QCM : Manipuler les nombres réels — 17 questions

Explication

L’ensemble $\mathbb{Z}$ contient les entiers positifs, les entiers négatifs et zéro. L’ensemble $\mathbb{N}$ ne contient pas les entiers négatifs.

Explication

$0,375$ possède une écriture décimale comportant un nombre fini de chiffres après la virgule, donc il appartient à $\mathbb{D}$. En revanche, $\frac{1}{3}$ possède une écriture décimale infinie périodique.

Explication

Les nombres réels peuvent s’écrire avec une partie entière et un nombre fini ou infini de décimales. Les quotients de la forme $\frac{a}{10^n}$ décrivent plus précisément les nombres décimaux.

Explication

Le symbole $\in$ indique qu’un nombre appartient à un ensemble, et $-5$ est bien un entier relatif. Le symbole $\notin$ exprimerait au contraire la non-appartenance.

Explication

Tout nombre décimal est rationnel, donc $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$. La relation inverse est fausse, car des rationnels comme $\frac{1}{3}$ ne sont pas des nombres décimaux.

Explication

Chaque point d’une droite graduée possède une unique abscisse réelle, et chaque nombre réel correspond à un unique point. Les nombres non entiers, comme $\frac{2}{3}$ ou $\sqrt{2}$, peuvent également être représentés.

Explication

$\pi$ est un nombre réel, même si son écriture décimale est infinie. La confusion fréquente consiste à croire que les nombres irrationnels comme $\pi$ ou $\sqrt{2}$ n’appartiennent pas à $\mathbb{R}$.

Explication

Les deux inégalités larges indiquent que les bornes 2 et 4 appartiennent à l’intervalle, ce qui donne $[2\ ;\ 4]$. La notation $]2\ ;\ 4[\\$ exclurait ces deux bornes.

Explication

Le symbole $<$ exclut la borne −3, tandis que le symbole $\leq$ inclut la borne 5. L’intervalle obtenu est donc $]-3\ ;\ 5]$.

Explication

La borne −2 est exclue, donc elle se représente par un point creux, tandis que 3 est incluse et se représente par un point plein. Cette représentation suit directement la traduction des signes d’inégalité.

Explication

L’intersection $A \cap B$ conserve les éléments communs aux deux ensembles, donc ceux qui appartiennent à $A$ et à $B$. La condition « ou » correspond à la réunion, notée $A \cup B$.

Explication

La réunion rassemble les éléments présents dans au moins l’un des deux ensembles et se note $A \cup B$. L’intersection serait limitée aux éléments communs à $A$ et à $B$.

Explication

Les éléments communs aux deux intervalles sont strictement supérieurs à 0 et inférieurs ou égaux à 3, d’où $I\cap J=]0\ ;\ 3]$. L’intervalle $[-1\ ;\ 4[\\$ correspond à leur réunion, et non à leur intersection.

Explication

En supposant $\frac{1}{3}$ décimal, on l’écrit $\frac{a}{10^p}$, ce qui impose la divisibilité de $10^p$ par 3. Or la somme des chiffres de $10^p$ vaut 1, donc ce nombre n’est pas divisible par 3, ce qui produit la contradiction.

Explication

Un entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3. Le critère fondé sur le dernier chiffre concerne notamment la divisibilité par 10, pas celle par 3.

Explication

Il faut d’abord simplifier ou calculer le nombre, puis appliquer la chaîne d’inclusions entre les ensembles numériques. Une comparaison à zéro ne suffit pas à distinguer, par exemple, un nombre décimal d’un nombre rationnel non décimal.

Explication

Le nombre $-5$ est décimal puisqu’il s’écrit $\frac{-5}{1}$, alors que $\frac{5}{7}$ est rationnel sans être décimal. La confusion fréquente consiste à croire qu’un entier négatif n’est pas décimal ou qu’une fraction rationnelle est forcément décimale.