Fiche de révision : Les nombres et leurs opérations

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres et inclusions
2. Opérations sur les nombres relatifs
3. Priorités des opérations
4. Puissances et leurs propriétés
5. Notation scientifique
6. Opérations sur les fractions

📖 1. Ensembles de nombres et inclusions

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Les entiers naturels forment l’ensemble $\mathbb{N} = \{0{,}1{,}2{,}3,\ldots\}$, qui inclut le zéro.
• Entiers relatifs : Les entiers relatifs, notés $\mathbb{Z}$, réunissent les entiers négatifs et les entiers naturels.
• Nombres décimaux : Un nombre décimal peut s’écrire comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
• Nombres rationnels : Un nombre rationnel, noté $\mathbb{Q}$, peut s’écrire sous forme de fraction.
• Nombres réels : Les nombres réels, notés $\mathbb{R}$, sont la réunion des nombres rationnels et irrationnels.

📝 Points essentiels

• Les ensembles de nombres vérifient l’inclusion $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

📖 2. Opérations sur les nombres relatifs

★ À maîtriser

• La somme de deux nombres positifs est positive et celle de deux nombres négatifs est négative.

• La somme de deux nombres de signes contraires dépend de leurs distances à zéro.

• Pour soustraire un nombre relatif, on additionne son opposé.

Compléments

📌 Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif, tandis que celui de deux nombres de signes contraires est négatif.

📖 3. Priorités des opérations

★ À maîtriser

• 🔄 On traite les opérations dans l’ordre suivant :
  1. Les parenthèses et crochets
  2. Les puissances
  3. Les multiplications et divisions
  4. Les additions et soustractions

Compléments

• Dans $7 + 3 \times (-5) - 12$, le respect des priorités donne $-20$.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → puissances → multiplications/divisions → additions/soustractions.

📖 4. Puissances et leurs propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Pour un entier positif non nul $n$ et un nombre relatif $a$, $a^n$ désigne le produit de $n$ facteurs égaux à $a$.

★ À maîtriser

📌 Pour un entier positif non nul $n$ et un nombre relatif non nul $a$, $a^{-n}$ est l’inverse de $a^n$, soit $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

📐 Formule - Pour tout entier relatif $n,p$ et tout nombre décimal non nul $a$, $a^n \times a^p = a^{n+p}$.

📐 Formule - Pour tout entier relatif $n,p$ et tout nombre décimal non nul $a$, $\frac{a^n}{a^p} = a^{n-p}$.

Compléments

📌 Par convention, pour tout nombre relatif $a$, $a^0 = 1$.

📖 5. Notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : L’écriture scientifique d’un nombre est de la forme $\pm a \times 10^n$, où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \leq a < 10$ et $n$ est un entier relatif.

📝 Points essentiels

• La notation scientifique permet de connaître immédiatement l’ordre de grandeur d’un nombre ; $3{,}25 \times 10^9$ est de l’ordre du milliard.

• Le nombre $59600$ s’écrit $5{,}96 \times 10^4$ en notation scientifique.

• Le nombre $0{,}00145$ s’écrit $1{,}45 \times 10^{-3}$ en notation scientifique.

📖 6. Opérations sur les fractions

★ À maîtriser

• Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut d’abord les mettre au même dénominateur et ne pas additionner ni soustraire leurs dénominateurs.

• Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en pensant à simplifier avant de multiplier.

• Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse.

Compléments

• Le produit $\frac{14}{9} \times \frac{12}{35}$ se simplifie en $\frac{8}{15}$.

• Le quotient $\frac{7/4}{3/2}$ se calcule comme $\frac{7}{4} \times \frac{2}{3}$ et vaut $\frac{7}{6}$.