Fiche de révision : Introduction aux nombres complexes et opérations fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Construction des nombres complexes
2. Propriétés fondamentales et opérations
3. Soustraction, division et puissances entières
4. Forme algébrique, partie réelle et imaginaire
5. Représentation géométrique et affixes
6. Conjugaison complexe et propriétés
7. Cercle trigonométrique et caractérisations
8. Notation exponentielle eiθ et propriétés
9. Formules d’Euler et formule de Moivre
10. Forme trigonométrique et argument
11. Argument principal et notations arg et Arg
12. Passage entre formes et opérations

📖 1. Construction des nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble C : Ensemble des nombres complexes, contenant les réels et muni d’une addition et d’une multiplication compatibles avec les règles usuelles.
• Unité imaginaire i : Élément de C dont le carré vaut 1, permettant d’écrire tout complexe sous la forme x+iy.
• Écriture x+iy : Forme algébrique d’un complexe z, unique, avec x et y réels tels que z=x+iy.
• Opposé d’un complexe : Élément noté −z qui vérifie z+(−z)=0, et qui est unique pour chaque z.
• Inverse d’un complexe : Élément noté z^{-1} (ou 1/z) qui vérifie z·z^{-1}=1, défini uniquement si z≠0.

📝 Points essentiels

• On construit C comme un ensemble contenant R et dont les éléments s’écrivent de façon unique x+iy avec x,y∈R et i^2=1.
• Pour z1=x1+iy1 et z2=x2+iy2, on a z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2).
• Pour z1=x1+iy1 et z2=x2+iy2, on a z1z2=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+y1x2).
• L’addition et la multiplication complexes sont associatives et commutatives sur C.
• La multiplication est distributive sur l’addition : z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
• 0 est l’élément neutre de l’addition et 1 est l’élément neutre de la multiplication : z+0=z et z·1=z.

💡 Astuce mémo

i^2=1 et (x+iy)(x'+iy')=(xx'−yy')+i(xy'+x'y).

📖 2. Propriétés fondamentales et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme algébrique : Forme algébrique : écriture d’un complexe $z$ sous la forme $x+iy$ avec $x,y\in\mathbb R$.
• Partie réelle : Partie réelle : pour $z\in\mathbb C$, c’est le réel $x$ tel que $z=x+iy$, noté $\mathrm{Re}(z)$.
• Partie imaginaire : Partie imaginaire : pour $z\in\mathbb C$, c’est le réel $y$ tel que $z=x+iy$, noté $\mathrm{Im}(z)$.
• Nombre imaginaire pur : Nombre imaginaire pur : complexe $z$ dont la partie réelle vaut $0$, donc $z=i\,y$ avec $y\in\mathbb R$.
• Conjugué complexe : Conjugué complexe : pour $z\in\mathbb C$, c’est le complexe $\bar z=\mathrm{Re}(z)-i\,\mathrm{Im}(z)$.

📝 Points essentiels

• Unicité : deux complexes sont égaux si et seulement s’ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
• Critère de réalité : $z$ est réel si et seulement si $\mathrm{Im}(z)=0$.
• Somme : $\mathrm{Re}(z_1+z_2)=\mathrm{Re}(z_1)+\mathrm{Re}(z_2)$ et $\mathrm{Im}(z_1+z_2)=\mathrm{Im}(z_1)+\mathrm{Im}(z_2)$.
• Produit : $\mathrm{Re}(z_1z_2)=\mathrm{Re}(z_1)\mathrm{Re}(z_2)-\mathrm{Im}(z_1)\mathrm{Im}(z_2)$ et $\mathrm{Im}(z_1z_2)=\mathrm{Re}(z_1)\mathrm{Im}(z_2)+\mathrm{Im}(z_1)\mathrm{Re}(z_2)$.
• Multiplication par un réel : pour $\lambda\in\mathbb R$, $\mathrm{Re}(\lambda z)=\lambda\mathrm{Re}(z)$ et $\mathrm{Im}(\lambda z)=\lambda\mathrm{Im}(z)$.
• Somme finie : pour $n\in\mathbb N$ et $z_1,\dots,z_n\in\mathbb C$, $\mathrm{Re}\big(\sum_{k=1}^n z_k\big)=\sum_{k=1}^n \mathrm{Re}(z_k)$ et $\mathrm{Im}\big(\sum_{k=1}^n z_k\big)=\sum_{k=1}^n \mathrm{Im}(z_k)$.

