Fiche de révision : Introduction à la statistique descriptive en psychologie

📋 Plan du Cours

1. Échelles de mesure en psychologie
2. Tri à plat et organisation des données
3. Médiane et coupure médiane
4. Quantiles et quantilage
5. Étendue, variance et écart-type
6. Variance population et variance échantillon
7. Conventions de notation et présentation
8. Écart interquartiles pour données ordinales
9. Représentations graphiques univariées
10. Diagrammes en barres et en bâtons
11. Scores standardisés et loi normale
12. Chi carré, V de Cramer et association

📖 1. Échelles de mesure en psychologie

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique descriptive : Branche de la statistique qui sert à décrire, classer et simplifier des données, notamment quand elles sont nombreuses.
• Individu statistique : Unité élémentaire sur laquelle portent les données dans une étude statistique.
• Population : Ensemble de tous les individus statistiques visés par la question de recherche.
• Échantillon : Sous-ensemble de la population à partir duquel les données sont effectivement recueillies.
• Échantillons indépendants : Groupes de mesures issus d’individus tels qu’un même individu appartient à un seul groupe.

📝 Points essentiels

• La théorie statistique aide à visualiser, comprendre et analyser des données pour soutenir une décision.
• Les données sont des descriptions de la réalité, pas la réalité elle-même.
• Même des données “parlantes” exigent de s’interroger sur le processus qui a conduit à leur production.
• Le cours suppose que les données ont été produites scientifiquement (au mieux de l’état de l’art au moment du recueil).
• Un recensement correspond au cas où le recueil concerne la totalité ou quasi-totalité des individus de la population, ce qui est rare en psycho.
• La taille de l’échantillon (effectif) est le nombre d’individus qui composent l’échantillon.

💡 Astuce mémo

Données = discours sur la réalité ; Stat descriptive = décrire pour simplifier.

📖 2. Tri à plat et organisation des données

🔑 Notions clés & Définitions

• Recodage : Le recodage est une modification du système de codage qui entraîne un changement des observations produites à partir des données.
• Observation : Une observation est une unité de données correspondant à un enregistrement codé, souvent représentée par une ligne dans un fichier.
• Variable : Une variable est une donnée élémentaire susceptible de prendre plusieurs valeurs selon les individus.
• Modalité : Une modalité est une valeur possible d’une variable, correspondant à une catégorie de réponse ou de mesure.
• Constante : Une constante est une donnée qui ne varie pas et ne possède qu’une seule modalité.

📝 Points essentiels

• Si le système de codage change après coup, on parle de recodage et cela modifie les observations obtenues.
• Beaucoup d’auteurs utilisent le mot «observation» pour désigner une ligne de fichier, donc 1 observation = 1 ligne.
• Une variable se définit par la possibilité de prendre des valeurs différentes d’un individu à l’autre.
• Les modalités sont les valeurs distinctes d’une variable, tandis qu’une constante n’a qu’une seule modalité.
• Exemple de constante : la valeur de π ; exemple de variable : l’âge en années ; exemple de variable qualitative : la couleur des yeux avec modalités Bleu, Marron, Noir, Vert.
• Variables discrètes : leurs modalités sont nettement séparées et on peut compter les effectifs par catégorie ; variables continues : elles peuvent prendre potentiellement une infinité de modalités (ex la taille).

💡 Astuce mémo

Recodage = Re-codage ⇒ nouvelles observations ; Variable = Variations possibles ; Modalité = Valeur possible ; Constante = Zéro variation.

📖 3. Médiane et coupure médiane

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : La médiane est une valeur qui partage les données en deux moitiés : 50% sont au-dessus et 50% au-dessous.
• Fréquence cumulée : La fréquence cumulée est la proportion de mesures dont la valeur est égale ou inférieure à une modalité donnée dans un tri ordonné.
• Quantiles : Les quantiles sont des indices de position qui découpent les observations en classes ordonnées de tailles égales.
• Quartiles : Les quartiles sont des quantiles qui divisent les données en 4 classes de 25% d’observations, notés Q1, Q2 et Q3.
• Coupure médiane : La coupure médiane est l’idée de séparation entre les deux valeurs centrales quand la médiane se situe entre deux catégories (cas ordinal sans moyenne possible).

📝 Points essentiels

• La médiane se note souvent Mdn selon les normes APA.
• Pour calculer la médiane, on trie les données de la plus petite à la plus grande.
• Si n=2k+1 (n impair), la médiane est la valeur à la position k+1 : Mdn=Xk+1.
• Si n=2k (n pair), la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.
• Cas purement ordinal : on ne peut pas faire la moyenne de deux catégories centrales, mais on retient la valeur centrale unique si elle existe.
• Cas ordinal avec deux valeurs centrales distinctes : la médiane se décrit comme une coupure entre ces deux valeurs (Meunier, 2021).

