Fiche de révision : Géométrie analytique

📋 Plan du Cours

1. Outils de base du plan
2. Relations entre deux droites
3. Droites remarquables du triangle
4. Centres et droite d’Euler
5. Quadrilatères et cercles

📖 1. Outils de base du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Milieu d’un segment : Le milieu d’un segment est le point situé exactement à égale distance de ses deux extrémités.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les coordonnées du milieu de A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B) sont $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

📐 Formule - La pente de la droite passant par A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B) est $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ pour une droite non verticale.

📐 Formule - La droite passant par P(x_0,y_0) et de pente m vérifie $y-y_0=m(x-x_0)$.

📐 Formule - La distance entre A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B) est $d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

Compléments

📐 Formule - L’équation d’un cercle de centre C(x_C,y_C) et de rayon R est $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=R^2$.

💡 Astuce mémo

Milieu → pente → droite → distance

📖 2. Relations entre deux droites

📝 Points essentiels

📌 Deux droites de pentes m_1 et m_2 sont parallèles si et seulement si $m_1=m_2$.

📌 Deux droites de pentes m_1 et m_2 sont perpendiculaires si $m_1m_2=-1$, soit $m_2=-\frac{1}{m_1}$.

• Le point d’intersection de deux droites non parallèles se trouve en résolvant le système de leurs deux équations, par égalisation ou substitution.

• Pour construire une droite parallèle ou perpendiculaire à une droite donnée passant par P(x_0,y_0), on détermine d’abord la pente de la droite donnée, puis on choisit la même pente ou son opposée inverse, avant d’utiliser l’équation point-pente.

💡 Astuce mémo

Parallèles : même pente ; perpendiculaires : produit des pentes égal à −1

📖 3. Droites remarquables du triangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : Droite reliant un sommet au milieu du côté opposé.
• Hauteur : Droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
• Médiatrice : Droite perpendiculaire à un côté et passant par son milieu.
• Bissectrice : Une bissectrice est une droite dont les trois intersections dans un triangle définissent le centre du cercle inscrit, point équidistant des trois côtés.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour un triangle de sommets A, B et C, la longueur de la médiane issue de A vérifie $m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$.

💡 Astuce mémo

M-H-M-B : médianes, hauteurs, médiatrices, bissectrices

📖 4. Centres et droite d’Euler

🔑 Notions clés & Définitions

• Orthocentre : L’orthocentre H est le point d’intersection des trois hauteurs d’un triangle.
• Centre du cercle circonscrit : Le centre du cercle circonscrit O est le point d’intersection des trois médiatrices et le centre du cercle passant par les trois sommets.
• Droite d’Euler : La droite d’Euler est la droite passant par l’orthocentre H, le centre de gravité G et le centre du cercle circonscrit O.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le centre de gravité du triangle de sommets A, B et C a pour coordonnées $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.

📐 Formule - Le centre du cercle inscrit I a pour coordonnées $I\left(\frac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c},\frac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c}\right)$, où a=BC, b=AC et c=AB.

Compléments

📐 Formule - Sur la droite d’Euler, la relation vectorielle est $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$.

💡 Astuce mémo

O, G et H alignés sur la droite d’Euler

📖 5. Quadrilatères et cercles

★ À maîtriser

• Pour prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme, on peut démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, que ses diagonales ont le même milieu, ou que ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.

📌 Pour prouver qu’un quadrilatère est un rectangle, il faut d’abord établir qu’il est un parallélogramme, puis démontrer qu’il possède un angle droit ou des diagonales égales.

Compléments

📐 Formule - Deux côtés adjacents sont perpendiculaires si leurs pentes vérifient $m_{AB}m_{BC}=-1$.

📌 Un parallélogramme est un rectangle si ses diagonales vérifient $AC=BD$.

• La forme générale d’une équation de cercle est $x^2+y^2+ax+by+c=0$.

💡 Astuce mémo

Parallélogramme : parallélisme ou milieux ; rectangle : parallélogramme plus angle droit ou diagonales égales

📊 Tableaux de synthèse

Centres remarquables du triangle