💡 Astuce mémo

Réel = pas d’imaginaire (Im(z)=0) ; Conjugué = même réel, signe - sur l’imaginaire (bar z : $x-iy$).

📖 3. Soustraction, division et puissances entières

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugaison complexe : Application qui associe à tout nombre complexe z son conjugué z, en changeant le signe de la partie imaginaire.
• Involution du conjugué : Propriété selon laquelle appliquer deux fois la conjugaison complexe redonne le nombre complexe de départ.
• Module d’un nombre complexe : Réel positif associé à z, noté |z|, égal à la racine de la somme des carrés de sa partie réelle et de sa partie imaginaire.
• Distance dans le plan complexe : Interprétation géométrique reliant |z1−z2| à la distance entre les points d’affixes z1 et z2 dans un repère orthonormé.
• Inverse d’un complexe non nul : Expression du complexe 1/z à partir de z et de son conjugué, valable dès que z ≠ 0.

📝 Points essentiels

• Pour tout x,y réels, on a \overline{x+iy}=x-iy et donc x+iy = x-iy.
• Pour tout z∈C, on a z·\overline{z}=Re(z)^2 et \overline{z}·z=Im(z)^2 (avec les identités correspondantes sur les parties).
• Pour tout z∈C, on a \overline{\overline{z}}=z (involution).
• Si z=x+iy avec (x,y)≠(0,0), alors 1/(x+iy) = (x/(x^2+y^2)) − i(y/(x^2+y^2)).
• Pour tout z∈C, on a z\overline{z}=|z|^2 et donc |z|^2=Re(z)^2+Im(z)^2.
• Pour tout x,y réels, |x+iy|=\sqrt{x^2+y^2} et le module est toujours un réel positif ou nul (jamais négatif).

💡 Astuce mémo

Conjugué = même réel, imaginaire changé de signe ; module = racine de (réel² + imaginaire²) ; inverse = conjugué sur |z|².

📖 4. Forme algébrique, partie réelle et imaginaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué complexe : Le conjugué complexe d’un nombre $z=x+iy$ est le nombre ar z=x-iy obtenu en changeant le signe de la partie imaginaire.
• Module d’un complexe : Le module d’un complexe $z$ est la quantité non négative $|z|$ qui mesure sa distance à l’origine dans le plan complexe.
• Forme algébrique : La forme algébrique d’un complexe est son écriture sous la forme $z=x+iy$ avec $x$ réel et $y$ réel.
• Partie réelle : La partie réelle d’un complexe $z=x+iy$ est le réel $x$.
• Partie imaginaire : La partie imaginaire d’un complexe $z=x+iy$ est le réel $y$.

📝 Points essentiels

• Si $z=x+iy$ avec $x,y\in\mathbb R$, alors $|z|^2=x^2+y^2$.
• Pour $z\neq 0$, on a $\dfrac{1}{x+iy}=\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}$.
• Pour $z\neq 0$, on a aussi \dfrac{1}{z}=\dfrac{\bar z}{|z|^2.
• Si $z=3+4i$, alors $\dfrac{1}{z}=\dfrac{3-4i}{3^2+4^2}=\dfrac{3-4i}{25}$.
• Si $z_1,z_2\in\mathbb C$, alors $|z_1z_2|=|z_1|\,|z_2|$.
• Si $z_2\neq 0$, alors \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|.

💡 Astuce mémo

Conjugué pour inverser : $\frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}$ (on “retire” le $+iy$ en le remplaçant par $-iy$ et on divise par $x^2+y^2$).

