Fiche de révision : Introduction à la géométrie, suites et dérivées

📖 1. Second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré est une fonction $A(x)=ax^2+bx+c$ définie sur $\\mathbb{R}$ avec $a\\neq 0$.
• Forme canonique du trinôme : La forme canonique d’un trinôme réécrit $A(x)$ sous la forme $A(x)=a(x-\\alpha)^2+\\beta$ avec $\\alpha$ et $\\beta$ calculables à partir de $a,b,c$.
• Discriminant : Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\\Delta=b^2-4ac$, qui détermine l’existence et la nature des racines.

📝 Points essentiels

• Le sommet de la parabole est atteint en $x=\\alpha=-\\dfrac{b}{2a}$ et vaut $\\beta=f(\\alpha)=-\\dfrac{b^2-4ac}{4a}$, avec un minimum si a>0 et un maximum si a<0.
• Si \\Delta<0, le trinôme $ax^2+bx+c$ n’a aucune solution réelle et il conserve toujours le signe de $a$.
• Si $\\Delta=0$, il a une unique solution réelle double en $x=\\alpha=-\\dfrac{b}{2a}$ et il se factorise en $a(x-\\alpha)^2$.
• Si \\Delta>0, il admet deux racines $x_1=\\dfrac{-b-\\sqrt{\\Delta}}{2a}$ et $x_2=\\dfrac{-b+\\sqrt{\\Delta}}{2a}$, et il se factorise en $a(x-x_1)(x-x_2)$ tout en étant du signe de $a$ en dehors de $x_1$ et $x_2$.
• Quand \\Delta>0, les racines vérifient $x_1+x_2=-\\dfrac{b}{a}$ et $x_1x_2=\\dfrac{c}{a}$.

💡 Astuce mémo

\Delta négatif : 0 racine (toujours signe de $a$) ; \Delta nul : 1 racine double ; \Delta positif : 2 racines et factorisation en produit.

📖 2. Suites numériques et géométriques

• Suite numérique : Une suite numérique est une fonction définie sur N qui associe à chaque entier n un terme u(n) appelé terme d’indice n.
• Suites arithmétiques : Une suite arithmétique est une suite dont on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours la même raison r.
• Suites géométriques : Une suite géométrique est une suite dont on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par la même raison q non nulle.
• Sens de variation d’une suite : Le sens de variation d’une suite décrit si ses termes augmentent ou diminuent quand l’indice n grandit à partir d’un certain rang p.

📝 Points essentiels

• Une suite (un) est croissante à partir de l’indice p si pour tout n>p on a u(n+1)>u(n).
• Une suite (un) est décroissante à partir de l’indice p si pour tout n>p on a u(n+1)≤u(n).
• Si (un) est arithmétique de raison r, alors pour tous n et p, u(n)=u(p)+(n−p)r et en particulier u(n)=u(0)+nr.
• Si (un) est géométrique de raison q, alors pour tous n et p, u(n)=u(p)×q^(n−p) et en particulier u(n)=u(0)×q^n.
• Si q≠1, alors 1+q+q^2+…+q^n=(1−q^(n+1))/(1−q).

💡 Astuce mémo

Arithmétique = +r (addition fixe) ; Géométrique = ×q (multiplication fixe) ; donc on repère l’évolution en regardant u(n+1)−u(n) ou u(n+1)/u(n).

📖 3. Dérivation

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé f′(a) est la limite du taux d’accroissement τ(h) quand h tend vers 0, si cette limite existe.
• Tangente à une courbe : La tangente à la courbe Cf au point d’abscisse a est la droite passant par A(a ; f(a)) et ayant pour coefficient directeur f′(a).
• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à chaque x où f est dérivable le nombre dérivé f′(x), ce qui définit une nouvelle fonction.
• Opérations sur les dérivées : Ce sont des règles de calcul qui donnent la dérivée de k·u, u+v, u·v et u/v à partir de u′ et v′.

📝 Points essentiels

• Si f est dérivable en a, alors f′(a)=lim_{h→0} (f(a+h)−f(a))/h, c’est-à-dire la limite du taux d’accroissement.
• L’équation réduite de la tangente en a est y=f′(a)(x−a)+f(a).
• Constante k dérivée vaut 0, et fonction affine ax+b dérivée vaut a, pour tout réel x de l’intervalle de dérivabilité.
• Pour n entier, si f(x)=x^n alors f′(x)=n x^{n−1}, et pour x≠0 si f(x)=1/x alors f′(x)=−1/x^2.
• Pour x>0, si f(x)=√x alors f′(x)=1/(2√x), et pour tout réel x, si f(x)=e^x alors f′(x)=e^x.
• Règles : (u+v)′=u′+v′, (u·v)′=u′v+v′u, et (u/v)′=(u′v−v′u)/v^2 (avec v non nul).

