Fiche de révision : Introduction à la résolution d'inéquations et équations

📋 Plan du Cours

1. Cinéma à la carte et carte d’abonnement
2. Équation du premier degré à une inconnue
3. Règles de résolution des égalités
4. Inéquation du premier degré et intervalles
5. Résoudre algébriquement une inéquation
6. Résolution de problèmes par équation ou inéquation
7. Mise en équation et inéquation avec calculatrice
8. Résoudre des équations et inéquations algébriquement
9. Problèmes de prix et de comparaison de tarifs

📖 1. Cinéma à la carte et carte d’abonnement

🔑 Notions clés & Définitions

• Carte Ciné Passion : Une carte d’abonnement qui donne accès à un prix fixe puis à chaque film à un tarif réduit.
• Tarif plein : Un prix de référence pour les places de cinéma, utilisé pour comparer avec d’autres catégories.
• Tarif réduit moins de 14 ans : Un prix spécifique appliqué aux spectateurs de moins de 14 ans.
• Tarif étudiants et demandeurs d’emploi : Un prix spécifique appliqué aux étudiants et aux demandeurs d’emploi.

📝 Points essentiels

• Le tarif plein est de 9,30 € par place.
• Le tarif moins de 14 ans est de 4,90 € par place.
• Le tarif étudiants et demandeurs d’emploi est de 6,60 € par place.
• La carte Ciné Passion est valable 1 an et coûte le Cinéhat de la carte puis tous les films à 5,60 €.
• Le problème consiste à déterminer à partir de combien de films la carte devient plus intéressante que les places à l’unité.

💡 Astuce mémo

Carte = coût fixe + coût par film (5,60 €) : comparer deux totaux en fonction du nombre de films.

📖 2. Équation du premier degré à une inconnue

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du premier degré : Une égalité où l’inconnue apparaît à la puissance 1, donc sous la forme ax + b = c.
• Inconnue x : La variable dont on cherche la valeur qui rend l’égalité vraie.
• Degré 1 : Le degré de l’inconnue est 1 quand l’exposant de x vaut 1.

📝 Points essentiels

• Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité vérifiée pour une valeur précise de x.
• Dans l’exemple 250 + 85 x = 200 + 90 x, x a pour degré 1 car l’exposant est 1.
• Résoudre une équation du premier degré consiste à trouver la valeur de x qui rend l’égalité vraie.
• Une équation relie deux expressions qui doivent être égales pour la même valeur de x.
• Le but est de transformer l’égalité sans changer l’ensemble des solutions.

💡 Astuce mémo

Équation = égalité vraie pour une valeur unique de x (quand c’est du premier degré).

📖 3. Règles de résolution des égalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Égalités équivalentes : Des égalités obtenues après une transformation qui conserve exactement les mêmes solutions.
• Addition ou soustraction : Opération identique appliquée aux deux membres d’une égalité pour conserver l’équivalence.
• Multiplication ou division : Opération identique appliquée aux deux membres d’une égalité, à condition de diviser par un nombre non nul.

📝 Points essentiels

• Si a = b alors a + c = b + c : on peut ajouter le même nombre aux deux membres.
• Si a = b alors a - c = b - c : on peut soustraire le même nombre aux deux membres.
• Si a = b alors a × c = b × c : on peut multiplier les deux membres par le même nombre.
• Si a = b alors a/c = b/c avec c ≠ 0 : on peut diviser les deux membres par le même nombre non nul.
• Ces transformations permettent de regrouper puis isoler x pour obtenir une forme ax = b.

💡 Astuce mémo

Même opération, deux côtés : égalité gardée (sauf division par 0).

📖 4. Inéquation du premier degré et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation du premier degré : Une inégalité où l’inconnue apparaît à la puissance 1, par exemple ax + b > c.
• Intervalle : Ensemble des valeurs possibles de x qui vérifient l’inéquation.
• Crochet fermé : Notation d’intervalle indiquant que la borne appartient à l’ensemble des solutions.
• Crochet ouvert : Notation d’intervalle indiquant que la borne n’appartient pas à l’ensemble des solutions.