📖 5. Représentation géométrique et affixes

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation $e^{i\theta}$ : La notation $e^{i\theta}$ représente un nombre complexe de module 1 associé à l’angle $\theta$.
• Formule de Moivre : La formule de Moivre relie la puissance $n$ de $e^{i\theta}$ à $e^{in\theta}$, donc à $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$.
• Formules d’Euler : Les formules d’Euler expriment $\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$ à partir de $e^{i\theta}$ et $e^{-i\theta}$.
• Forme trigonométrique : La forme trigonométrique d’un complexe $z$ est une écriture $z=re^{i\theta}$ ou $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$.
• Argument d’un nombre complexe : L’argument d’un complexe $z$ est l’angle $\theta$ apparaissant dans sa forme trigonométrique $z=re^{i\theta}$.

📝 Points essentiels

• Pour tout $\theta\in\mathbb{R}$, on a $e^{i\theta}\in U$ donc $|e^{i\theta}|=1$.
• Pour tout $z\in U$, il existe $\theta\in\mathbb{R}$ tel que $z=e^{i\theta}$, et $\theta$ est unique modulo $2\pi$.
• Pour $\theta_1,\theta_2\in\mathbb{R}$, $e^{i\theta_1}=e^{i\theta_2}$ équivaut à $\theta_1\equiv\theta_2\ (\mathrm{mod}\ 2\pi)$.
• On a $e^{i0}=1$ et plus généralement $e^{i\theta}=1\iff \theta\equiv 0\ (\mathrm{mod}\ 2\pi)$.
• Pour $\theta,\theta_1,\theta_2\in\mathbb{R}$, $e^{i(\theta_1+\theta_2)}=e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}$ et $e^{i\theta}e^{-i\theta}=1$.
• Pour $n\in\mathbb{N}$ et $\theta_1,\dots,\theta_n\in\mathbb{R}$, $e^{i\sum_{k=1}^n\theta_k}=\prod_{k=1}^n e^{i\theta_k}$. (Forme produit via somme des angles)

💡 Astuce mémo

$e^{i\theta}$ vit sur le cercle unité : même angle ⇔ même point ⇔ différence multiple de $2\pi$.

📖 6. Conjugaison complexe et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Argument d’un complexe : L’argument d’un complexe non nul est un réel qui décrit l’angle associé à sa représentation polaire.
• Argument principal : L’argument principal est l’unique argument d’un complexe appartenant à l’intervalle $(-\pi,\pi]$.
• arg(z) : La notation $\mathrm{arg}(z)$ désigne l’argument de $z$ défini modulo $2\pi$.
• Arg(z) : La notation $\mathrm{Arg}(z)$ désigne l’argument principal de $z$, utilisable directement dans des égalités.
• Forme trigonométrique : La forme trigonométrique d’un complexe s’écrit sous la forme $z=r e^{i\theta}$ avec $r=|z|$ et $\theta$ un argument.

📝 Points essentiels

• Tout complexe $z\in\mathbb C$ s’écrit $z=r e^{i\theta}$ avec $r\in\mathbb R$ et $\theta\in\mathbb R$, et alors $r=|z|$.
• Si $z=r_1 e^{i\theta_1}$ et $z=r_2 e^{i\theta_2}$, alors $r_1=r_2$ et $\theta_1\equiv\theta_2\,[2\pi]$.
• Géométriquement, pour $z=r e^{i\theta}$, on a $r=OM_z$ et l’angle orienté $\big(\vec i,\overrightarrow{OM_z}\big)$ vaut $\theta$ modulo $2\pi$.
• Le complexe $0$ n’a pas d’argument, mais on peut écrire $0=r e^{i\theta}$ avec $r=0$ et $\theta$ quelconque.
• Deux complexes non nuls sont égaux si et seulement s’ils ont le même module et le même argument à $2\pi$ près.
• Pour un argument $\theta$ de $z$, on a les équivalences $\theta\equiv 0\,[\pi]$ pour $z\in\mathbb R$, $\theta\equiv \pi\,[2\pi]$ pour $z\in\mathbb R_{-}$, $\theta\equiv \pi/2\,[2\pi]$ pour $z\in i\mathbb R_{+}$ (et $\equ

💡 Astuce mémo

Argument = angle; Arg = angle principal dans (-π,π].

