QCM : Introduction aux suites géométriques — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise une suite géométrique ?

Chaque terme s’obtient en divisant le précédent par un nombre variable
Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par un réel constant
Chaque terme s’obtient en ajoutant une même constante au précédent
Chaque terme s’obtient en multipliant le rang par une constante

Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par un réel constant

Explication

Une suite géométrique est définie par l’existence d’un réel constant q tel que chaque terme soit obtenu en multipliant le précédent par q. Le fait d’ajouter une constante correspondrait plutôt à une suite arithmétique.

2. Dans une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, quelle relation vérifie-t-on pour tout n ?

un = q × n + u0
un = u0 + qn
un+1 = un + q
un+1 = q × un

un+1 = q × un

Explication

La relation de récurrence d’une suite géométrique est un+1 = q × un. Cela traduit le multiplicateur fixe qui relie deux termes consécutifs.

3. Comment peut-on reconnaître qu’une suite est géométrique à partir de ses termes consécutifs ?

En vérifiant que la différence un+1 − un reste constante
En vérifiant que le quotient un+1 / un reste constant
En vérifiant que le produit un+1 × un reste constant
En vérifiant que la somme un+1 + un reste constante

En vérifiant que le quotient un+1 / un reste constant

Explication

On reconnaît une suite géométrique en calculant le quotient entre deux termes consécutifs et en montrant qu’il ne dépend pas de n. Une différence constante caractérise au contraire une suite arithmétique.

4. Si une suite vérifie un+1 / un = 3 pour tout n, quelle est sa raison ?

q = 3
q = 0
q = 1/3
q = un

q = 3

Explication

La raison d’une suite géométrique est précisément le rapport constant entre deux termes consécutifs. Ici, ce rapport vaut 3, donc la raison est 3.

5. Quelle est la formule explicite d’une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q ?

un = u0 + qn
un = u0 × n^q
un = u0 × qn
un = q × u0n

un = u0 × qn

Explication

Pour une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, on a un = u0 × q^n. La puissance porte sur q, pas sur u0.

6. Si u4 est connu dans une suite géométrique de raison q, quelle formule permet d’exprimer un à partir de u4 ?

un = u4 × q^(4−n)
un = u4 × q^(n−4)
un = u4 + q^(n−4)
un = u4 × (n−4)^q

un = u4 × q^(n−4)

Explication

La formule généralisée est un = up × q^(n−p) lorsqu’on part du terme d’indice p. En prenant p = 4, on obtient bien un = u4 × q^(n−4).

7. Quelle est l’allure d’une suite géométrique lorsque u0 > 0 et 0 < q < 1 ?

Elle est strictement croissante
Elle est constante
Elle est strictement décroissante
Elle n’est ni croissante ni décroissante

Elle est strictement décroissante

Explication

Si u0 est positif et que la raison q est comprise entre 0 et 1, chaque terme est plus petit que le précédent, donc la suite est strictement décroissante. Le cas q < 0 conduit plutôt à une alternance.

8. Quel est le sens de variation d’une suite géométrique lorsque la raison q est négative ?

Elle est constante
Elle est strictement croissante
Elle n’est ni croissante ni décroissante
Elle est strictement décroissante

Elle n’est ni croissante ni décroissante

Explication

Quand q est négatif, les termes changent de signe et la suite alterne en général. Elle n’est donc ni strictement croissante ni strictement décroissante.

9. Quelle est la formule de la somme 1 + q + q^2 + … + q^n lorsque q ≠ 1 ?

(1 − q^(n+1)) / (1 − q)
(1 − q^n) / (1 − q)
(1 + q^(n+1)) / (1 + q)
(q^(n+1) − 1) / (q − 1)^2

(1 − q^(n+1)) / (1 − q)

Explication

La somme des puissances successives d’une raison q différente de 1 vaut (1 − q^(n+1)) / (1 − q). Le terme correctif dépend donc bien de n+1.

10. Quelle expression donne la somme S = u0 + u1 + … + un d’une suite géométrique de raison q ≠ 1 ?

S = u0 × (1 + q^(n+1)) / (1 − q)
S = u0 + (1 − q^(n+1)) / (1 − q)
S = u0 × (1 − q^(n+1)) / (1 − q)
S = u0 × (1 − q^n) / (1 + q)

S = u0 × (1 − q^(n+1)) / (1 − q)

Explication

La somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique s’obtient en multipliant u0 par la somme des puissances de q. On retrouve donc S = u0 × (1 − q^(n+1)) / (1 − q).

11. Une suite vérifie u_{n+1}=1,1\,u_n avec u_0=250. Quelle affirmation est correcte ?

La suite est arithmétique de raison 1,1 et son premier terme vaut 250
La suite est géométrique de raison 1,1 et son premier terme vaut 250
La suite n’est pas géométrique car la relation dépend de n
La suite est géométrique de raison 250 et son premier terme vaut 1,1

La suite est géométrique de raison 1,1 et son premier terme vaut 250

Explication

La relation u_{n+1}=1,1\,u_n montre un multiplicateur constant, donc la suite est géométrique de raison 1,1. Le premier terme est bien u_0=250.

12. Une suite est définie par u_{n+1}=0,8\,u_n+1 avec u_0=20. Quelle transformation permet d’obtenir une suite géométrique ?

Poser v_n=0,8\,u_n
Poser v_n=u_n-5
Poser v_n=u_n+5
Poser v_n=u_n-1

Poser v_n=u_n-5

Explication

En posant v_n=u_n-5, on obtient v_{n+1}=0,8\,v_n, ce qui donne une suite géométrique. Le décalage par 5 supprime le terme constant ajouté à chaque étape.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 12 flashcards sur Introduction aux suites géométriques.

Suite géométrique — définition ?

Suite avec un+1 = q×un, q constant.

Raison q — rôle ?

Multiplicateur fixe entre termes.

Formule explicite — expression ?

un = u0×q^n.

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