💡 Astuce mémo

Médiane = Milieu en rangs : n impair → valeur centrale ; n pair → entre deux valeurs (coupure si catégories).

📖 4. Quantiles et quantilage

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantiles : Les quantiles sont des indices de position qui découpent les données ordonnées en classes de tailles égales.
• Médiane : La médiane est le quantile Q2 qui sépare les données en deux classes de 50% d’observations.
• Quartiles : Les quartiles sont des quantiles qui découpent les données en 4 classes de 25% d’observations, notées Q1, Q2 et Q3.
• Déciles : Les déciles sont des quantiles qui découpent les données en 10 classes de 10% d’observations, notées D1 à D9.
• Percentiles : Les percentiles sont des quantiles qui découpent les données en 100 classes de 10% d’observations, notées C1 à C99.

📝 Points essentiels

• La médiane est robuste aux valeurs extrêmes : si une valeur extrême change seule, la médiane peut rester inchangée.
• La médiane est souvent préférable à la moyenne pour des données où les valeurs élevées sont très rares ou très grandes.
• Cette robustesse peut réduire la précision par rapport à la moyenne, surtout quand la distribution varie fortement.
• Par abus de langage, on peut nommer une classe par le quantile qui la domine (ex. classe de Q1).
• Avec moins de 100 observations, calculer des percentiles a peu de sens car les découpages deviennent trop grossiers.
• Sur des échelles de réponse à 5 ou 7 points (ou moins), il y a beaucoup d’ex æquo, ce qui réduit la précision des quantiles calculés.

💡 Astuce mémo

Médiane = Q2 : 50/50 ; Quartiles = 25/25/25/25 ; Déciles = 10/10/… ; Percentiles = 1/100 (C1 à C99).

📖 5. Étendue, variance et écart-type

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance de population : La variance de population mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne de la population.
• Variance d’échantillon : La variance d’échantillon mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne de l’échantillon.
• Écart-type de population : L’écart-type de population est la racine carrée de la variance de la population, notée σ(X) := √Var(X).
• Écart-type d’échantillon : L’écart-type d’échantillon est la racine carrée de la variance d’échantillon, notée s(X) := √s2.
• Écart inter-quartiles : L’écart inter-quartiles (EIQ) est la différence entre le 3e et le 1er quartile, noté EIQ.

📝 Points essentiels

• La variance s’exprime dans l’unité de la variable au carré (ex. m2 au lieu de m).
• L’écart-type est la racine carrée de la variance, ce qui le remet dans l’unité d’origine et le rend plus facile à interpréter.
• Pour calculer la variance, on calcule d’abord la moyenne, puis les écarts à la moyenne, puis leurs carrés, puis la moyenne de ces carrés.
• La variance de population divise le total par N, tandis que la variance d’échantillon divise par (N − 1).
• Les indices de dispersion se présentent souvent avec la tendance centrale entre parenthèses, par exemple μ = 1930,92 ; σ = 3,07.
• Convention de notation : σ et μ pour la population, s et M pour l’échantillon (lettres grecques vs romanes en italiques).

💡 Astuce mémo

Variance = carré ; Écart-type = racine (on “remet l’unité”).

📖 6. Variance population et variance échantillon

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance population : La variance population mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne dans l’ensemble complet étudié.
• Variance échantillon : La variance échantillon mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne calculée sur un sous-ensemble observé.
• Biais d’estimation : Le biais d’estimation décrit la différence systématique entre une valeur estimée à partir d’un échantillon et la valeur vraie de la population.
• Correction de Bessel : La correction de Bessel ajuste la variance calculée sur un échantillon pour réduire le biais quand on estime la variance de la population.

📝 Points essentiels

• La variance population est définie à partir de la moyenne de la population et reflète la dispersion réelle des données dans l’ensemble complet.
• La variance échantillon est calculée à partir de la moyenne de l’échantillon et sert d’estimation de la variance population.
• Sans correction, la variance calculée sur un échantillon a tendance à sous-estimer la variance population (biais vers le bas).
• La correction de Bessel remplace le dénominateur $n$ par $n-1$ pour obtenir une estimation non biaisée de la variance population sous les hypothèses usuelles.
• Le choix entre variance population et variance échantillon dépend de la question : décrire la population (population) ou estimer à partir de données observées (échantillon).

