Fiche de révision : Introduction aux fonctions, suites et probabilités

📋 Plan du Cours

1. Fonctions : image, antécédent et lecture
2. Variations et tableau de variations
3. Dérivation : pente de la tangente
4. Suites arithmétiques et géométriques
5. Probabilités : contraire et conditionnelle
6. Géométrie : distance et milieu
7. Automatismes : pourcentages et produit nul

📖 1. Fonctions : image, antécédent et lecture

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’un nombre : L’image d’un nombre x est la valeur obtenue quand on calcule f(x).
• Antécédent : Un antécédent est une valeur de x qui donne une image donnée pour la fonction f.
• Courbe : Une courbe représente graphiquement la fonction, en reliant les couples (x ; y) possibles.
• Point de la courbe : Un point de la courbe est un couple (x ; y) qui vérifie y = f(x).

📝 Points essentiels

• Si f(2)=5, alors 5 est l’image de 2 et 2 est un antécédent de 5.
• Pour lire f(x) sur une courbe : repérer x sur l’axe horizontal, monter jusqu’à la courbe, puis lire y.
• Si le point (3;4) est sur la courbe, alors f(3)=4.
• L’axe horizontal correspond aux valeurs de x et l’axe vertical aux valeurs de f(x).
• Une courbe qui monte correspond à une fonction croissante, et une courbe qui descend à une fonction décroissante.

💡 Astuce mémo

Image = résultat (f(x)) ; Antécédent = cause (x qui mène au résultat).

📖 2. Variations et tableau de variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Une fonction est croissante quand ses valeurs augmentent au fur et à mesure que x augmente.
• Fonction décroissante : Une fonction est décroissante quand ses valeurs diminuent au fur et à mesure que x augmente.
• Tableau de variations : Un tableau de variations résume le sens de variation d’une fonction sur différents intervalles.

📝 Points essentiels

• Courbe qui monte ⇒ fonction croissante.
• Courbe qui descend ⇒ fonction décroissante.
• Le sens de variation se lit à partir de la tendance globale de la courbe.
• Un tableau de variations doit indiquer les intervalles où la fonction augmente ou diminue.
• Le tableau de variations est cohérent avec le signe de la dérivée quand on l’utilise ensuite.

💡 Astuce mémo

Monte = ça augmente ; Descend = ça diminue.

📖 3. Dérivation : pente de la tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : La dérivée f'(x) mesure la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse x.
• Tangente : La tangente est la droite qui touche la courbe en un point et dont la pente est donnée par la dérivée.
• Signe de f'(x) : Le signe de f'(x) indique si la pente est positive, nulle ou négative.

📝 Points essentiels

• La dérivée donne la pente de la tangente.
• Si f'(x)>0, la fonction augmente.
• Si f'(x)<0, la fonction diminue.
• Pour f(x)=x^2, on obtient f'(x)=2x.
• Pour f(x)=x^2 : décroît sur ]−∞;0] et croît sur [0;+∞[ (avec 2x négatif si x<0 et positif si x>0).

💡 Astuce mémo

f'(x) > 0 ⇒ pente vers le haut ⇒ fonction monte.

📖 4. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite où on ajoute toujours le même nombre r d’un terme au suivant.
• Raison r : La raison r est le nombre constant ajouté à chaque étape dans une suite arithmétique.
• Suite géométrique : Une suite géométrique est une suite où on multiplie toujours par le même nombre q d’un terme au suivant.
• Raison q : La raison q est le nombre constant par lequel on multiplie à chaque étape dans une suite géométrique.

📝 Points essentiels

• Suite arithmétique : on ajoute toujours le même nombre r.
• Formule suite arithmétique : u_n = u_0 + n r.
• Exemple : u_0=4 et r=3 donnent u_5 = 4 + 5×3 = 19.
• Suite géométrique : on multiplie toujours par q.
• Formule suite géométrique : u_n = u_0 × q^n.
• Exemple : u_0=2 et q=3 donnent u_4 = 2×3^4 = 162.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = Addition (r) ; Géométrique = Multiplication (q).

📖 5. Probabilités : contraire et conditionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement contraire : L’événement contraire de A, noté A, est l’ensemble des issues où A ne se produit pas.
• Probabilité : La probabilité mesure la chance qu’un événement se produise.
• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle P(M|V) mesure la probabilité de M sachant que V est réalisé.