📖 7. Cercle trigonométrique et caractérisations

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme trigonométrique : Forme trigonométrique : écriture d’un complexe sous la forme $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ avec $r\ge 0$ et $\theta\in\mathbb R$.
• Forme algébrique : Forme algébrique : écriture d’un complexe sous la forme $z=x+iy$ avec $x,y\in\mathbb R$.
• Angle moitié : Angle moitié : technique qui permet de réécrire des expressions trigonométriques via des formules impliquant $\theta/2$ quand c’est adapté.
• Exponentielle complexe : Exponentielle complexe : définition de $\exp(z)=e^{\Re(z)}e^{i\Im(z)}$ pour tout $z\in\mathbb C$, notée aussi $e^z$.
• Argument d’un complexe : Argument d’un complexe : angle associé à la forme trigonométrique, noté $\arg(z)$, et relié à la partie imaginaire dans l’écriture exponentielle.

📝 Points essentiels

• Passer de $x+iy$ à la forme trigonométrique : on calcule $r=\sqrt{x^2+y^2}$ puis on choisit $\theta$ tel que $\cos\theta=\frac{x}{r}$ et $\sin\theta=\frac{y}{r}$ (si $r\ne 0$).
• Passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique : si $z=re^{i\theta}$ alors $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$, donc $\Re(z)=r\cos\theta$ et $\Im(z)=r\sin\theta$.
• Technique de l’angle moitié : elle peut remplacer l’identification directe de $\theta$ lorsque l’expression obtenue s’y prête.
• Pour $z=e^{\Re(z)}e^{i\Im(z)}$, on a $|e^z|=e^{\Re(z)}$ et un argument possible vérifie $\arg(e^z)=\Im(z)$ modulo $2\pi$.
• Écriture exponentielle comme forme trigonométrique : $e^z=e^{\Re(z)}(\cos(\Im(z))+i\sin(\Im(z)))$.

💡 Astuce mémo

$x+iy \Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2}$ puis $\cos\theta=x/r$, $\sin\theta=y/r$ ; et $e^{a+ib}=e^a(\cos b+i\sin b)$.

📖 8. Notation exponentielle eiθ et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme trigonométrique : La forme trigonométrique d’un complexe $a$ écrit $a=re^{i\theta}$ avec $r\in\mathbb R$ et $\theta\in\mathbb R$.
• Racine carrée : Une racine carrée d’un complexe $a$ est un complexe $z$ tel que $z^2=a$.
• Discriminant : Le discriminant d’un polynôme du second degré $P(z)=az^2+bz+c$ est la quantité $\Delta=b^2-4ac$.
• Équation du second degré dans C : Résoudre $az^2+bz+c=0$ dans $\mathbb C$ consiste à trouver les solutions $z\in\mathbb C$ qui annulent le polynôme.

📝 Points essentiels

• Si $a=re^{i\theta}$ avec $r\in\mathbb R$ et $\theta\in\mathbb R$, alors les solutions de $z^2=a$ sont $\pm\sqrt{r}\,e^{i\theta/2}$ (notation équivalente à $\pm\,\sqrt{r}e^{i\theta/2}$).
• Tout complexe non nul admet exactement deux racines carrées opposées, c’est-à-dire deux solutions $z$ et $-z$.
• Le complexe $0$ admet exactement une racine carrée : lui-même.
• Pour $z\in\mathbb C\setminus\mathbb R$, on ne peut pas écrire $\sqrt{z}$ sans préciser laquelle des deux racines carrées on choisit.
• Pour $az^2+bz+c=0$ avec $a\neq 0$, si $\Delta=b^2-4ac$ et $\delta$ est une racine carrée de $\Delta$, alors les solutions sont $z_1=\dfrac{-b+\delta}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b-\delta}{2a}$.
• Si $\Delta=0$, l’équation du second degré admet une unique solution double $z_1=z_2=-\dfrac{b}{2a}$, tandis que si $\Delta\neq 0$ les solutions sont distinctes.

