance à cet axe ?

Iδ=∬Dr2(x,y) dxI_\delta=\iint_D r^2(x,y)\,dx
Iδ=∬D1r2(x,y) dx dyI_\delta=\iint_D \frac{1}{r^2(x,y)}\,dx\,dy
Iδ=∬Dr2(x,y) dx dyI_\delta=\iint_D r^2(x,y)\,dx\,dy
Iδ=∬Dr(x,y) dx dyI_\delta=\iint_D r(x,y)\,dx\,dy

$$I_\delta=\iint_D r^2(x,y)\,dx\,dy$$

Explication

Le moment quadratique additionne, sur le domaine, le carré de la distance de chaque point à l’axe considéré. L’intégrale sans carré mesurerait une autre grandeur géométrique et ne correspond pas à cette définition.

19. Quelle intégrale permet de calculer le moment quadratique d’un domaine DD par rapport à l’axe des abscisses OxOx ?

I(Ox)=∬Dy2 dx dyI_{(Ox)}=\iint_D y^2\,dx\,dy
I(Ox)=∬Dxy dx dyI_{(Ox)}=\iint_D xy\,dx\,dy
I(Ox)=∬Dx2 dx dyI_{(Ox)}=\iint_D x^2\,dx\,dy
I(Ox)=∬Dy dx dyI_{(Ox)}=\iint_D y\,dx\,dy

$$I_{(Ox)}=\iint_D y^2\,dx\,dy$$

Explication

La distance d’un point à l’axe OxOx est donnée par sa coordonnée verticale yy, d’où le terme y2y^2 dans l’intégrale. Le terme x2x^2 correspond au moment quadratique par rapport à l’axe OyOy.

20. Pour calculer le moment quadratique par rapport à l’axe des ordonnées OyOy, quelle distance au carré faut-il intégrer sur DD ?

La quantité x2x^2
La quantité xyxy
La quantité x+yx+y
La quantité y2y^2

La quantité $$x^2$$

Explication

La distance d’un point à l’axe vertical OyOy est sa coordonnée horizontale xx, donc le moment recherché intègre x2x^2 sur le domaine. La quantité y2y^2 est associée à l’axe horizontal OxOx.

21. Quelles sont les coordonnées du centre de gravité du demi-disque considéré ?

(14,23π)\left(\frac{1}{4},\frac{2}{3\pi}\right)
(12,43π)\left(\frac{1}{2},\frac{4}{3\pi}\right)
(18,43π)\left(\frac{1}{8},\frac{4}{3\pi}\right)
(43π,18)\left(\frac{4}{3\pi},\frac{1}{8}\right)

$$\left(\frac{1}{8},\frac{4}{3\pi}\right)$$

Explication

Le centre de gravité du demi-disque a pour coordonnées une abscisse égale à 18\frac{1}{8} et une ordonnée égale à 43π\frac{4}{3\pi}. Intervertir ces coordonnées ou modifier leurs valeurs ne décrit pas le centre de gravité indiqué.

22. Quelle est la valeur du moment quadratique du demi-disque considéré par rapport à l’axe des abscisses OxOx ?

43π\frac{4}{3\pi}
π4\frac{\pi}{4}
2π3\frac{2\pi}{3}
π8\frac{\pi}{8}

$$\frac{\pi}{8}$$

Explication

Pour ce demi-disque, l’intégration de la distance au carré à l’axe OxOx donne I(Ox)=π8I_{(Ox)}=\frac{\pi}{8}. Les autres expressions correspondent à des valeurs différentes et ne sont pas le moment quadratique indiqué pour cet axe.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 34 flashcards sur Intégrales multiples et analyse vectorielle.

Que calcule l’intégrale double d’une fonction sur un domaine plan ?

Elle calcule des aires, volumes, masses et moments.

Qu'est-ce qu'un champ de vecteurs ?

Une association d’un vecteur à chaque point d’un domaine avec direction, sens et intensité variables.

Quelles étapes comprend une démarche d’intégration ?

Observer la géométrie, modéliser l’intégrale, calculer les intégrales successives, contrôler signe, unités et ordre de grandeur.

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