Fiche de révision : Les racines carrées

📋 Plan du Cours

1. Définition et propriétés fondamentales
2. Encadrer une racine carrée
3. Opérations sur les racines carrées

📖 1. Définition et propriétés fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Carré parfait : Le carré d’un entier
• Racine carrée : Pour tout nombre positif a, la racine carrée de a, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif dont le carré vaut a

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout nombre positif a, $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$.

📌 La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.

• Le carré d’un nombre est toujours positif, par exemple $(-5)^2=25$, et −5 et 5 ont donc le même carré 25.

💡 Astuce mémo

Carré toujours positif, racine carrée toujours positive

📖 2. Encadrer une racine carrée

📝 Points essentiels

• Pour encadrer $\sqrt{47}$ par deux entiers, on utilise les carrés parfaits 36 et 49 qui encadrent 47, puis on prend leurs racines pour obtenir $6<\sqrt{47}<7$.

💡 Astuce mémo

Carrés parfaits → racines → encadrement

📖 3. Opérations sur les racines carrées

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux nombres positifs a et b, le produit des racines carrées vérifie $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{a\times b}$.

📐 Formule — Pour deux nombres positifs a et b, le quotient des racines carrées vérifie $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

📐 Formule — Pour tout nombre a, $\sqrt{a^2}=|a|$, c’est-à-dire la valeur absolue de a.

📌 La somme des racines carrées ne vérifie pas $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$.

Compléments

• Par exemple, $\sqrt{16}+\sqrt{25}=4+5=9$, tandis que $\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\ne9$.

• Pour a égal à −5, $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5=|-5|$.

💡 Astuce mémo

Produit et quotient se regroupent, somme ne se regroupe pas

📊 Tableaux de synthèse

Opérations autorisées sur les racines carrées