💡 Astuce mémo

Racine carrée = « deux signes » : si $z^2=a$ alors $(-z)^2=a$ (donc toujours $\pm$ sauf pour $a=0$).

📖 9. Formules d’Euler et formule de Moivre

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine n-ième : Une racine n-ième d’un complexe a est toute solution z de l’équation $z^n=a$.
• Racine n-ième de l’unité : Une racine n-ième de l’unité est toute solution complexe de $z^n=1$.
• Ensemble $U_n$ : $U_n$ désigne l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité.
• Formule de Moivre : La formule de Moivre relie la puissance $z^p$ d’un complexe de module 1 à la multiplication des angles.
• Formules d’Euler : Les formules d’Euler expriment les exponentielles complexes en fonction de cosinus et sinus.

📝 Points essentiels

• Si $z_1$ et $z_2$ sont les racines d’un polynôme du second degré $az^2+bz+c=0$, alors $z_1+z_2=-\frac{b}{a}$ et $z_1z_2=\frac{c}{a}$ (avec $a\neq 0$).
• Pour une expression symétrique en $z_1$ et $z_2$, on peut la réécrire uniquement avec $z_1+z_2$ et $z_1z_2$ sans calculer $z_1$ ni $z_2$.
• Toute racine n-ième de l’unité a pour module 1, donc $U_n\subset \{z\in\mathbb C:|z|=1\}$.
• Si $z_1,z_2\in U_n$, alors $z_1z_2\in U_n$ et $\frac{z_1}{z_2}\in U_n$ (quotient).
• Si $z\in U_n$, alors son conjugué $\overline z\in U_n$.
• Pour simplifier $z^p$ avec $z\in U_n$, on divise $p$ par $n$ et on remplace $z^p$ par $z^r$ où $r$ est le reste de la division euclidienne de $p$ par $n$.

💡 Astuce mémo

Reste→puissance : pour $z\in U_n$, $z^p$ ne dépend que du reste de $p$ modulo $n$.

📖 10. Forme trigonométrique et argument

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines n-ièmes de l’unité : Ensemble des nombres complexes $z$ tels que $z^n=1$, formant une configuration régulière sur le cercle unité.
• Racines n-ièmes d’un nombre complexe : Ensemble des solutions $z$ de l’équation $z^n=a$ pour un complexe $a$ donné.
• Forme trigonométrique d’un complexe : Écriture d’un complexe sous la forme $a=re^{i\theta}$ où $r$ est le module et $\theta$ un argument.
• Argument d’un quotient : Angle orienté associé au rapport de deux affixes, utilisé pour relier l’argument à l’orientation de vecteurs.
• Représentation complexe d’une transformation : Correspondance entre une application du plan et une application $f:\mathbb C\to\mathbb C$ agissant sur les affixes.

📝 Points essentiels

• Si $z_1$ et $z_2$ sont des racines n-ièmes de l’unité, alors $z_1\neq 0$, $z_2\neq 0$ et $z_1^n=z_2^n=1$.
• Pour $n\in\mathbb N$, si $z_1$ et $z_2$ sont non nuls, alors $z_1\,\overline{z_2}$ et $\dfrac{z_1}{z_2}$ ont des arguments reliés par des multiples de $\frac{2\pi}{n}$ (via la formule d’argument).
• Si $a\in\mathbb C$ et $z_0$ est une racine n-ième de $a$, alors toutes les racines n-ièmes s’écrivent $z=z_0\,\xi$ avec $\xi\in U_n$.
• Pour trouver les racines n-ièmes de $a$ sans racine connue, on écrit $a=re^{i\theta}$ puis on utilise $z_k=r^{1/n}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}$ pour $k\in\{0,\dots,n-1\}$.
• Les racines troisièmes de $a=3-3i$ sont obtenues en passant par sa forme trigonométrique puis en appliquant la formule $e^{i\frac{\theta+2k\pi}{3}}$.
• Si $\vec u_1$ et $\vec u_2$ ont pour affixes respectives $z_1$ et $z_2$, alors $\arg\left(\dfrac{z_2}{z_1}\right)$ vaut un multiple de $2\pi$ correspondant à l’angle orienté entre les vecteurs (modulo $2\pi$).

