Intégration de Lebesgue

📋 Plan du Cours

1. Limites de l’intégrale de Riemann
2. Mesure de Lebesgue
3. Intégrale et espaces Lp
4. Convergence des intégrales
5. Intégrales dépendant d’un paramètre
6. Inversion de l’ordre d’intégration
7. Produit de convolution
8. Applications intégrales classiques

📖 1. Limites de l’intégrale de Riemann

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale de Riemann : Isaac Newton, 1642–1727 — Si f est continue sur [a,b], son intégrale de Riemann est définie comme la limite des sommes de Riemann et vaut F(b)-F(a), où F est une primitive de f sur [a,b].
• Intégrale généralisée : Si f est continue sur ]a,b] et si la limite $\lim_{\alpha\to a^+}\int_\alpha^b f(t)\,dt$ existe et est finie, cette limite définit l’intégrale généralisée de f sur [a,b].

📝 Points essentiels

• Pour une fonction continue f sur [a,b], $$\int_a^b f(t),dt=\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)=F(b)-F(a).

💡 Astuce mémo

Riemann parcourt les points, Lebesgue regroupe les valeurs

📖 2. Mesure de Lebesgue

🔑 Notions clés & Définitions