💡 Astuce mémo

Population = vraie dispersion (même si tu n’observes pas tout) ; Échantillon = estimation souvent trop petite sans correction, d’où $n-1$ (Bessel).

📖 7. Conventions de notation et présentation

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable ordinale : Variable dont les valeurs ont un ordre, ce qui donne une signification à la forme d’un diagramme.
• Variable numérique : Variable quantitative mesurée sur une échelle numérique, permettant une lecture plus précise de la distribution.
• Distribution uniforme : Distribution théorique où toutes les valeurs ont la même probabilité, donnant une forme plate en histogramme.
• Distribution normale : Distribution théorique en cloche, obtenue notamment quand des petites composantes aléatoires s’additionnent.
• Scores bruts : Valeurs originales des mesures enregistrées individu par individu, sans mise à l’échelle par rapport à l’échantillon.

📝 Points essentiels

• Si la variable est au moins ordinale, la forme du diagramme (concentration vers le haut ou vers les extrêmes) a un sens.
• Si la variable est numérique, on peut interpréter plus finement la distribution des observations.
• La différence entre distribution théorique et observée vient du hasard: l’histogramme n’est jamais parfaitement plat mais oscille autour de la valeur attendue.
• Pour une uniforme sur 0 à 1 découpée en 10 intervalles, l’attendu est 100 observations par intervalle avec 1000 tirages.
• La moyenne de 10 tirages par individu modifie la forme: on obtient une distribution plus concentrée vers la moyenne et moins vers les extrêmes.
• La centration-réduction sert à situer un individu dans l’échantillon et à donner du sens à une tendance centrale via une position relative.

💡 Astuce mémo

Ordre → Forme; Uniforme → Plat; Moyenne de 10 → Cloche.

📖 8. Écart interquartiles pour données ordinales

🔑 Notions clés & Définitions

• Centrage-réduction : Transformation qui déplace la distribution (centrage) et change son étendue (réduction) sans modifier sa forme globale.
• Normalisation : Procédure qui transforme des scores en les ordonnant puis en les regroupant en classes dont les effectifs suivent une loi normale.
• Standardisation : Recodage des scores Z en appliquant une transformation inverse du centrage-réduction pour obtenir des scores avec une moyenne et un écart-type cibles.
• Scores Z : Scores centrés-réduits obtenus après centrage et réduction, dont la moyenne et l’écart-type sont fixés à l’avance.
• Scores T : Type de scores standardisés dont la moyenne cible est 50 et l’écart-type cible est 10.

📝 Points essentiels

• Centrer-réduire modifie les valeurs mais pas la forme globale de la distribution, contrairement à la normalisation qui vise une forme normale.
• Standardisation : score standardisé = zi × a + b, avec a (écart-type cible) et b (moyenne cible) choisis selon l’objectif.
• Après centrage-réduction, la moyenne cible b vaut 0 et l’écart-type cible a vaut 1, ce qui rend le résultat attendu immédiat.
• Exemple QI : moyenne cible 100 et écart-type 15 (parfois 16), donc un score 115 correspond à 1 écart-type au-dessus de la moyenne.
• En QI, l’ajout de 100 évite des valeurs négatives, qui seraient pratiquement ininterprétables dans ce contexte.
• En psychométrie, les scores T sont parfois utilisés : moyenne 50 et écart-type 10 pour interpréter les performances sur une échelle standardisée.

💡 Astuce mémo

Centrage-réduction = même forme, valeurs déplacées ; normalisation = même effectif “en cloche” ; standardisation = formule zi×a+b pour viser une moyenne et un écart-type.

📖 9. Représentations graphiques univariées

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme de dispersion : Le diagramme de dispersion est un graphique qui représente la covariation de deux variables numériques en plaçant chaque paire de valeurs comme un point.
• Nuage de points : Le nuage de points est la représentation graphique des données appariées où l’une variable fixe l’abscisse et l’autre l’ordonnée.
• Covariance : La covariance est une mesure qui quantifie la tendance conjointe des écarts à la moyenne entre deux variables numériques.
• Corrélation linéaire : La corrélation linéaire est un indice sans unité obtenu en normalisant la covariance par les écarts-types des deux variables.
• Coefficient de corrélation linéaire r : Le coefficient de corrélation linéaire r est le rapport entre la covariance et le produit des écarts-types, borné entre −1 et +1.