💡 Astuce mémo

Racines : une racine connue $z_0$ → toutes les autres = $z_0$ multiplié par les racines de l’unité ; trigonométrique : $a=re^{i\theta}$ → on divise l’angle et on ajoute $2k\pi$.

📖 11. Argument principal et notations arg et Arg

🔑 Notions clés & Définitions

• Homothétie : Transformation du plan qui envoie chaque point M sur un point M1 aligné avec le centre Ω, avec un rapport constant k entre les vecteurs ΩM1 et ΩM.
• Rotation : Transformation du plan qui fixe un centre Ω et envoie chaque point M sur M1 tel que la longueur ΩM1 soit égale à ΩM et que l’angle orienté soit θ.
• Homothétie de centre Ω : Homothétie définie par un centre Ω et un rapport k, qui associe à tout point M le point M1 vérifiant ΩM1 = k·ΩM.
• Rotation de centre Ω : Rotation définie par un centre Ω et un angle θ, qui fixe Ω et détermine M1 par la condition de même distance et d’angle θ.

📝 Points essentiels

• Notation arg et Arg : l’argument d’un nombre complexe est un angle défini à 2π près, tandis que Arg désigne la valeur principale choisie dans un intervalle de référence.
• Homothétie en complexe : l’homothétie de centre d’affixe ω et de rapport k est donnée par z ↦ k(z−ω)+ω, soit z ↦ kz − kω + ω.
• Cas particulier homothétie de centre O : pour ω=0, l’homothétie s’écrit simplement z ↦ kz.
• Symétrie par rapport à un point : la symétrie de centre Ω (rapport −1) s’écrit z ↦ 2ω − z.
• Rotation en complexe : la rotation de centre d’affixe ω et d’angle θ s’écrit z ↦ ω + e^{iθ}(z−ω).
• Cas particulier rotation de centre O : pour ω=0, la rotation s’écrit z ↦ e^{iθ}z, et l’exemple π/2 donne le facteur e^{iπ/2}=i.

💡 Astuce mémo

Homothétie : on “scale” autour de ω (z−ω), puis on “revient” à ω ; Rotation : on “tourne” autour de ω en multipliant (z−ω) par e^{iθ}.

📖 12. Passage entre formes et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie réelle : La partie réelle d’une fonction complexe est la fonction qui associe à chaque $t$ la valeur réelle de $f(t)$.
• Partie imaginaire : La partie imaginaire d’une fonction complexe est la fonction qui associe à chaque $t$ la valeur imaginaire de $f(t)$.
• Module d’une fonction : Le module d’une fonction complexe est la fonction qui associe à chaque $t$ la quantité $|f(t)|$.
• Continuité complexe : Une fonction à valeurs complexes est continue si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont continues.
• Dérivabilité complexe : Une fonction à valeurs complexes est dérivable en $x$ si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont dérivables en $x$.

📝 Points essentiels

• Si $f:I\to\mathbb C$, alors $\operatorname{Re}f$ et $\operatorname{Im}f$ sont des fonctions à valeurs réelles définies sur $I$.
• Pour tout $t\in I$, on a $f(t)=\operatorname{Re}f(t)+i\operatorname{Im}f(t)$ et $|f(t)|\in\mathbb R_+$.
• La continuité de $f$ sur $I$ équivaut à la continuité de $\operatorname{Re}f$ et de $\operatorname{Im}f$ sur $I$.
• La dérivée complexe en $x$ vérifie $f'(x)=\big(\operatorname{Re}f\big)'(x)+i\big(\operatorname{Im}f\big)'(x)$.
• La dérivée d’ordre $n$ (si possible) est obtenue en dérivant $n$ fois, et $f^{(n)}=\big(\operatorname{Re}f\big)^{(n)}+i\big(\operatorname{Im}f\big)^{(n)}$.
• Convention : $f^{(0)}=f$ et $f$ est de classe $C^1$ sur $I$ si $f$ est dérivable sur $I$ et $f'$ est continue sur $I$.

