Fiche de révision : Limites de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Voisinages et points adhérents
2. Définition et caractérisations des limites
3. Limites unilatérales et fonctions monotones
4. Limites des fonctions usuelles
5. Propriétés locales des limites
6. Opérations sur les limites
7. Ordre et croissances comparées
8. Théorème des gendarmes

📖 1. Voisinages et points adhérents

🔑 Notions clés & Définitions

• Voisinage d’un réel : Un voisinage de $x_0\in\mathbb R$ est une partie de $\mathbb R$ contenant un intervalle ouvert $]x_0-\delta;x_0+\delta[$ pour un $\delta>0$.
• Point adhérent : Un point réel $x_0$ adhère à $X\subset\mathbb R$ si tout voisinage de $x_0$ rencontre $X$; $+\infty$ ou $-\infty$ adhère à $X$ si tout voisinage correspondant rencontre $X$.
• Limite d’une fonction : La fonction $f:X\to\mathbb R$ admet la limite $\ell\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}$ en $x_0\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}$ si tout voisinage de $\ell$ contient les images par $f$ des points de $X$ suffisamment proches de $x_0$.
• Voisinage de l’infini : Un voisinage de $+\infty$ contient un intervalle $]a;+\infty[$ pour un réel $a$, tandis qu’un voisinage de $-\infty$ contient un intervalle $]-\infty;b[$ pour un réel $b$.
• Adhérence : L’adhérence de $X$, notée $\overline X$, est l’ensemble de ses points réels finis adhérents.

📝 Points essentiels

• Les points adhérents de l’intervalle ouvert $]a,b[$ sont les points de $[a,b]$, et un point adhérent à $X$ n’appartient pas nécessairement à $X$.

• Les rationnels sont denses dans $\mathbb R$, donc tout réel adhère à $\mathbb Q$.

📖 2. Définition et caractérisations des limites

★ À maîtriser

• Lorsqu’elle existe, la limite d’une fonction en un point est unique.

📐 Formule - Pour une limite réelle en un réel, $\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x\in X,\ |x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon.$

📐 Formule - Pour une limite $+\infty$ en un réel, $\forall A\in\mathbb R,\ \exists\delta>0,\ \forall x\in X,\ |x-x_0|<\delta\Rightarrow f(x)>A$; pour une limite $-\infty$, l’inégalité devient $f(x)<A$.

📐 Formule - Pour une limite réelle en $+\infty$, $\forall\varepsilon>0,\ \exists A\in\mathbb R,\ \forall x\in X,\ x>A\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon$; en $-\infty$, la condition devient $x<A$.

Compléments

• Pour une limite infinie à l’infini, $f(x)$ dépasse tout réel $B$ vers $+\infty$ si la limite vaut $+\infty$, et reste inférieur à tout $B$ si elle vaut $-\infty$, avec $x$ suffisamment grand ou suffisamment négatif selon le point considéré.

📐 Formule - Une fonction n’a pas de limite réelle en $x_0$ s’il existe $\varepsilon_0>0$ tel que, dans tout intervalle $]x_0-1/n;x_0+1/n[$, on puisse trouver $x_n,x'_n\in X$ avec $|f(x_n)-f(x'_n)|>\varepsilon_0$.

• Si $f$ est bornée sur les entiers, alors la suite $f(n)/n$ tend vers $0$; en particulier, $1/n$ tend vers $0$.

📖 3. Limites unilatérales et fonctions monotones

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite restreinte : La limite de $f$ en $x_0$ dans une partie $A\subset X$ est la limite de la restriction $f_{|A}$, lorsque $x_0$ adhère à $A$.

★ À maîtriser

📌 Une limite de $f$ en $x_0$ entraîne la même limite dans toute partie $A\subset X$ où $x_0$ adhère, mais la réciproque est fausse.

• Une fonction monotone sur $]a,b[$ admet en tout $x_0\in]a,b[$ des limites à gauche et à droite, réelles ou infinies.

Compléments

• Les limites à gauche et à droite sont des limites prises respectivement sur les points $x<x_0$ et $x>x_0$.

