Fiche de révision : Introduction aux variations et extrema des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Sens de variation d’une fonction et construction du tableau de variation
2. Définition et propriétés des extrema d’une fonction
3. Variation des fonctions affines et calcul du taux d’accroissement
4. Étude des variations de la fonction carrée sur les intervalles négatifs et positifs

📖 1. Sens de variation d’une fonction et construction du tableau de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de variation : Tableau qui regroupe de façon schématique les variations d’une fonction obtenues lors de l’étude des variations.

📝 Points essentiels

• Les résultats de cette étude sont regroupés dans un tableau de variation qui résume de façon schématique les variations de la fonction.
• Principe de construction d’un tableau de variation : la 1ère ligne indique l’ensemble de définition sur lequel on étudie les variations de f.
• Principe de construction d’un tableau de variation : la 2ème ligne indique le sens de variation de f avec la signalétique croissante/décroissante/constante.
• Un tableau de variation permet de regrouper les résultats obtenus sur les intervalles où la fonction est monotone.
• Étudier les variations d’une fonction définie sur un intervalle I consiste à déterminer les sous-intervalles de I les plus grands possibles sur lesquels la fonction est monotone (soit croissante, soit décroissante, soit constante).
• Le tableau de variation résume schématiquement les variations de la fonction.

💡 À retenir

Une étude de variations se lit rapidement grâce au tableau de variation : il regroupe les intervalles où la fonction est monotone et indique, sur une ligne dédiée, le sens de variation (croissante, décroissante ou constante).

📖 2. Définition et propriétés des extrema d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur des extrema : Valeur d’un minimum ou d’un maximum pouvant varier selon l’intervalle sur lequel on se place.
• Variations de la fonction : Principe de construction d’un tableau de variation : 1ère ligne : l’ensemble de définition sur lequel on étudie les variations de la fonction f.

📝 Points essentiels

• Un extremum est un minimum ou un maximum.
• La valeur des extrema peut varier en fonction de l’intervalle sur lequel on se place.
• Une fonction peut ne pas avoir de maximum ni de minimum.
• La recherche d’un maximum et d’un minimum dépend de l’intervalle considéré (ici [-4 ; 2]).
• Exemple : pour une fonction définie sur [-4 ; 2], déterminer le maximum et le minimum se fait à partir de la courbe représentative ou de l’étude demandée.

💡 À retenir

Un extremum est un minimum ou un maximum.

📖 3. Variation des fonctions affines et calcul du taux d’accroissement

📝 Points essentiels

• Pour deux points A(x1 ; f(x1)) et B(x2 ; f(x2)) avec x1 < x2, le taux d’accroissement m correspond au coefficient directeur de la droite (AB).
• Le taux d’accroissement est donné par la formule (f(x2) − f(x1)) / (x2 − x1).
• Pour une fonction affine f(x)=ax+b, le calcul du taux d’accroissement conduit à m = a.
• Le taux d’accroissement de la fonction affine est constant sur ℝ car a est constant.
• La démonstration du résultat m=a s’appuie sur la substitution f(x)=ax+b dans (f(x2)−f(x1))/(x2−x1).

💡 À retenir

Pour une fonction affine f(x)=ax+b, le taux d’accroissement vaut m=a : la variation se lit donc via le coefficient directeur constant a.

📖 4. Étude des variations de la fonction carrée sur les intervalles négatifs et positifs

🔑 Notions clés & Définitions

• X1² - x2² : Expression dont le signe est étudié en la factorisant : x1² − x2² = (x1 − x2)(x1 + x2).
• Règle des signes : Règle permettant de conclure sur le signe du produit (x1 − x2)(x1 + x2) à partir des signes de ses deux facteurs, en précisant que l’un des deux termes est non nul.
• Démonstration : Soit x1 et x2 deux nombres réels tels que x1 < x2  0.

📝 Points essentiels

• Etudions le signe de x1² - x2².
• Pour x1 < x2 < 0, on étudie le signe de x1² − x2² en factorisant : x1² − x2² = (x1 − x2)(x1 + x2).
• Pour 0 < x1 < x2, on étudie le signe de x1² − x2² via la même factorisation : x1² − x2² = (x1 − x2)(x1 + x2).

💡 À retenir

La variation de la fonction carrée se déduit du signe de x1² − x2² en étudiant séparément les cas sur les intervalles négatifs et positifs, grâce à la factorisation (x1 − x2)(x1 + x2) et à la règle des signes.

📊 Tableaux de Synthèse

Tableau de variation : lignes à connaître

Fonction affine : taux d’accroissement et variation

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre le tableau de variation avec un tableau de valeurs : le tableau de variation regroupe schématiquement les variations obtenues lors de l’étude des variations.
2. Oublier que la 1ère ligne du tableau de variation indique l’ensemble de définition sur lequel on étudie les variations de f.
3. Inverser la lecture du sens : la 2ème ligne indique le sens de variation (croissante/décroissante/constante).
4. Penser qu’un extremum (minimum/maximum) est unique : la valeur des extrema peut varier selon l’intervalle considéré.
5. Croire qu’une fonction a forcément un maximum et un minimum : une fonction peut ne pas avoir de maximum ni de minimum.
6. Se tromper sur la formule du taux d’accroissement : il faut (f(x2) − f(x1)) / (x2 − x1) avec x1 < x2.
7. Penser que le taux d’accroissement d’une fonction affine dépend de x1 et x2 : il est constant sur ℝ car a est constant.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir un tableau de variation comme un regroupement schématique des variations obtenues.
2. Identifier la 1ère ligne du tableau de variation : ensemble de définition étudié.
3. Identifier la 2ème ligne du tableau de variation : sens croissante/décroissante/constante.
4. Déterminer les sous-intervalles les plus grands possibles sur lesquels la fonction est monotone (croissante/décroissante/constante).
5. Rappeler qu’un extremum est un minimum ou un maximum.
6. Vérifier que la recherche du maximum et du minimum dépend de l’intervalle considéré.
7. Rappeler qu’une fonction peut ne pas avoir de maximum ni de minimum.
8. Calculer le taux d’accroissement avec la formule (f(x2) − f(x1)) / (x2 − x1) pour x1 < x2.
9. Pour f(x)=ax+b, conclure que m = a.
10. Pour la fonction carrée, factoriser x1² − x2² en (x1 − x2)(x1 + x2) avant d’étudier le signe.
11. Séparer les cas sur les intervalles négatifs et positifs (x1 < x2 < 0 puis 0 < x1 < x2) pour conclure sur la variation.