📝 Points essentiels

• Formule du contraire : P(A)=1-P(A).
• Si P(A)=0,7 alors P(A)=1-0,7=0,3.
• La probabilité conditionnelle s’écrit P(M|V).
• L’écriture P(M|V) signifie que l’on se place dans le cas où V est déjà vrai.
• Le contraire sert à passer de la probabilité d’un événement à celle de son non-événement.

💡 Astuce mémo

Contraire = 1 − probabilité (le reste).

📖 6. Géométrie : distance et milieu

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance entre deux points : La distance entre A et B est la longueur du segment AB calculée avec la formule issue du repère.
• Milieu d’un segment : Le milieu d’un segment AB est le point situé exactement au centre du segment.
• Coordonnées : Les coordonnées x et y d’un point permettent de calculer distance et milieu dans le plan.

📝 Points essentiels

• Formule distance : d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.
• Exemple distance : A(1;2), B(4;6) donne d=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=5.
• Formule milieu : M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right).
• Exemple milieu : A(2;1), B(6;5) donne M(4;3).
• La distance utilise les différences de coordonnées au carré, puis une racine carrée.

💡 Astuce mémo

Distance = racine de (écarts au carré) ; Milieu = moyenne des coordonnées.

📖 7. Automatismes : pourcentages et produit nul

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage d’augmentation : Une augmentation de p% correspond à une multiplication par 1+p/100.
• Pourcentage de diminution : Une diminution de p% correspond à une multiplication par 1-p/100.
• Produit nul : Le produit nul décrit le cas où un produit vaut 0, ce qui impose qu’au moins un facteur soit nul.

📝 Points essentiels

• +20 % correspond à une multiplication par 1,20.
• −15 % correspond à une multiplication par 0,85.
• Deux baisses successives ne s’additionnent pas en pourcentage.
• Exemple : −30 % puis −20 % donne 0,7×0,8=0,56, soit une baisse de 44 %.
• Produit nul : ab=0 \iff a=0\text{ ou }b=0.
• Exemple : (x-2)(x+3)=0 donne x=2 ou x=-3.

💡 Astuce mémo

Pourcentages = multiplicateurs ; Produit nul = au moins un facteur vaut 0.

📊 Tableaux de synthèse

Variations : sens de la courbe

Pourcentages : addition vs multiplication

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre image et antécédent : l’image est f(x) (résultat) et l’antécédent est la valeur de x (cause).
2. Lire la courbe à l’envers : il faut partir de x sur l’axe horizontal pour obtenir y sur l’axe vertical.
3. Oublier que le signe de f'(x) détermine le sens de variation : f'(x)>0 implique une hausse.
4. Mélanger les formules de suites : une suite arithmétique utilise u_n=u_0+nr alors qu’une suite géométrique utilise u_n=u_0×q^n.
5. Additionner des pourcentages de baisses successives au lieu de multiplier les coefficients.
6. Se tromper sur le produit nul : ab=0 impose a=0 ou b=0, pas “a=b=0” systématiquement.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner l’image et un antécédent à partir d’une égalité du type f(2)=5.
2. Savoir lire f(3) sur une courbe en repérant x puis en lisant y au point correspondant.
3. Savoir déterminer si une fonction est croissante ou décroissante à partir du sens de la courbe.
4. Savoir interpréter le signe de f'(x) : f'(x)>0 augmente et f'(x)<0 diminue.
5. Savoir calculer une dérivée de base (exemple : pour f(x)=x^2, obtenir f'(x)=2x) puis en déduire les intervalles de variation.
6. Savoir utiliser les formules des suites arithmétiques u_n=u_0+nr et géométriques u_n=u_0×q^n.
7. Savoir calculer un terme demandé (exemples : u_5 avec u_0=4, r=3 ; u_4 avec u_0=2, q=3).
8. Savoir calculer la probabilité du contraire avec P(A)=1-P(A).
9. Savoir écrire et interpréter une probabilité conditionnelle sous la forme P(M|V).
10. Savoir appliquer la formule de distance d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.
11. Savoir appliquer la formule du milieu M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right).
12. Savoir transformer des pourcentages en multiplicateurs (+20 % → ×1,20 ; −15 % → ×0,85).
13. Savoir traiter deux variations successives en multipliant les coefficients (exemple −30 % puis −20 %).
14. Savoir résoudre une équation de type produit nul ab=0 \iff a=0 ou b=0.