QCM : Géométrie analytique (17 questions)

Explication

Le milieu se définit par son égal éloignement des deux extrémités, ce qui partage le segment en deux parties de même longueur. Un point quelconque du segment peut y appartenir sans être équidistant des extrémités.

Explication

Le milieu s’obtient en faisant la moyenne de chaque paire de coordonnées : $M\left(\frac{2+8}{2},\frac{4+10}{2}\right)=(5,7)$. Les différences de coordonnées servent plutôt au calcul de la pente ou de la distance.

Explication

La pente vaut $m=\frac{10-2}{5-1}=\frac{8}{4}=2$. La valeur $\frac{1}{2}$ correspondrait à l’inverse de la pente et ne respecte pas l’ordre des variations verticales et horizontales.

Explication

La distance est $\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=5$. Additionner directement les coordonnées ou oublier la racine ne donne pas la formule euclidienne de la distance.

Explication

Deux droites parallèles ont la même pente, car elles présentent la même direction. La condition de produit égal à $-1$ caractérise plutôt deux droites perpendiculaires.

Explication

La perpendicularité impose $3m_2=-1$, donc $m_2=-\frac{1}{3}$. Des pentes égales indiqueraient plutôt des droites parallèles, sous réserve qu’elles soient distinctes.

Explication

Le point d’intersection doit satisfaire simultanément les deux équations, donc il se trouve en résolvant leur système par égalisation ou substitution. Les coefficients directeurs seuls ne fournissent pas les coordonnées du point recherché.

Explication

La pente d’une perpendiculaire est l’opposée de l’inverse, soit $-\frac{1}{m}$, puis l’équation passant par $P$ s’écrit avec la forme point-pente. Conserver la pente produirait une parallèle, et l’inverse sans signe opposé ne garantit pas la perpendicularité.

Explication

Une médiane relie un sommet au milieu du côté opposé. La perpendicularité décrit une hauteur ou une médiatrice, tandis que le partage d’un angle définit une bissectrice.

Explication

Une hauteur est la droite issue d’un sommet et perpendiculaire au côté opposé, ou à son prolongement. Rejoindre le milieu du côté opposé correspond à la définition d’une médiane.

Explication

La médiatrice combine deux propriétés : elle est perpendiculaire au côté et passe par son milieu. Une hauteur est liée à un sommet, tandis qu’une médiane relie un sommet au milieu du côté opposé.

Explication

Le centre de gravité s’obtient en faisant la moyenne arithmétique des coordonnées des trois sommets. La formule pondérée par les longueurs des côtés correspond au centre du cercle inscrit, et non au centre de gravité.

Explication

L’orthocentre est le point commun aux trois hauteurs du triangle. Le centre de gravité est associé aux médianes, tandis que les deux autres points sont définis par des propriétés de cercles.

Explication

Le centre du cercle inscrit est une moyenne pondérée des sommets, les coefficients étant les longueurs des côtés opposés. La moyenne non pondérée caractérise le centre de gravité, et les autres expressions ne divisent pas correctement par la somme des coefficients.

Explication

La droite d’Euler passe par l’orthocentre $H$, le centre de gravité $G$ et le centre du cercle circonscrit $O$. Le centre du cercle inscrit n’est pas l’un des trois points qui la définissent.

Explication

Des diagonales qui ont le même milieu caractérisent un parallélogramme. Des diagonales perpendiculaires ou deux côtés consécutifs égaux peuvent caractériser d’autres quadrilatères, tandis qu’un seul angle droit ne suffit pas.

Explication

Le critère demande d’établir d’abord que le quadrilatère est un parallélogramme, puis de montrer qu’un de ses angles est droit. Deux côtés consécutifs égaux ne constituent pas ce critère, et les autres propriétés proposées ne permettent pas de conclure ainsi.