Fiche de révision : Intégration de Lebesgue

📋 Plan du Cours

1. Limites de l’intégrale de Riemann
2. Mesure de Lebesgue
3. Intégrale et espaces Lp
4. Convergence des intégrales
5. Intégrales dépendant d’un paramètre
6. Inversion de l’ordre d’intégration
7. Produit de convolution
8. Applications intégrales classiques

📖 1. Limites de l’intégrale de Riemann

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale de Riemann : Isaac Newton, 1642–1727 — Si f est continue sur [a,b], son intégrale de Riemann est définie comme la limite des sommes de Riemann et vaut F(b)-F(a), où F est une primitive de f sur [a,b].
• Intégrale généralisée : Si f est continue sur ]a,b] et si la limite $\lim_{\alpha\to a^+}\int_\alpha^b f(t)\,dt$ existe et est finie, cette limite définit l’intégrale généralisée de f sur [a,b].

📝 Points essentiels

• Pour une fonction continue f sur [a,b], $$\int_a^b f(t),dt=\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)=F(b)-F(a).

💡 Astuce mémo

Riemann parcourt les points, Lebesgue regroupe les valeurs

📖 2. Mesure de Lebesgue

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesure de Lebesgue : La mesure de Lebesgue λn mesure une grande classe d’ensembles Lebesgue-mesurables de Rn et vérifie notamment la mesure des cubes, la monotonie, l’additivité sur les ensembles disjoints et l’invariance par translation.
• Presque partout : Une propriété est vraie presque partout sur un ensemble mesurable A si elle est vraie sur A privé d’un ensemble négligeable.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout cube [a,b]n, la mesure de Lebesgue vérifie $\lambda_n([a,b]^n)=(b-a)^n.$

Compléments

• La mesure de Lebesgue de Rn vaut +∞, celle de l’ensemble vide vaut 0, et il existe des ensembles non vides de mesure nulle appelés ensembles négligeables.

💡 Astuce mémo

MOT : Monotonie, Additivité, Translation

📖 3. Intégrale et espaces Lp

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction intégrable : Une fonction mesurable f à valeurs réelles ou complexes est intégrable sur A si $\int_A|f(x)|\,dx<+\infty$, et l’on note alors f∈L1(A).
• Espace L2 : L’espace L2(A) regroupe les fonctions f telles que $\int_A|f(x)|^2\,dx<+\infty$, c’est-à-dire les fonctions de carré intégrable.

📝 Points essentiels

• Pour montrer qu’une fonction est intégrable, on peut calculer directement son intégrale absolue, utiliser un théorème de comparaison, employer des équivalents ou des développements limités, puis effectuer si nécessaire un changement de variables ou une intégration par parties.

• Pour α réel, $t^{-\alpha}\in L^1([0,1])\Longleftrightarrow \alpha<1$ et $t^{-\alpha}\in L^1([1,+\infty[)\Longleftrightarrow \alpha>1.$

💡 Astuce mémo

L1 contrôle |f|, L2 contrôle |f|²

📖 4. Convergence des intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence simple : Une suite de fonctions fn converge simplement vers f presque partout sur A si fn(x) tend vers f(x) quand n tend vers l’infini pour presque tout x de A.

★ À maîtriser

📌 Le théorème de convergence monotone s’applique à des fonctions mesurables positives fn croissantes presque partout et donne $\int_A f_n\,dx\to\int_A f\,dx$, sans hypothèse d’intégrabilité préalable. — Beppo Levi

📌 Le théorème de convergence dominée s’applique si fn converge vers f presque partout et s’il existe une fonction g intégrable, indépendante de n, telle que |fn|≤g presque partout pour tout n ; alors $\int_A f_n\,dx\to\int_A f\,dx$. — Lebesgue

Compléments

• La suite fn(t)=1n,n+1 converge presque partout vers 0, mais ses intégrales valent toutes 1 et ne convergent donc pas vers l’intégrale de la limite.

💡 Astuce mémo

Convergence ponctuelle + hypothèse adaptée → convergence des intégrales

📖 5. Intégrales dépendant d’un paramètre

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale à paramètre : À partir d’une fonction f(t,x), on peut définir une fonction du paramètre t par $F(t)=\int_A f(t,x)\,dx.$

★ À maîtriser

📌 Si f(t,x) est continue en t presque partout en x et dominée par une fonction g(x) intégrable indépendante de t, alors F(t)=∫A f(t,x)dx est continue.

📐 Formule — Sous les hypothèses de dérivabilité et de domination intégrable de la dérivée partielle, $F'(t)=\frac{d}{dt}\int_A f(t,x)\,dx=\int_A\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)\,dx.$

Compléments

📐 Formule — L’intégrale gaussienne vérifie $\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.$

💡 Astuce mémo

Continuité sous l’intégrale, puis dérivation sous l’intégrale

📖 6. Inversion de l’ordre d’intégration

★ À maîtriser

📌 Si f est mesurable sur A×B et absolument intégrable, alors les intégrales itérées existent et l’ordre d’intégration peut être inversé : $\int_A\int_B f(x,y)\,dy\,dx=\int_B\int_A f(x,y)\,dx\,dy.$ — Guido Fubini, 1879–1943

📐 Formule — Le calcul par Fubini et coordonnées polaires donne $\int_{\mathbb R}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}.$

Compléments

• Pour appliquer Fubini en pratique, on prend |f|, on calcule une intégrale itérée et, si le résultat est fini, on peut intégrer f et changer l’ordre d’intégration.

💡 Astuce mémo

Intégrer en x puis y ou en y puis x, sous intégrabilité absolue

📖 7. Produit de convolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit de convolution : Pour deux fonctions f,g:R→C, leur convolution est définie par $(f*g)(x)=\int_{\mathbb R}f(x-y)g(y)\,dy.$

★ À maîtriser

📌 Si f,g∈L1(R), alors f*g existe presque partout, appartient à L1(R) et vérifie $\int_{\mathbb R}|f*g(x)|\,dx\le\left(\int_{\mathbb R}|f(x)|\,dx\right)\left(\int_{\mathbb R}|g(x)|\,dx\right).$

📌 Si f,g∈L2(R), alors f*g existe pour tout x, est continue, tend vers 0 à l’infini et vérifie $|f*g(x)|\le\sqrt{\int_{\mathbb R}|f(x)|^2dx}\sqrt{\int_{\mathbb R}|g(x)|^2dx}.$

Compléments

• Lorsque la convolution existe, elle est commutative : (fg)(x)=(gf)(x).

💡 Astuce mémo

Une fonction glisse sur l’autre pendant l’intégration

📖 8. Applications intégrales classiques

★ À maîtriser

• La convolution avec une fonction adaptée, notamment une gaussienne, permet de régulariser une fonction ou un signal.

• L’intégrale de Lebesgue permet d’intégrer des fonctions peu régulières sur des ensembles généraux de Rn et pour des fonctions à plusieurs variables. — Henri Lebesgue, 1875–1941

Compléments

• Le calcul par Fubini donne $\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}\,dx=\ln 2.$

📐 Formule — L’inégalité de Cauchy-Schwarz utilisée pour la convolution s’écrit $\left|\int_{\mathbb R}f(t)g(t)\,dt\right|\le\sqrt{\int_{\mathbb R}|f(t)|^2dt}\sqrt{\int_{\mathbb R}|g(t)|^2dt}.$ — Augustin Louis Cauchy, 1789–1857

📊 Tableaux de synthèse

Riemann et Lebesgue