Fiche de révision : Manipuler les nombres réels

📋 Plan du Cours

1. Ensembles numériques fondamentaux
2. Appartenance et classification
3. Nombres réels et droite numérique
4. Intervalles et représentations
5. Unions et intersections
6. Démonstrations et calculs
7. Applications sur les réels

📖 1. Ensembles numériques fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers relatifs : Ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous forme d’un entier positif ou négatif : Z = {... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}.
• Nombres décimaux : Ensemble des quotients qui peuvent s’écrire sous la forme a/10^n, avec a un entier relatif et n un entier positif ; leur écriture comporte un nombre fini de chiffres après la virgule.
• Nombres réels : Comprend les nombres qui peuvent s’écrire avec une partie entière et un nombre fini ou infini de décimales.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Appartenance et classification

★ À maîtriser

📌 Le symbole ∈ signifie qu’un nombre appartient à un ensemble, tandis que le symbole ∉ signifie qu’il n’y appartient pas.

📌 Les inclusions entre les ensembles numériques sont N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Compléments

• Les exemples 4 ∈ N, -2 ∉ N, -2 ∈ Z, 0,56 ∈ D, 1/3 ∉ D, 1/3 ∈ Q et √2 ∉ Q illustrent la classification des nombres.

💡 Astuce mémo

∈ signifie appartient, ∉ signifie n’appartient pas

📖 3. Nombres réels et droite numérique

★ À maîtriser

• À tout point d’une droite graduée est associé un unique nombre réel, son abscisse, et réciproquement à tout nombre réel est associé un unique point.

Compléments

• La droite graduée est aussi appelée droite numérique.

• Les nombres -3,7, -√3, 0, 2/3, √2 et π appartiennent à R.

📖 4. Intervalles et représentations

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Ensemble des nombres réels compris entre deux bornes, comme l’ensemble des x tels que 2 ≤ x ≤ 4, noté [2 ; 4].

★ À maîtriser

📌 Une borne est incluse lorsque l’inégalité contient ≤ ou ≥ et exclue lorsqu’elle contient < ou >.

• Pour représenter un intervalle, on traduit d’abord l’inégalité en notation d’intervalle, puis on place les bornes sur une droite graduée en utilisant un point plein si la borne est incluse et un point creux si elle est exclue.

Compléments

• L’ensemble des nombres réels R est l’intervalle ]−∞ ; +∞[.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : extrémité incluse ; crochet ouvert : extrémité exclue

📖 5. Unions et intersections

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B, et se note A ∩ B.
• Réunion : Ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B, et se note A ∪ B.

📝 Points essentiels

• Pour I = [-1 ; 3] et J = ]0 ; 4[, on obtient I ∩ J = ]0 ; 3] et I ∪ J = [-1 ; 4[.

💡 Astuce mémo

∩ signifie « et », ∪ signifie « ou »

📖 6. Démonstrations et calculs

★ À maîtriser

• Pour démontrer que 1/3 n’est pas décimal, on suppose d’abord qu’il est décimal, on l’écrit a/10^p, on en déduit que 10^p est divisible par 3, puis on constate que la somme de ses chiffres vaut 1, ce qui est impossible.

Compléments

📌 Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.

💡 Astuce mémo

Supposition fausse → contradiction → conclusion

📖 7. Applications sur les réels

★ À maîtriser

• Pour déterminer le plus petit ensemble contenant un nombre, on le simplifie ou le calcule, puis on utilise les inclusions N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Compléments

• Les calculs 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1, √16 − √25 = -1, 91/7 = 13 et 36/2 − √289 = 0 donnent respectivement un nombre naturel, un entier relatif, un entier naturel et un entier naturel.

• Le nombre -5 est décimal car -5 = -5/1, tandis que 5/7 est rationnel mais non décimal.

📊 Tableaux de synthèse

Classification des ensembles numériques