📝 Points essentiels

• Les inéquations 3x > 2, 3x ≥ 2, 3x < 2, 3x ≤ 2 sont du premier degré.
• Résoudre une inéquation consiste à trouver toutes les valeurs de x qui rendent l’inégalité vraie.
• La solution d’une inéquation est un intervalle, pas un nombre unique.
• Un crochet fermé signifie que la borne appartient à l’intervalle (∈).
• Un crochet ouvert signifie que la borne n’appartient pas à l’intervalle (∉).

💡 Astuce mémo

Ouvert = exclu, fermé = inclus : le symbole ∈/∉ suit la forme du crochet.

📖 5. Résoudre algébriquement une inéquation

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens de l’inégalité : Le signe d’inégalité qui peut changer lors d’une multiplication ou division par un nombre négatif.
• Résolution par règles d’égalité : Méthode consistant à appliquer aux inéquations les mêmes transformations que pour les équations, avec une exception sur les négatifs.
• Division par un nombre négatif : Opération qui oblige à inverser le sens de l’inégalité.

📝 Points essentiels

• On résout une inéquation avec les mêmes règles que pour les équations (regrouper, réduire, isoler).
• La différence clé : si on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l’inégalité change.
• Exemple 1 : 5x + 3 ≥ 18 mène à x ≥ 3.
• Dans l’exemple 1, la solution est notée S = [3 ; +∞[.
• Exemple 2 : -3x - 1 > 11 mène à x < -4.
• Dans l’exemple 2, la solution est notée S = ]-∞ ; -4[.

💡 Astuce mémo

Négatif = inversion : ×(ou ÷) un nombre négatif retourne le signe d’inégalité.

📖 6. Résolution de problèmes par équation ou inéquation

🔑 Notions clés & Définitions

• Choix de l’inconnue : Étape qui consiste à nommer la variable à déterminer avant de traduire l’énoncé.
• Mise en équation : Traduction d’un problème en égalité pour pouvoir résoudre avec une équation.
• Mise en inéquation : Traduction d’un problème en inégalité pour pouvoir résoudre avec une inéquation.
• Contrôle de la solution : Vérification que la valeur trouvée correspond bien à une situation possible du problème.

📝 Points essentiels

• Les étapes de résolution d’un problème sont : choix de l’inconnue, mise en équation ou inéquation, résolution, réponse contrôlée.
• Choisir l’inconnue permet d’exprimer les quantités du problème avec une variable.
• Les données chiffrées servent à construire l’égalité ou l’inégalité.
• Après calcul, on répond à la question posée en vérifiant que la solution est cohérente avec le contexte.
• Une inéquation donne une réponse sous forme d’intervalle de valeurs possibles pour l’inconnue.

💡 Astuce mémo

Problème = Variable → Traduction → Calcul → Vérification (cohérence avec le contexte).

📖 7. Mise en équation et inéquation avec calculatrice

🔑 Notions clés & Définitions

• Modélisation : Transformation d’un énoncé en une expression mathématique à résoudre.
• Inéquation de comparaison : Inégalité qui compare deux coûts ou deux situations pour déterminer à partir de quelles valeurs c’est préférable.
• Mode équation de la calculatrice : Fonction de calculatrice utilisée pour vérifier une équation et obtenir la valeur de l’inconnue.

📝 Points essentiels

• Dans l’exercice sur le magazine, l’abonnement correspond à 12 numéros avec 20% de réduction plus 1 numéro spécial gratuit.
• Le prix en kiosque est 4,50 € par numéro et 6 € pour le numéro spécial.
• On note x le nombre de numéros achetés en kiosque pour comparer avec l’abonnement.
• Le modèle conduit à une inéquation du type 4,50x + 6 ≥ 43,20.
• La résolution numérique donne x ≥ 8,26, puis on interprète en nombre de numéros entiers.
• La calculatrice sert à résoudre l’équation/inéquation issue du modèle pour obtenir la valeur seuil.

💡 Astuce mémo

Calculatrice = seuil : on obtient une borne (ici 8,26) puis on passe à l’interprétation en entiers.

📖 8. Résoudre des équations et inéquations algébriquement

🔑 Notions clés & Définitions

• Étapes de résolution d’une équation : Suite de transformations pour isoler l’inconnue et obtenir une valeur de x.
• Regrouper les termes en x : Transformation qui rassemble tous les termes contenant x dans un même membre.
• Équation sous la forme ax = b : Forme finale intermédiaire où l’inconnue est isolée par une division.
• Vérification d’une inéquation : Contrôle que la valeur testée rend l’inégalité vraie.

