Fiche de révision : Introduction aux suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation des suites
2. Suites explicites et récurrentes
3. Suites arithmétiques
4. Suites géométriques
5. Sommes de suites
6. Sens de variation des suites
7. Limites et convergence

📖 1. Définition et représentation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une fonction qui associe à chaque entier naturel n un nombre réel noté u n.
• Nuage de points : La représentation graphique d’une suite consiste à placer les points de coordonnées (n, u n) dans un repère.
• Indice n : L’indice n est un entier naturel placé sur l’axe des abscisses lors du tracé d’une suite.

📝 Points essentiels

• Pour calculer u n, on étudie soit une formule explicite soit une relation de récurrence selon le mode de définition.
• Sur le graphique, l’axe horizontal correspond à n et l’axe vertical correspond à la valeur u n.
• On place des points (0,u0), (1,u1), (2,u2), etc., sans les relier par une courbe continue.
• La modélisation par suite décrit un phénomène discret qui évolue par paliers, avec une situation initiale et une relation entre termes successifs.

📖 2. Suites explicites et récurrentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite définie explicitement : Une suite est définie explicitement quand u_n s’écrit directement sous la forme u n = f(n).
• Suite définie par récurrence : Une suite est définie par récurrence quand on connaît un premier terme et une relation donnant u_{n+1} à partir de u_n.
• Calcul itératif : Le calcul itératif consiste à produire les termes successifs en utilisant à chaque fois le terme précédent.

📝 Points essentiels

• Si u_n = f(n), alors pour obtenir un terme on remplace directement n par sa valeur dans la formule.
• Si u_{n+1} = f(u_n), alors on calcule u_1 à partir de u_0, puis u_2 à partir de u_1, et ainsi de suite.
• Exemple explicite : pour u_n = 3n^2 − n + 1, on obtient u_0 = 1, u_3 = 25 et u_10 = 291.
• Exemple récurrent : si u_0 = 1 et u_{n+1} = 3u_n + 2, alors u_1 = 5 puis u_2 = 17.

📖 3. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite où la différence entre deux termes consécutifs est constante.
• Raison r : La raison r est le nombre qu’on ajoute d’un terme au suivant dans une suite arithmétique.
• Terme général : Le terme général d’une suite arithmétique donne u_n directement en fonction de n, du premier terme et de la raison.

📝 Points essentiels

• La relation de récurrence d’une suite arithmétique s’écrit u_{n+1} = u_n + r.
• Le terme général avec premier terme u_0 vaut u_n = u_0 + n×r.
• Si la suite commence à u_1, alors la formule devient u_n = u_1 + (n−1)×r.
• Pour u_0 = 10 et r = −3, on obtient u_1 = 7, u_2 = 4 et u_3 = 1.
• Le repère de points d’une suite arithmétique forme des points alignés, avec une pente égale à r.

📖 4. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite géométrique est une suite où le rapport u_{n+1}/u_n est constant.
• Raison q : La raison q est le nombre constant par lequel on multiplie un terme pour obtenir le terme suivant.

📝 Points essentiels

• Pour vérifier qu’une suite est géométrique, on calcule le rapport u_{n+1}/u_n et on vérifie qu’il reste constant.
• La relation de récurrence d’une suite géométrique s’écrit u_{n+1} = u_n × q.
• Avec un premier terme u_0, le terme général est u_n = u_0 × q^n.
• Si la suite commence à u_1, alors la formule devient u_n = u_1 × q^{n−1}.
• Exemple : pour 2, 6, 18, 54, le rapport est 3, donc la raison q vaut 3.

📖 5. Sommes de suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme des n premiers termes : La somme des n premiers termes s’écrit comme S_n = u_1 + u_2 + … + u_n.
• Somme d’une suite arithmétique : La somme de n termes consécutifs d’une suite arithmétique se calcule avec une formule utilisant le premier et le dernier terme.
• Somme d’une suite géométrique : La somme des n premiers termes d’une suite géométrique dépend de q et change de forme selon que q vaut 1 ou non.

📝 Points essentiels

• La somme des n premiers entiers naturels est S_n = n(n+1)/2.
• Pour une suite arithmétique de premier terme u_1 et dernier terme u_n, on a S_n = n(u_1 + u_n)/2.
• Pour une suite géométrique avec q ≠ 1 et premier terme u_1, on a S_n = u_1 × (1−q^n)/(1−q).
• Pour une suite géométrique avec q = 1, on a S_n = n×u_1.
• Exemple : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 donne S_5 = 31 avec u_1 = 1 et q = 2.