📌 Pour une fonction monotone sur $]a,b[$, la limite à gauche en $b$ et la limite à droite en $a$ sont réelles si et seulement si la fonction est bornée au voisinage du bord considéré.

📐 Formule - Si $f$ est croissante, sa limite à gauche en $x_0$ vaut $\sup\{f(x)\mid x<x_0\}.$

📖 4. Limites des fonctions usuelles

★ À maîtriser

📌 Toute fonction usuelle continue sur son domaine vérifie $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ pour tout $x_0$ de ce domaine.

📐 Formule - La limite classique vérifie $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$

Compléments

• Les polynômes et la fonction exponentielle sont définis sur $\mathbb R$, tandis que le logarithme et les fonctions puissances $x^\alpha=\exp(\alpha\ln x)$ sont définis sur $]0,+\infty[$.

• Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur $\mathbb R$, et la fonction tangente est définie sur $\mathbb R\setminus\{\pi/2+k\pi\mid k\in\mathbb Z\}$.

• Les fonctions arccosinus et arcsinus sont définies sur $[-1{,}1]$, tandis que l’arctangente est définie sur $\mathbb R$.

📖 5. Propriétés locales des limites

★ À maîtriser

📌 La limite de $f$ en $x_0$ vaut $\ell$ si et seulement si ses limites à gauche et à droite existent et valent toutes deux $\ell$.

📌 Si $f$ admet une limite réelle en $x_0$, alors $f$ est bornée sur l’intersection de $X$ avec un voisinage de $x_0$.

Compléments

📌 Si la limite de $f$ en $x_0$ est strictement positive, y compris $+\infty$, alors $f$ est strictement positive dans un voisinage de $x_0$ sur $X$.

📐 Formule - Pour $\ell\in\mathbb R$, $\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\iff\lim_{x\to x_0}|f(x)-\ell|=0.$

📖 6. Opérations sur les limites

📝 Points essentiels

• Si $f\to\ell$ et $g\to\lambda$ et si les limites ne sont pas des infinis de signes opposés, alors $f+g\to\ell+\lambda$.

• Si $f\to\ell$ et $g\to\lambda$ et si au moins une limite est finie non nulle, alors $fg\to\ell\lambda$, avec la règle usuelle des signes.

• Si $f\to\ell$ et $g\to\lambda$ sans que les limites soient simultanément nulles ou simultanément infinies, alors $f/g\to\ell/\lambda$.

• Si $f(x)\to y_0$ en $x_0$ et $g(y)\to\ell$ en $y_0$, alors $g(f(x))\to\ell$ en $x_0$.

📖 7. Ordre et croissances comparées

★ À maîtriser

📌 Si $f\le g$ et si $f$ et $g$ ont des limites réelles $\ell$ et $\lambda$, alors $\ell\le\lambda$.

• À coefficients strictement positifs, les croissances comparées en $+\infty$ suivent l’ordre $e^{\varepsilon x}\gg x^\beta\gg(\ln x)^\gamma\gg(\ln x)^{-\gamma'}\gg x^{-\beta'}\gg e^{-\varepsilon'x}$, où les exposants indiqués sont positifs.

Compléments

📌 Si $f\le g$ et $f\to+\infty$, alors $g\to+\infty$; si $f\le g$ et $g\to-\infty$, alors $f\to-\infty$.

• Pour comparer des croissances lorsque $x\to-\infty$, on se ramène à $+\infty$ par un changement de variable.

• La comparaison des termes dans $\sqrt{e^x\ln(x)x^{-3}-3x^5\ln(x)^2}$ conduit à une limite égale à $+\infty$ lorsque $x\to+\infty$.

📖 8. Théorème des gendarmes

★ À maîtriser

📌 Si $f\le g\le h$ au voisinage de $x_0$ et si $f$ et $h$ tendent vers la même limite $\ell$, alors $g$ tend aussi vers $\ell$.

Compléments

• Lorsque $x\to0$, $x\sin\left(\frac1x\right)\to0.$