📝 Points essentiels

• Étape 1 d’une équation : regrouper les termes contenant x dans un membre et les autres dans l’autre.
• Étape 2 : réduire chaque membre pour obtenir une équation de la forme ax = b.
• Étape 3 : isoler x en effectuant la division x = b/a.
• Exemple : 5x + 10 = 2x + 19 donne x = 3 après soustractions et réduction.
• Pour une inéquation, on applique les mêmes transformations que pour une équation, en inversant le signe si on multiplie/divise par un nombre négatif.
• Pour vérifier une solution (exercice), on remplace x par 3 dans chaque inéquation et on regarde si l’inégalité est vraie.

💡 Astuce mémo

Équation : regrouper → réduire → ax=b → diviser ; Inéquation : même route mais attention au signe avec les négatifs.

📖 9. Problèmes de prix et de comparaison de tarifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Comparaison de tarifs : Méthode consistant à comparer deux expressions de coût pour déterminer laquelle est la plus avantageuse.
• Coût fixe : Part de prix indépendante du nombre d’unités (ex. abonnement mensuel).
• Coût variable : Part de prix proportionnelle au nombre d’unités (ex. prix par heure ou par entrée).
• Seuil d’intérêt : Valeur à partir de laquelle un tarif devient plus avantageux que l’autre.

📝 Points essentiels

• Problème cinéma : comparer le total avec carte (coût fixe + 5,60 € par film) et le total sans carte (prix à l’unité) pour trouver le seuil.
• Problème VTT : tarif 1 = 30 € par heure ; tarif 2 = 150 € par semaine + 10 € par heure, et on cherche à partir de quel nombre entier d’heures le tarif 2 devient meilleur.
• Problème piscine : offre 1 = 5 € par mois + 1,20 € par entrée ; offre 2 = 18 € par mois pour accès illimité, et on cherche à partir de combien d’entrées l’offre illimitée est préférable.
• Problème magazine : la comparaison se fait via une inéquation de type coût abonnement ≤ coût kiosque (ou l’inverse selon l’écriture) pour trouver une borne.
• Problème restaurant : on modélise le prix du café à partir du nombre de personnes, du prix des menus, du coût des bouteilles et du total de 470 €.
• Problème tablettes : les parts sont reliées par des relations (double, différence de 10 €) et on compare la part d’Anis à 50 € pour répondre à la problématique.

💡 Astuce mémo

Tarifs = fixe + variable : écrire deux totaux, puis comparer pour trouver le seuil.

📊 Tableaux de synthèse

Cinéma : places à l’unité vs carte

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre équation et inéquation : une équation cherche une valeur qui rend l’égalité vraie, une inéquation donne un intervalle de valeurs.
2. Oublier l’inversion du sens de l’inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.
3. Se tromper sur la notation d’intervalle : crochet fermé = borne incluse, crochet ouvert = borne exclue.
4. Isoler x sans regrouper correctement les termes en x : on risque de ne pas obtenir ax=b.
5. Interpréter une borne décimale comme un nombre entier sans tenir compte du contexte (nombre de numéros, d’entrées, d’heures).
6. Dans un problème de prix, comparer les mauvais totaux (ou oublier un coût fixe comme l’abonnement mensuel).

✅ Checklist Examen

1. Savoir identifier une équation du premier degré et le rôle de l’inconnue x.
2. Appliquer les règles d’égalité : ajouter/soustraire le même nombre aux deux membres, multiplier/diviser par un même nombre non nul.
3. Résoudre algébriquement une équation : regrouper, réduire, obtenir ax=b, puis calculer x=b/a.
4. Résoudre algébriquement une inéquation : utiliser les mêmes transformations que pour une équation et inverser le sens si on multiplie/divise par un négatif.
5. Savoir traduire une solution d’inéquation en intervalle avec crochets ouverts/fermés et comprendre ∈/∉.
6. Résoudre un problème en 4 étapes : choix de l’inconnue, mise en équation/inéquation, résolution, réponse contrôlée.
7. Modéliser un problème de comparaison de tarifs en écrivant deux coûts (fixe + variable) puis en construisant l’inégalité.
8. Interpréter correctement une borne issue d’une inéquation pour répondre en termes de nombre de films/numéros/entrées/heures (valeurs entières possibles).