📖 6. Sens de variation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante quand chaque terme est au moins aussi grand que le terme précédent.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante quand chaque terme est au plus aussi grand que le terme précédent.
• Suite constante : Une suite est constante quand tous ses termes consécutifs sont égaux.

📝 Points essentiels

• Le signe de la différence u_{n+1} − u_n détermine le sens : positif pour croissance stricte, négatif pour décroissance stricte, nul pour constance.
• La comparaison au quotient u_{n+1}/u_n avec 1 s’applique seulement si tous les termes sont strictement positifs (u_n > 0).
• Pour une suite arithmétique, le sens dépend uniquement de r : r>0 croissance, r<0 décroissance, r=0 constance.
• Pour une suite géométrique avec u_0 > 0, le sens dépend de q : q>1 croissance, 0<q<1 décroissance, q=1 constance.
• Exemple : u_n = 5×(0.7)^n est décroissante car 0<0.7<1.

📖 7. Limites et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Une suite admet une limite finie L si ses termes se rapprochent de L quand n tend vers +∞.
• Limite +∞ : Une suite a pour limite +∞ si ses termes deviennent arbitrairement grands quand n augmente.
• Convergence : Une suite est convergente si elle admet une limite finie lorsque n tend vers +∞.

📝 Points essentiels

• On distingue convergence (limite finie) et divergence (pas de limite finie, ou limites infinies).
• Si u_n = 3 + 1/n, alors u_n → 3 car 1/n → 0 quand n → +∞.
• Si v_n = n, alors v_n → +∞ et si w_n = −n, alors w_n → −∞.
• Si t_n = (−1)^n, alors la suite oscille entre −1 et 1 et ne converge pas.
• Pour v_n = 5 − 2/n, on obtient v_n → 5 quand n → +∞.

📊 Tableaux de synthèse

Arithmétique vs géométrique

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre u_{n+1} − u_n et u_{n+1}/u_n : la première sert au signe, la seconde ne s’utilise que si tous les u_n sont strictement positifs.
2. Utiliser la mauvaise formule du terme général quand la suite ne commence pas à u_0 : il faut adapter avec (n−1)×r ou avec q^{n−1}.
3. Appliquer la somme géométrique sans distinguer le cas q = 1 : la formule avec (1−q^n)/(1−q) n’est pas celle à utiliser quand q = 1.
4. Croire qu’une suite géométrique est croissante sans vérifier le signe et la valeur de q : la variation dépend de q (et, pour le cas positif, du fait que u_0>0).
5. Dire qu’une suite converge dès qu’elle devient “grande” : convergence signifie limite finie, tandis que +∞ ou −∞ sont des divergences.
6. Mélanger les notations de premier terme : les formules de somme géométrique utilisent u_1, tandis que les formules de terme général sont données avec u_0 selon le cas décrit.

✅ Checklist Examen

1. Définir ce qu’est une suite numérique et donner l’interprétation de u_n et n.
2. Placer correctement des points (n,u_n) sur un repère et préciser ce que représentent les axes.
3. Distinguer une suite définie explicitement d’une suite définie par récurrence.
4. Calculer des termes à partir d’une formule explicite u_n=f(n) en remplaçant n.
5. Calculer des termes par récurrence en partant de u_0 (ou du premier terme donné) et en itérant la relation.
6. Reconnaître une suite arithmétique et écrire sa relation u_{n+1}=u_n+r.
7. Calculer un terme u_n d’une suite arithmétique via u_n=u_0+n×r ou via la formule adaptée si le premier terme est u_1.
8. Reconnaître une suite géométrique et vérifier qu’elle a un rapport constant u_{n+1}/u_n.
9. Calculer un terme u_n d’une suite géométrique via u_n=u_0×q^n ou via u_n=u_1×q^{n−1}.
10. Déterminer le sens de variation d’une suite en utilisant soit u_{n+1}−u_n, soit u_{n+1}/u_n avec u_n>0.
11. Calculer une somme : S_n des n premiers entiers, somme arithmétique, et somme géométrique avec la distinction q≠1 et q=1.
12. Classer des suites en convergentes/divergentes en identifiant une limite finie, +∞, −∞, ou une absence de limite (ex. oscillation).