QCM : Limite trigonométrique en zéro (3 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle transformation permet de réécrire 1−cos⁡(2x)1-\cos(2x) avant d’évaluer la limite ?

1−cos⁡(2x)=2cos⁡2x1-\cos(2x)=2\cos^2x
1−cos⁡(2x)=2sin⁡2x1-\cos(2x)=2\sin^2x
1−cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x1-\cos(2x)=1-2\sin^2x
1−cos⁡(2x)=sin⁡2(2x)1-\cos(2x)=\sin^2(2x)

$$1-\cos(2x)=2\sin^2x$$

Explication

Les identités trigonométriques donnent cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x)=1-2\sin^2x, donc la soustraction à 1 conduit à 1−cos⁡(2x)=2sin⁡2x1-\cos(2x)=2\sin^2x. L’expression 1−2sin⁡2x1-2\sin^2x représente cos⁡(2x)\cos(2x) lui-même, et non la différence recherchée.

2. Quelle est la valeur de lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(2x)}{x^2} ?

11
12\frac{1}{2}
22
00

$$2$$

Explication

La transformation précédente donne h=2(sin⁡xx)2h=2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2, et la limite remarquable lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 entraîne donc h=2h=2. La valeur 1 concerne le quotient de sinus avant sa mise au carré et sa multiplication par 2.

3. Quelle limite trigonométrique doit-on calculer dans l’étude considérée ?

lim⁡x→01−cos⁡x2x2\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{2x^2}
lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(2x)}{x^2}
lim⁡x→01−cos⁡(2x)2x\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(2x)}{2x}
lim⁡x→0sin⁡(2x)x2\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{x^2}

$$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(2x)}{x^2}$$

Explication

L’expression étudiée est le quotient de 1−cos⁡(2x)1-\cos(2x) par x2x^2 lorsque xx tend vers zéro. Les autres propositions modifient soit l’angle, soit le dénominateur, et correspondent donc à d’autres limites.

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Quelle limite trigonométrique définit hh ?

h=lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2h=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(2x)}{x^2}.

Quelle identité exprime cos⁡(2x)\cos(2x) à l’aide de cos⁡2x\cos^2x et sin⁡2x\sin^2x ?

cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x.

Quelle identité relie cos⁡2x\cos^2x et sin⁡2x\sin^2x ?

cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1.

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