💡 Astuce mémo

Re/Im : dériver séparément, puis recoller avec $i$ (même logique pour la continuité).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre i (dont i^2=1) avec l’indice i de la partie imaginaire : i est un élément de C, tandis que Im(z) est un réel.
2. Croire que z+iy est une écriture « au choix » : la forme algébrique x+iy est unique, donc deux complexes sont égaux ssi Re et Im coïncident.
3. Se tromper dans la formule du produit : (x+iy)(x’+iy’) = (xx’−yy’) + i(xy’+x’y), pas (xx’+yy’).
4. Oublier que l’inverse n’existe que pour z≠0 et appliquer 1/z sans vérifier la condition.
5. Mélanger conjugué et inverse : le conjugué change le signe de la partie imaginaire, alors que 1/z = z̄/|z|^2 (donc dépend aussi du module).
6. Penser que arg(z) est une valeur unique : arg(z) est défini modulo 2π, tandis que Arg(z) est l’argument principal dans (−π,π].
7. Utiliser la racine carrée « sans préciser » : pour z^2=a, il y a deux racines opposées (sauf a=0), donc √a n’est pas univoque dans C\R.

✅ Checklist Examen

1. Construire C à partir de R×R et écrire correctement l’addition et la multiplication sur les couples (x,y) avec i^2=1.
2. Vérifier les propriétés algébriques : associativité/commutativité, distributivité, neutres 0 et 1, opposé et inverse (avec la formule de 1/(x+iy)).
3. Savoir manipuler soustraction et division en utilisant z1−z2 = z1+(−z2) et z1/z2 = z1·(1/z2) pour z2≠0, puis appliquer les puissances entières zn.
4. Passer à la forme algébrique : identifier Re(z)=x et Im(z)=y, reconnaître les imaginaires purs (Re=0) et utiliser l’unicité (égalité ⇔ mêmes parties réelle et imaginaire).
5. Calculer Re(z1+z2), Im(z1+z2), puis Re(z1z2) et Im(z1z2) avec les formules données, et utiliser la linéarité par un réel λ.
6. Utiliser la conjugaison : z̄ = Re(z)−iIm(z), l’involution z̄̄=z, et les identités avec z·z̄ = |z|^2.
7. Calculer le module : |x+iy|=√(x^2+y^2), interpréter |z1−z2| comme distance, et appliquer les propriétés du module (positivité, |z|=0⇔z=0, etc.).
8. Trouver l’inverse d’un complexe non nul sous forme algébrique : 1/(x+iy)=(x/(x^2+y^2))−i(y/(x^2+y^2)) ou 1/z=z̄/|z|^2.
9. Passer de x+iy à la forme trigonométrique : calculer r=√(x^2+y^2) puis choisir θ via cosθ=x/r et sinθ=y/r (si r≠0).
10. Passer de reiθ à la forme algébrique : reiθ=r(cosθ+i sinθ), puis extraire Re et Im.
11. Maîtriser la notation eiθ : définir eiθ=cosθ+i sinθ, utiliser les propriétés produit/quotient et la formule de Moivre (eiθ)^n=ei nθ.
12. Utiliser les formules d’Euler : cosθ=(e^{iθ}+e^{-iθ})/2 et sinθ=(e^{iθ}−e^{-iθ})/(2i), puis linéariser des puissances trigonométriques si demandé.
13. Résoudre z^2=a dans C : utiliser la forme trigonométrique de a pour obtenir ±√r·e^{iθ/2}, et rappeler qu’il y a deux racines opposées (ou une seule pour a=0).
14. Résoudre az^2+bz+c=0 dans C : calculer Δ=b^2−4ac, prendre δ racine carrée de Δ, puis écrire z1=(−b+δ)/(2a), z2=(−b−δ)/(2a) et traiter le cas Δ=0/Δ≠0 selon le cours (solutions distinctes ou double).