📖 4. Probabilités conditionnelles et variables aléatoires

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle mesure la chance d’un événement B sachant qu’un événement A est réalisé, avec P(A) non nul.
• Indépendance de deux événements : Deux événements sont indépendants si le fait de réaliser l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre, ce qui se traduit par une formule sur les intersections.
• Variable aléatoire réelle : Une variable aléatoire réelle associe à chaque issue d’une expérience aléatoire une valeur numérique réelle et définit sa loi de probabilité.
• Espérance mathématique : L’espérance est la moyenne pondérée des valeurs prises par la variable aléatoire selon leurs probabilités.
• Variance et écart-type : La variance mesure la dispersion autour de l’espérance et l’écart-type est sa racine carrée.

📝 Points essentiels

• Pour P(A)≠0, $P_A(B)=\\dfrac{P(A\\cap B)}{P(A)}$, donc $P(A\\cap B)=P(A)\\times P_A(B)$.
• Si A et B sont indépendants et P(A)≠0, alors $P_A(B)=P(B)$, donc $P(A\\cap B)=P(A)P(B)$.
• Dans le tirage sans remise avec 2 blanches et 3 noires, $P(N_1)=\\frac{3}{5}$ et $P\_{N_1}(B_2)=\\frac{1}{2}$.
• Avec les mêmes données, $P(B_1\\cap B_2)=0{,}1$ et $P(B_2)=P(N_1\\cap B_2)+P(B_1\\cap B_2)=0{,}4$.
• Pour une variable aléatoire discrète $X$ prenant $x_1,x_2,x_3$ avec probabilités $p_1,p_2,p_3$, on a $E(X)=p_1x_1+p_2x_2+p_3x_3$ et $V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+p_3(x_3-E(X))^2$.
• Dans l’exemple des jouets, $P(S)=0{,}92\\times0{,}95+0{,}08\\times0{,}75=0{,}934$.

💡 Astuce mémo

Conditionnelle = fraction : $P_A(B)=P(A\\cap B)/P(A)$ (avec $P(A)\\neq 0$).

📖 5. Applications de la dérivation

• Monotonie par la dérivée : Règle reliant le signe de la dérivée d’une fonction sur un intervalle aux variations de cette fonction sur le même intervalle.
• Tangentes parallèles : Situation où la tangente à la courbe en un point a une pente égale à celle d’une droite donnée.
• Tableau de signes : Présentation ordonnée des signes de f′ qui permet de déduire directement le sens de variation de f.

📝 Points essentiels

• Si f′ est positive sur I (hors zéros isolés), alors f est strictement croissante sur I.
• Si f′ est négative sur I (hors zéros isolés), alors f est strictement décroissante sur I.
• Si f′(x)=0 pour tout x∈I, alors f est constante sur I.
• Pour que la tangente en x0 soit parallèle à la droite y=−x+1, il faut résoudre f′(x0)=−1 ; pour f(x)=x^3−4x, on obtient x0=−1 ou x0=1.
• Avec f(x)=x^3−4x et d : y=−x+1, les tangentes parallèles passent par A(−1;3) : y=−x+2 et par B(1;−3) : y=−x−2.

💡 Astuce mémo

Dérivée = direction : signe de f′ → variations ( + : ↑, − : ↓ ; f′=0 : constante ).

📖 6. Fonction exponentielle

• Fonction exp : La fonction exponentielle exp est la fonction dérivable sur ℝ qui vérifie exp'(x)=exp(x) et exp(0)=1.
• e : Le nombre e est l’image de 1 par la fonction exponentielle, notée exp(1), ce qui donne exp(1)=e.
• Règles sur e : Les expressions impliquant e suivent les identités e^{x+y}=e^x e^y et e^{x-y}=e^x/e^y, ainsi que (e^x)^n=e^{nx} pour n∈ℕ.
• Fonction e^{ax+b} : Pour réels a et b, la fonction x↦e^{ax+b} est dérivable sur ℝ et sa dérivée vaut x↦a e^{ax+b}.

