QCM : Introduction aux nombres complexes et opérations fondamentales — 24 questions

Explication

Dans la construction des complexes, i est l’unité imaginaire et vérifie i²=1. Il permet d’écrire tout complexe sous la forme unique x+iy.

Explication

Le produit complexe se calcule en développant et en utilisant i²=1, ce qui donne (x1x2−y1y2)+i(x1y2+y1x2). La somme correspond seulement à l’addition des parties réelles et imaginaires.

Explication

Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelle et imaginaire coïncident. Le module ou l’argument seuls ne suffisent pas à garantir l’égalité.

Explication

La multiplication par un réel est linéaire sur les parties réelle et imaginaire : Im(λz)=λIm(z). Cela vaut aussi pour la partie réelle.

Explication

Pour z≠0, on rationalise en multipliant par le conjugué, ce qui donne 1/z=(x−iy)/(x²+y²). Le dénominateur est la somme des carrés, donc toujours positif pour z non nul.

Explication

Tout complexe non nul admet exactement deux racines carrées, qui sont opposées l’une de l’autre. Le cas de 0 est particulier, car il n’a qu’une racine carrée : lui-même.

Explication

La forme algébrique s’écrit z=x+iy avec x=Re(z) et y=Im(z). Cette écriture est unique.

Explication

Le module est défini par |z|=√(x²+y²), donc |z|²=Re(z)²+Im(z)². C’est la distance du point d’affixe z à l’origine.

Explication

Un complexe est représenté par le point de coordonnées (Re(z), Im(z)) dans le plan complexe, et on parle de son affixe. Cette représentation permet d’interpréter aussi le module comme une distance.

Explication

Dans le plan complexe, un point de coordonnées (x,y) a pour affixe x+iy. Ici, cela donne donc 3−2i.

Explication

Le conjugué conserve la partie réelle et change le signe de la partie imaginaire : z̄=x−iy. C’est aussi une involution, car conjuguer deux fois redonne z.

Explication

La conjugaison est une involution : appliquer deux fois le conjugué redonne le nombre de départ. Les autres relations ne sont pas vraies en général.

Explication

Un complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire vaut 0. Sur l’axe réel, son argument est 0 ou π modulo 2π selon le signe.

Explication

U désigne l’ensemble des nombres complexes de module 1, situés sur le cercle trigonométrique. Tout nombre de U s’écrit e^{iθ}.

Explication

Par définition, e^{iθ} est un nombre complexe de module 1. Il appartient donc au cercle unité.

Explication

On a e^{iθ1}=e^{iθ2} si et seulement si θ1≡θ2 modulo 2π. L’exponentielle complexe est donc périodique de période 2π.

Explication

La formule d’Euler donne cos(θ)=(e^{iθ}+e^{-iθ})/2. La seconde expression proposée correspond à sinus, pas au cosinus.

Explication

La formule de Moivre affirme que la puissance n d’un nombre de module 1 multiplie l’angle par n : (e^{iθ})^n=e^{inθ}. C’est la base des calculs de puissances trigonométriques.

Explication

La forme trigonométrique est z=r(cos θ+i sin θ), avec r=|z|≥0 et θ un argument. Elle est équivalente à z=re^{iθ}.

Explication

Le module correspond à la distance à l’origine, donc r=√(x²+y²). C’est ensuite ce r qui sert dans la forme trigonométrique.

Explication

arg(z) désigne un argument quelconque, donc défini à 2π près, tandis que Arg(z) est l’argument principal choisi dans un intervalle de référence. Cette distinction est essentielle dans les calculs.

Explication

Les racines n-ièmes de a sont obtenues en divisant le module par n et en répartissant les arguments par ajouts de 2kπ, soit r^{1/n}e^{i(θ+2kπ)/n}. Cela donne les n solutions distinctes.

Explication

Une rotation conserve les distances au centre ω et multiplie le vecteur (z−ω) par e^{iθ}. La formule est donc z↦ω+e^{iθ}(z−ω).

Explication

Pour une fonction complexe dérivable, on dérive séparément la partie réelle et la partie imaginaire, puis on les recolle avec i. Ainsi f'(x)=(Re f)'(x)+i(Im f)'(x).