Fiche de révision : Mesures et incertitudes

📋 Plan du Cours

1. Grandeurs et erreurs de mesure
2. Présentation du résultat mesuré
3. Comparaison à une référence
4. Mesure unique et type B
5. Série de mesures et répétabilité
6. Incertitude composée et applications

📖 1. Grandeurs et erreurs de mesure

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeur physique : Propriété mesurable d’un objet ou d’un événement, obtenue par mesure avec des instruments adaptés ou par calcul à partir d’autres grandeurs.

★ À maîtriser

📌 L’erreur de mesure est la différence entre la valeur mesurée et la valeur exacte, tandis que l’incertitude de mesure est un intervalle de valeurs probables associé à la valeur mesurée.

📌 Les erreurs systématiques sont souvent liées à l’appareil de mesure et peuvent disparaître par réglage, tandis que les erreurs aléatoires proviennent des fluctuations de la grandeur mesurée ou de la méthode de mesure.

Compléments

• Une balance qui n’affiche pas zéro en l’absence de masse introduit une erreur systématique.

💡 Astuce mémo

Erreur inconnue, incertitude estimable

📖 2. Présentation du résultat mesuré

★ À maîtriser

📐 Formule — Le résultat d’une mesure s’écrit $x = x_{mes} \pm u(x)$.

📐 Formule — L’écriture $x = x_{mes} \pm u(x)$ signifie que la valeur vraie est comprise dans l’intervalle $[x_{mes}-u(x)\ ;\ x_{mes}+u(x)]$.

Compléments

📌 L’incertitude-type est la plupart du temps donnée avec un seul chiffre significatif.

• Le résultat $d = 366\ \mathrm{km} \pm 2\ \mathrm{km}$ correspond à l’intervalle $364\ \mathrm{km} \le d \le 368\ \mathrm{km}$.

📖 3. Comparaison à une référence

★ À maîtriser

📐 Formule — La qualité d’une mesure par rapport à une valeur de référence x_ref est évaluée par $z = \frac{|x_{mes}-x_{ref}|}{u(x)}$.

📌 Si z < 2, la mesure est compatible avec la valeur de référence ; si 2 < z ≤ 3, le résultat est discutable ; si z > 3, le résultat est insatisfaisant.

Compléments

• Pour une eau de Javel, la concentration attendue est c_exp = 1,56 mol·L⁻¹ et une mesure donne c = 1,34 ± 0,08 mol·L⁻¹.

💡 Astuce mémo

z < 2 compatible, 2 à 3 discutable, z > 3 insatisfaisant

📖 4. Mesure unique et type B

🔑 Notions clés & Définitions

• Évaluation de type B : Permet d’estimer l’incertitude-type u(x) lors d’une mesure unique d’une grandeur x à partir d’une formule fournie.

★ À maîtriser

📌 Pour une tolérance t indiquée par le fabricant d’un dispositif, l’incertitude-type peut être prise égale à $u = \frac{t}{\sqrt{3}}$.

Compléments

• Pour une pipette jaugée dont la tolérance vaut ± 0,04 mL, l’incertitude-type se calcule à partir de cette tolérance selon $u(V)=\frac{t}{\sqrt{3}}$.

📌 Pour une double lecture sur une échelle graduée, l’incertitude-type peut être prise égale à une graduation divisée par √6.

📖 5. Série de mesures et répétabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Incertitude de répétabilité : Incertitude associée à des mesures répétées d’une même grandeur dans les mêmes conditions expérimentales.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour n mesures x_i, la valeur estimée est la moyenne $\bar{x}_{mes}=\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$.

📐 Formule — L’écart-type expérimental est $\sigma_{n-1}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$.

📐 Formule — L’incertitude-type de répétabilité se calcule par $u(\bar{x})=k\times\frac{\sigma_{n-1}}{\sqrt{n}}$.

Compléments

• Sur une calculatrice, l’écart-type expérimental σ_{n−1} est généralement noté S_X et il ne faut pas sélectionner σ.

📌 Le facteur d’élargissement k dépend du nombre de mesures et de l’écart-type expérimental, et sa valeur est donnée par un tableau expérimental ou une table de la loi de Student.

💡 Astuce mémo

Mesurer, moyenner, disperser, incertituder

📖 6. Incertitude composée et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Incertitude-type composée : Incertitude du résultat obtenu par calcul d’une grandeur physique à partir de données dont les incertitudes-types sont connues.

★ À maîtriser

📐 Formule — Lors du titrage décrit, la concentration de la solution titrée est calculée par $c=\frac{c_X V_E}{2V_L}$.

• 🔄 Pour exploiter un titrage avec incertitude composée, il faut: calculer la valeur estimée de c, calculer l’incertitude-type u(c), présenter le résultat sous la forme c = c̄ ± u(c)

• Le facteur K vaut 1 pour un niveau de confiance de 68 %, 2 pour 95 % et 3 pour 98 %.

Compléments

📐 Formule — Pour une série de mesures, l’incertitude-type sur la moyenne est $u(\bar{x})=\frac{\sigma_{n-1}}{\sqrt{n}}$ et l’incertitude élargie est $U(\bar{x})=K\,u(\bar{x})$.

• Pour les mesures de masse de cuivre, la moyenne vaut 264,6 mg, l’écart-type expérimental vaut 3,3 mg et l’incertitude élargie vaut 2 mg, ce qui donne 262,6 mg ≤ m ≤ 266,6 mg au niveau de confiance de 95 %.

📊 Tableaux de synthèse

Seuils de compatibilité avec une référence