📝 Points essentiels

• On a exp(0)=1 et exp(1)=e, avec e≈2,718.
• La dérivée de la fonction exponentielle vérifie (e^x)'=e^x.
• La fonction exponentielle e^x est strictement croissante sur ℝ et strictement positive sur ℝ.
• Pour tous réels a et b, e^a=e^b équivaut à a=b et e^a<e^b équivaut à a<b.
• Pour tous réels x, e^{x-y}=e^x/e^y et e^{-x}=1/e^x.
• Si a>0 alors x↦e^{ax+b} est croissante, et si a<0 elle est décroissante.

💡 Astuce mémo

exp'(x)=exp(x) : même taux de variation, donc e^x monte sans jamais s’annuler (toujours >0).

📖 7. Géométrie analytique et cercles

• Équation cartésienne du cercle : L’équation cartésienne d’un cercle de centre $(a,b)$ et de rayon $R$ s’écrit $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$.
• Centre du cercle : Le centre du cercle est le point de coordonnées $(a,b)$ qui fixe les “décalages” dans l’équation $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$.
• Rayon du cercle : Le rayon $R$ est la distance entre le centre du cercle et n’importe quel point du cercle, et il apparaît au second membre $R^2$.

📝 Points essentiels

• Un cercle de centre $\\Omega(a,b)$ et de rayon $R$ est décrit par $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ avec $R\\ge 0$.
• Si un cercle de centre $A(x_A,y_A)$ passe par $B(x_B,y_B)$, alors $R^2=AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$.
• Pour $x^2+y^2-2x+4y+1=0$, on regroupe puis on complète les carrés pour obtenir $(x-1)^2+(y+2)^2=4$, donc le centre est $(1,-2)$ et le rayon $R=2$.
• Lors du passage à la forme $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, les termes “mélangés” doivent être éliminés en complétant systématiquement les carrés de $x$ puis de $y$.

💡 Astuce mémo

Centre $(a,b)$ et rayon $R$ : $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ (carré d’écarts = carré du rayon).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre ∆ avec b^2+4ac : le discriminant est ∆=b^2−4ac.
2. Se tromper de formule de la forme canonique : α=−b/(2a) et β=f(α) (pas l’inverse).
3. Inverser le sens “a>0 minimum / a<0 maximum” pour le sommet en forme canonique.
4. Pour ∆<0, croire qu’il y a quand même 2 racines (erreur : aucune racine réelle et signe constant de a).
5. En suites, oublier que la condition “croissante/décroissante à partir de p” ne s’applique que pour n>p.
6. Confondre les “accroissements” : en arithmétique on étudie un+1−un (constant), en géométrique un+1/un (constant).
7. En probabilités conditionnelles, appliquer P_A(B)=P(A)/P(A∩B) au lieu de P(A∩B)/P(A).

✅ Checklist Examen

1. (Second degré) Calculer ∆=b^2−4ac puis conclure : ∆<0 / ∆=0 / ∆>0 et donner le nombre de solutions.
2. (Second degré) Calculer α=−b/(2a) et β=f(α) pour écrire la forme canonique A(x)=a(x−α)^2+β.
3. (Second degré) En cas ∆>0, déterminer x1 et x2 et utiliser x1+x2=−b/a puis x1x2=c/a.
4. (Second degré) Factoriser A(x) selon les valeurs de ∆ et en déduire le tableau de signes via le signe de a.
5. (Suites) Reconnaître arithmétique (un+1−un constant) ou géométrique (un+1/un constant) puis appliquer la formule adaptée.
6. (Suites) Pour une arithmétique, utiliser un=up+(n−p)r puis en particulier un=u0+nr.
7. (Suites) Pour une géométrique, utiliser un=up×q^(n−p) puis en particulier un=u0×q^n et la somme si q≠1.
8. (Dérivation) Calculer f′(a) comme limite du taux d’accroissement puis écrire l’équation de la tangente y=f′(a)(x−a)+f(a).
9. (Dérivation) Savoir dériver f(x)=x^n, f(x)=1/x (x≠0), f(x)=√x (x>0), f(x)=e^x et appliquer les règles (u+v)′, (uv)′, (u/v)′.
10. (Applications) Utiliser le signe de f′ pour établir le sens de variation (f′>0 : strictement croissante, f′<0 : strictement décroissante, f′=0 : constante).
11. (Fonction exponentielle) Utiliser (e^x)′=e^x, les identités e^{x+y}=e^x e^y, e^{x−y}=e^x/e^y, et résoudre e^a=e^b ⇔ a=b et e^a<e^b ⇔ a<b.
12. (Cercles) Passer de (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 à l’équation développée en complétant les carrés et identifier centre (a,b) et rayon R (R^2 au second membre).