📝 Points essentiels

• Une liaison entre variables se lit en mettant en relation les valeurs d’une variable avec celles de l’autre variable.
• La liaison peut être inter-individuelle quand les échantillons sont indépendants, ou intra-individuelle quand les données sont appariées.
• Pour comparer des groupes, on peut utiliser soit un résumé numérique (ex. différence de moyennes), soit une représentation graphique (ex. diagramme à barres).
• Évitez la redondance : ne présentez pas à la fois un tableau et un graphique qui portent exactement les mêmes informations.
• Un diagramme de dispersion devient illisible avec de très nombreux points (souvent des centaines en psycho).
• Quand les variables ont peu de valeurs possibles, tous les points se superposent et le nuage de points perd son intérêt (ex. 1 à 7 donne 49 valeurs possibles).

💡 Astuce mémo

Dispersion = « chaque paire fait un point » ; Covariance = « écarts ensemble » ; Corrélation = « covariance normalisée ».

📖 10. Diagrammes en barres et en bâtons

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme en barres : Un diagramme en barres représente des effectifs ou des valeurs par catégories à l’aide de barres dont la hauteur correspond aux quantités.
• Diagramme en bâtons : Un diagramme en bâtons affiche des catégories ordinales ou discrètes avec des bâtons séparés, utile quand l’ordre des catégories a du sens.
• Variable nominale : Une variable nominale regroupe des modalités sans ordre naturel, comme des catégories de sexe ou de type de classe.
• Table de contingence : Une table de contingence croise les modalités de deux variables nominales et donne les effectifs pour chaque combinaison.
• χ² d’indépendance : Le χ² d’indépendance est une statistique qui mesure à quel point les effectifs observés diffèrent de ceux attendus si les variables nominales étaient indépendantes.

📝 Points essentiels

• Un diagramme en barres sert typiquement à comparer des quantités entre catégories, en lisant la hauteur des barres comme effectifs ou valeurs.
• Un diagramme en bâtons est particulièrement adapté aux catégories discrètes (souvent ordonnées) car les bâtons sont espacés et reflètent mieux la nature des modalités.
• Pour deux variables nominales, on croise les effectifs des modalités de chaque variable pour construire une table de contingence.
• Le χ² d’indépendance repose sur l’idée d’estimer des effectifs attendus sous l’hypothèse d’indépendance puis de comparer observé vs attendu.
• Plus les écarts observé–attendu sont grands, moins l’indépendance est plausible et plus la liaison entre variables est forte.
• Le χ² dépend des effectifs globaux et n’est vraiment exploité qu’à partir du degré de liberté noté L² dans le cours, tandis que le V de Cramer sert à évaluer la force de la liaison.

💡 Astuce mémo

Barres = comparer des quantités; Bâtons = catégories discrètes; Nominal = pas d’ordre → contingence → χ² (écarts à l’indépendance).

📖 11. Scores standardisés et loi normale

🔑 Notions clés & Définitions

• Score standardisé : Un score standardisé est une valeur transformée pour être exprimée en écarts-types par rapport à une moyenne donnée.
• Loi normale : La loi normale est une distribution continue symétrique caractérisée par une moyenne et un écart-type qui fixent sa forme.
• Écart-type : L’écart-type mesure la dispersion d’une variable autour de sa moyenne, et sert d’unité pour standardiser.
• Moyenne : La moyenne est la valeur centrale d’une distribution, autour de laquelle les observations se répartissent.

📝 Points essentiels

• La standardisation permet de comparer des valeurs issues de distributions différentes en les ramenant à une échelle commune en écarts-types.
• Sous l’hypothèse de normalité, les scores standardisés suivent une loi normale centrée réduite, ce qui facilite le calcul de probabilités.
• La loi normale est entièrement déterminée par sa moyenne et son écart-type, qui déplacent et étirent la courbe.
• La standardisation utilise l’écart entre la valeur et la moyenne, puis le divise par l’écart-type pour obtenir une mesure sans unité.
• Quand la distribution est normale, la symétrie autour de la moyenne implique que les probabilités à distance égale de la moyenne sont identiques.

💡 Astuce mémo

Standardiser = (valeur − moyenne) / écart-type : on passe à une échelle “écarts-types” comme si tout devenait comparable.

📖 12. Chi carré, V de Cramer et association

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable indépendante : La variable indépendante est la cause supposée dont on étudie les variations pour expliquer celles de l’autre variable.
• Variable dépendante : La variable dépendante est l’effet mesuré dont on cherche à prédire les variations à partir de la variable indépendante.
• Droite de régression : La droite de régression est le modèle linéaire $Y=bX+b_0$ qui relie la variable dépendante $Y$ à la variable indépendante $X$.
• Résidu : Le résidu est l’écart entre la valeur observée $Y_i$ et la valeur prédite $\hat{Y}_i$ pour une observation donnée.
• Coefficient de détermination : Le coefficient de détermination $R^2$ mesure la part de variance de la variable dépendante expliquée par le modèle.

