Fiche de révision : Les puissances

📋 Plan du Cours

1. Grandes puissances de dix
2. Petites puissances de dix
3. Notation scientifique
4. Puissances d’un nombre
5. Priorités de calcul
6. Règles de calcul

📖 1. Grandes puissances de dix

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance de dix : Pour un entier n supérieur ou égal à 2, le produit de n facteurs égaux à 10

★ À maîtriser

📐 Formule - Une puissance de dix vérifie $10^n=10\times10\times\cdots\times10$ avec n facteurs ; par convention, $10^0=1$ et $10^1=10$.

Compléments

• Les exemples fondamentaux sont $10^3=1\,000$ et $10^5=100\,000$.

• Les préfixes déca, hecto, kilo, méga et giga correspondent respectivement à da et $10^1=10$, h et $10^2=100$, k et $10^3=1\,000$, M et $10^6=1\,000\,000$, et G et $10^9=1\,000\,000\,000$.

📖 2. Petites puissances de dix

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance négative de dix : Pour un entier strictement positif n, l’inverse de $10^n$

★ À maîtriser

📐 Formule - Une puissance négative de dix vérifie $10^{-n}=\frac{1}{10^n}=\frac{1}{10\times10\times\cdots\times10}$ avec n facteurs.

Compléments

• Les préfixes déci, centi, milli, micro et nano correspondent respectivement à d et $10^{-1}=0{,}1$, c et $10^{-2}=0{,}01$, m et $10^{-3}=0{,}001$, µ et $10^{-6}=0{,}000\,001$, et n et $10^{-9}=0{,}000\,000\,001$.

💡 Astuce mémo

Puissance positive : le nombre grandit ; puissance négative : il devient une fraction.

📖 3. Notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : Exprime un nombre sous la forme $a\times10^n$, avec $1\leq a<10$ et n entier relatif

★ À maîtriser

• Pour écrire un nombre en notation scientifique, on place la virgule après son premier chiffre non nul, puis on ajuste l’exposant de 10 au déplacement effectué.

Compléments

• Les conversions sont $8\,300\,000=8{,}3\times10^6$, $0{,}000\,000\,456=4{,}56\times10^{-7}$ et $0{,}00231=2{,}31\times10^{-3}$.

• Les écritures $147{,}3\times10^5=1{,}473\times10^7$ et $0{,}0125\times10^8=1{,}25\times10^6$ montrent qu’il faut aussi corriger une mantisse qui n’est pas comprise entre 1 et 10.

📖 4. Puissances d’un nombre

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance d’un nombre : Pour un nombre relatif a et un entier n supérieur ou égal à 2, le produit de n facteurs égaux à a

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout nombre a, on convient que $a^0=1$ et $a^1=a$.

📌 Les parenthèses changent le résultat avec un nombre négatif : $(-2)^4=16$, tandis que $-2^4=-16$.

Compléments

• On a $2^5=32$ et $(-3)^4=81$.

💡 Astuce mémo

Avec parenthèses, (−2)⁴ est positif ; sans parenthèses, −2⁴ est négatif.

📖 5. Priorités de calcul

★ À maîtriser

• L’ordre des priorités est:
  • les puissances
  • les multiplications et divisions
  • les additions et soustractions

Compléments

• En appliquant les priorités, $1+3\times2^2=1+3\times4=1+12=13$.

• Le calcul $3{,}5\times10^5+7\times10^4$ donne $350\,000+70\,000=420\,000$.

💡 Astuce mémo

Puissances, puis multiplications et divisions, enfin additions et soustractions.

📖 6. Règles de calcul

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a différent de zéro, $a^0=1$ et $a^1=a$.

📐 Formule - Lorsqu’elles ont la même base, les puissances se multiplient selon $a^m\times a^n=a^{m+n}$, et une puissance d’une puissance vérifie $(a^m)^n=a^{m\times n}$.

📐 Formule - La puissance d’un produit ou d’un quotient vérifie $(ab)^n=a^n\times b^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ avec b différent de zéro.

📐 Formule - Les exposants négatifs vérifient $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ et $a^{-1}=\frac{1}{a}$.

Compléments

• Les règles donnent $3^2\times3^4=3^6$, $(2^3)^2=2^6$ et $(2\times3)^2=2^2\times3^2=4\times9=36$.

• Les exemples d’exposants négatifs sont $2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$ et $3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$.