Fiche de révision : Introduction à la dérivation

📋 Plan du Cours

1. Nombre dérivé et taux d’accroissement
2. Tangente à une courbe
3. Fonction dérivée et fonctions usuelles
4. Dérivée d’une somme et d’un produit
5. Dérivée d’un quotient et d’une composée

📖 1. Nombre dérivé et taux d’accroissement

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement mesure la variation de la fonction entre a et a+h, divisée par h.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé en a est la limite du taux d’accroissement quand h tend vers 0, s’il existe.

📝 Points essentiels

• La formule du taux d’accroissement en a est (f(a+h)−f(a))/h.
• f est dérivable en a si (f(a+h)−f(a))/h tend vers un nombre L quand h tend vers 0, et alors f'(a)=L.
• Pour f(x)=x^2, on obtient f'(3)=6.

💡 Astuce mémo

Taux d’accroissement = variation sur déplacement, puis la tangente apparaît quand h→0.

📖 2. Tangente à une courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente : La tangente en un point A d’abscisse a est la droite passant par (a,f(a)) et de coefficient directeur égal à f'(a).
• Équation réduite de la tangente : L’équation de la tangente s’écrit avec le coefficient directeur f'(a) et l’ordonnée à l’origine déterminée pour passer par (a,f(a)).

📝 Points essentiels

• Si f est dérivable en a, la tangente au point d’abscisse a est y=f'(a)x+p avec p choisi pour passer par (a,f(a)).
• On a la forme y=f'(a)(x−a)+f(a) pour la tangente en abscisse a.
• Pour f(x)=x^2 en a=3, la tangente est y=6x−9.

💡 Astuce mémo

Tangente : pente = dérivée au point, puis on impose qu’elle passe par (a,f(a)).

📖 3. Fonction dérivée et fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à chaque x le nombre dérivé f'(x) quand la fonction est dérivable.
• Dérivabilité sur un intervalle : Une fonction est dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en tout point de cet intervalle.
• Dérivées des fonctions usuelles : Certaines fonctions de base ont des dérivées à connaître directement, comme x↦x^n ou x↦√x.

📝 Points essentiels

• Si f est dérivable sur I, alors sa fonction dérivée est f':x↦f'(x).
• Pour f(x)=x^n avec n∈N, on a f'(x)=n x^{n−1}.
• Pour f(x)=√x définie sur [0,+∞[, on a f'(x)=1/(2√x).
• Pour f(x)=1/x sur D=R* (x≠0), on a f'(x)=−1/x^2.

💡 Astuce mémo

Règle puissance : (x^n)' = n x^{n−1} ; puis garde le domaine pour 1/x et √x.

📖 4. Dérivée d’une somme et d’un produit

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d’une somme : La dérivée de u+v est la somme des dérivées, pour des fonctions dérivables sur le même intervalle.
• Dérivée d’un produit : La dérivée du produit uv combine u' et v dans une formule où chaque dérivée apparaît une seule fois.

📝 Points essentiels

• Pour u et v dérivables sur I, (u+v)'=u'+v' sur I.
• Pour un réel k, (ku)'=k u' sur I.
• Pour u et v dérivables sur I, (uv)'=u'v+v'u sur I.

💡 Astuce mémo

Somme : on dérive “terme à terme” ; Produit : u'v + v'u (chaque dérivée une fois).

📖 5. Dérivée d’un quotient et d’une composée

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d’un quotient : La dérivée de u/v s’obtient avec une différence au numérateur et un carré de v au dénominateur.
• Dérivée d’une composée : Si f(x)=g(ax+b), la dérivée vaut a fois la dérivée de g évaluée en ax+b.

📝 Points essentiels

• Si v ne s’annule pas sur I, (1/v)'=−v'/v^2 et (u/v)'=(u'v−v'u)/v^2 sur I.
• Pour f(x)=g(ax+b), on a f'(x)=a·g'(ax+b).
• Exemple : pour f(x)=(5x−2)^3, on a f'(x)=15(5x−2)^2.

💡 Astuce mémo

Quotient : (u'v−v'u)/v^2 ; Composée : facteur a puis g' au bon endroit (ax+b).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le taux d’accroissement (avec h) et le nombre dérivé (limite quand h→0).
2. Oublier que la tangente passe par (a,f(a)) : la pente seule f'(a) ne suffit pas.
3. Appliquer la règle puissance à des valeurs/définition qui posent problème, comme 1/x en x=0 ou √x en x<0.
4. Dans le produit, écrire (uv)'=u'v+u v' au lieu de u'v+v'u revient au bon résultat mais attention à l’ordre des facteurs et aux erreurs de signes.
5. Pour le quotient, oublier le carré v^2 au dénominateur provoque des résultats faux.
6. Pour la composée, oublier le facteur a (règle de la dérivation de ax+b).
7. Confondre u+v et uv : les formules de dérivation ne se ressemblent pas (somme vs produit).

✅ Checklist Examen

1. Calculer un taux d’accroissement (f(a+h)−f(a))/h et décider quand on doit passer à la limite.
2. Déterminer si f est dérivable en a en étudiant la limite quand h→0 et donner f'(a) quand elle existe.
3. Utiliser la relation y=f'(a)(x−a)+f(a) pour écrire l’équation de la tangente en abscisse a.
4. Identifier la pente de la tangente comme f'(a) et vérifier que la droite passe par (a,f(a)).
5. Définir la fonction dérivée f' et savoir l’utiliser comme nouvelle fonction sur I.
6. Appliquer les dérivées usuelles vues : (x^n)'=n x^{n−1}, (1/x)'=−1/x^2 (x≠0), (√x)'=1/(2√x) (sur [0,+∞[).
7. Calculer une dérivée de somme et de produit par les règles : (u+v)'=u'+v', (ku)'=k u', (uv)'=u'v+v'u.
8. Calculer une dérivée de quotient en utilisant (u/v)'=(u'v−v'u)/v^2 et en rappelant l’hypothèse v ne s’annule pas.
9. Dériver une composée de type g(ax+b) en appliquant f'(x)=a·g'(ax+b) et en évaluant g' au bon argument.
10. Résoudre un exercice type de la forme (5x−2)^3 en appliquant correctement la dérivée de la puissance et la règle de la composée.