Fiche de révision : Intégrales multiples et analyse vectorielle

📋 Plan du Cours

1. Intégrales et applications au génie civil
2. Construction de l’intégrale double
3. Propriétés de l’intégrale double
4. Bornes et calcul par sections
5. Coordonnées polaires
6. Applications géométriques et mécaniques
7. Moments quadratiques des sections
8. Exemple du demi-disque

📖 1. Intégrales et applications au génie civil

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale double : L’intégrale double d’une fonction sur un domaine plan additionne les contributions réparties sur ce domaine et permet notamment de calculer des aires, des volumes, des masses et des moments.
• Champ de vecteurs : Associe à chaque point M d’un domaine un vecteur dont la direction, le sens et l’intensité peuvent dépendre du point considéré.

★ À maîtriser

• 🔄 Une démarche d’intégration consiste à: observer la géométrie, modéliser l’intégrale adaptée, calculer les intégrales successives, contrôler le signe, les unités et l’ordre de grandeur

Compléments

• Les intégrales doubles servent notamment à déterminer:
  • l’aire d’une section
  • le centre de gravité
  • le moment quadratique
  • le volume de matériaux
  • le poids propre
  • la stabilité
  • le débit
  • la pression
  • les flux de chaleur ou d’humidité

💡 Astuce mémo

Répartition sur un domaine → aire, volume, masse ou moment

📖 2. Construction de l’intégrale double

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale double : La limite des sommes des volumes des colonnes lorsque le découpage de D en petits rectangles devient de plus en plus fin.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le volume situé sous la surface z=f(x,y) et au-dessus du domaine D est $V=\iint_D f(x,y)\,dx\,dy$ lorsque f est positive.

📐 Formule - L’aire d’un domaine D est $\iint_D 1\,dx\,dy=\operatorname{Aire}(D)$.

Compléments

• Dans une somme de Riemann bidimensionnelle, la contribution d’un rectangle Rij contenant un point (uij,vij) est f(uij,vij) fois l’aire de Rij.

💡 Astuce mémo

Des colonnes de volume empilées sous une surface

📖 3. Propriétés de l’intégrale double

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaines disjoints : Deux domaines dont les intérieurs ne se recouvrent pas, même si une partie de leur bord peut être commune.

★ À maîtriser

📐 Formule - La linéarité s’écrit $\iint_D(\lambda f+\mu g)\,dx\,dy=\lambda\iint_Df\,dx\,dy+\mu\iint_Dg\,dx\,dy$ pour tous réels λ et μ.

📐 Formule - Si D1 et D2 sont disjoints et D=D1∪D2, alors $\iint_Df\,dx\,dy=\iint_{D_1}f\,dx\,dy+\iint_{D_2}f\,dx\,dy$.

Compléments

• Un domaine complexe peut être intégré en le décomposant en domaines élémentaires deux à deux disjoints, puis en additionnant les intégrales obtenues.

💡 Astuce mémo

LAD : Linéarité, Additivité, Domaine

📖 4. Bornes et calcul par sections

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine élémentaire en x : S’écrit avec a≤x≤b et y1(x)≤y≤y2(x), de sorte que chaque section verticale soit un segment unique.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Sur un domaine élémentaire en x, le théorème de Fubini donne $\iint_Df(x,y)\,dx\,dy=\int_a^b\left(\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\,dy\right)dx$.

• 🔄 Le calcul d’une intégrale double consiste à: observer les sections, modéliser le domaine et choisir l’ordre, calculer l’intégrale intérieure puis l’intégrale extérieure, contrôler le résultat

💡 Astuce mémo

Observer → modéliser → calculer → contrôler

📖 5. Coordonnées polaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées polaires : Repèrent un point M par sa distance r=OM à l’origine et par l’angle θ entre l’axe des abscisses et le vecteur OM.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le changement de coordonnées polaires est donné par $x=r\cos(\theta),\qquad y=r\sin(\theta)$.

📐 Formule - L’élément d’aire se transforme selon $dx\,dy=r\,dr\,d\theta$.

📐 Formule - Le changement de variables polaires donne $\iint_Df(x,y)\,dx\,dy=\iint_\Delta f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$.

💡 Astuce mémo

Cartésien : x,y ; polaire : r,θ

📖 6. Applications géométriques et mécaniques

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une densité surfacique ρ sur D, la masse totale est $M=\iint_D\rho(x,y)\,dx\,dy$.

📐 Formule - Si M est non nulle, les coordonnées du centre de gravité sont $x_G=\frac{1}{M}\iint_D\rho(x,y)x\,dx\,dy$ et $y_G=\frac{1}{M}\iint_D\rho(x,y)y\,dx\,dy$.

Compléments

📐 Formule - Pour le paraboloïde z=x²+y² au-dessus du disque x²+y²≤9, le volume calculé en coordonnées polaires vaut $V=\frac{81\pi}{2}$.

• Pour le domaine délimité par x²+y²−x=0, qui est un disque de centre (1/2,0) et de rayon 1/2, les coordonnées polaires vérifient $0\le r\le\cos(\theta)$ et $-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}$.

💡 Astuce mémo

Densité intégrée → masse → centre de gravité

📖 7. Moments quadratiques des sections

★ À maîtriser

📐 Formule - Le moment quadratique d’un domaine D par rapport à un axe δ est $I_\delta=\iint_Dr^2(x,y)\,dx\,dy$, où r(x,y) est la distance du point à l’axe.

📐 Formule - Par rapport à l’axe des abscisses, le moment quadratique est $I_{(Ox)}=\iint_Dy^2\,dx\,dy$.

📐 Formule - Par rapport à l’axe des ordonnées, le moment quadratique est $I_{(Oy)}=\iint_Dx^2\,dx\,dy$.

Compléments

• Le moment quadratique mesure la résistance géométrique d’une section à la flexion autour d’un axe et dépend seulement de la forme de la section et de la répartition de son aire.

💡 Astuce mémo

Axe Ox : distance y ; axe Oy : distance x

📖 8. Exemple du demi-disque

★ À maîtriser

• Pour ce demi-disque, le centre de gravité a pour coordonnées $\left(x_G,y_G\right)=\left(\frac18,\frac{4}{3\pi}\right)$.

📐 Formule - Pour ce demi-disque, le moment quadratique par rapport à l’axe des abscisses vaut $I_{(Ox)}=\frac{\pi}{8}$.

Compléments

• Pour le demi-disque supérieur de rayon 1 et de densité ρ(x,y)=2+x, la masse totale vaut M=π.

• 🔄 L’étude du demi-disque suit l’ordre suivant: calculer la masse, calculer les deux coordonnées du centre de gravité, calculer le moment quadratique par rapport à Ox

💡 Astuce mémo

Masse → centre de gravité → moment quadratique

📊 Tableaux de synthèse

Choix des sections et des bornes