📝 Points essentiels

• La régression linéaire suppose une liaison entre deux variables et une relation monotone (toujours dans le même sens) pour modéliser la tendance.
• Le modèle linéaire est une bonne représentation quand la relation est proche d’une proportionnalité (presque linéaire) autour d’une droite.
• La pente de la droite s’obtient par $b=\frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{s_X^2}$ ou de façon équivalente $b=\frac{r(X,Y)}{s_Y s_X}$.
• L’ordonnée à l’origine $b_0$ correspond à la valeur prédite de $Y$ quand $X=0$, même si ce point peut être interprété comme un minimum incompressible.
• La droite de régression passe par le centre de gravité du nuage de points, ce qui relie la prédiction aux moyennes de $X$ et $Y$.
• La prédiction se fait via $\hat{Y}=bX+b_0$, avec interpolation quand $X$ est dans la gamme observée et extrapolation quand $X$ est en dehors.

💡 Astuce mémo

VI→cause→VD→effet ; droite: $\hat{Y}=bX+b_0$ ; résidu: $\epsilon=Y-\hat{Y}$ ; qualité: $R^2$ explique la variance.

📊 Tableaux de synthèse

Échantillons indépendants vs appariés

Variance population vs variance d’échantillon

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre individu statistique et observation : dans le cours, 1 observation correspond à 1 ligne du fichier, pas à l’individu en soi.
2. Croire que recodage ne change rien : si le système de codage est modifié après coup, les observations obtenues changent.
3. Mélanger variable ordinale et variable numérique : en ordinal, on ne peut pas faire la moyenne de deux catégories centrales (coupure médiane).
4. Confondre médiane et quantiles : la médiane est le quantile Q2 (50%), tandis que Q1 et Q3 découpent en 25%/25%/25%/25%.
5. Oublier l’unité au carré : la variance s’exprime dans l’unité de la variable au carré, alors que l’écart-type remet l’unité d’origine.
6. Mélanger variance population et variance d’échantillon : sans correction, la variance d’échantillon tend à sous-estimer la variance population (d’où n−1).
7. Interpréter un diagramme de dispersion avec trop de points ou trop peu de valeurs : il devient illisible (centaines) ou perd son intérêt (ex. 1 à 7 → 49 valeurs).

✅ Checklist Examen

1. Expliquer pourquoi les données sont des descriptions de la réalité et ce que la stat descriptive sert à faire (aide à la décision, visualiser/comprendre/simplifier).
2. Définir individu statistique, population, échantillon, recensement, et donner la différence entre échantillons indépendants et appariés.
3. Décrire le codage : assigner un symbole produit une observation, et distinguer recodage (qui change les observations).
4. Distinguer variable, modalité et constante, puis classer variables discrètes vs continues et nominales vs ordinales vs numériques selon le cours.
5. Relier échelles de mesure (nominale, ordinale, numérique) aux opérations permises (classification, rangement, différences égales, rapports égaux).
6. Savoir faire un tri à plat et interpréter fréquences et fréquences cumulées (la somme des fréquences vaut 1 ; la fréquence cumulée d’une modalité cible vaut la proportion ≤ à cette modalité).
7. Calculer la médiane à partir d’un tri ordonné : n impair (position k+1) vs n pair (moyenne des deux valeurs centrales) et traiter le cas purement ordinal (coupure médiane).
8. Définir quantiles/quartiles/déciles/percentiles et expliquer les limites pratiques (moins de 100 observations ; échelles 5/7 points → ex æquo).
9. Définir étendue, variance et écart-type, puis rappeler la différence de dénominateur N vs (N−1) et l’idée de Bessel.
10. Interpréter EIQ (écart inter-quartiles) comme Q3−Q1 et rappeler sa robustesse aux valeurs extrêmes mais perte de précision.
11. Choisir et construire une représentation univariée : barres vs bâtons (et table de contingence pour nominales), boxplot (Q1/Q3/médiane, moustaches/outliers), histogramme (intervalles, surface proportionnelle à la densité
12. Expliquer centration-réduction (scores Z) et standardisation (score standardisé zi×a+b), puis donner les repères de la loi normale (symétrie ; ~68,3% dans [m−s; m+s] ; ~95,7% dans [m−2s; m+2s]).
13. Pour les variables conjointes : définir liaison/covariation vs indépendance, puis covariance et corrélation linéaire r (−1 à +1) et rappeler l’APA pour écrire r(ddl).
14. Pour ordinal : expliquer pourquoi Pearson ne convient pas et décrire Spearman (rangs → ρ) et Kendall (τ basé sur paires concordantes/discordantes).