QCM : Limites de fonctions (21 questions)

Explication

Toute fonction qui admet une limite réelle en $x_0$ est bornée sur l’intersection de son domaine avec un voisinage de ce point. L’existence d’une limite n’implique pas la continuité ni la constance; être bornée signifie avoir à la fois une borne supérieure et une borne inférieure.

Explication

Lorsqu’elle existe, la limite d’une fonction en un point est unique. Des limites à gauche et à droite peuvent différer, mais elles ne constituent pas plusieurs limites dans une même définition ; les valeurs prises par la fonction ne multiplient pas la limite, et celle-ci n’a pas à être atteinte.

Explication

Par définition, $\overline X$ est l’ensemble des points réels finis adhérents à $X$. L’option qui inclut les infinis élargit cette définition, celle qui la réduit aux points de $X$ confond adhérence et appartenance, et la dernière impose à tort une condition d’appartenance simultanée.

Explication

Une inégalité large entre deux fonctions ayant des limites réelles entraîne la même inégalité entre leurs limites. Inverser l’ordre donne la deuxième réponse; exiger une inégalité stricte confond inégalités larges et strictes; nier toute conservation oublie la règle de passage à la limite.

Explication

La définition exige que, pour chaque précision $\varepsilon>0$ sur les valeurs de la fonction, on puisse choisir un rayon $\delta>0$ sur les entrées garantissant cette précision. L’option inversant les distances échange l’implication, celle avec $|x-x_0|>\delta$ prend le mauvais voisinage, et la dernière lie la précision de sortie à $\delta$ au lieu de $\varepsilon$.

Explication

En posant $u=3x$, on a $u\to0$ et la limite classique $\frac{\sin u}{u}\to1$ s’applique. La limite de $\sin x$ seule vaut zéro; omettre le facteur dans le dénominateur ou inverser le quotient ne respecte pas cette limite classique.

Explication

L’encadrement donne $-|x|\le x\sin(1/x)\le |x|$, et les deux bornes tendent vers $0$; le théorème des gendarmes entraîne donc la limite nulle. L’oscillation du sinus n’empêche pas le produit de tendre vers zéro, et les bornes ne tendent pas vers une valeur non nulle.

Explication

Une limite bilatérale existe si et seulement si les deux limites latérales existent et sont égales. Leur existence ne suffit pas, leur moyenne n’est pas une règle de limite, et la limite à droite ne détermine pas à elle seule la limite bilatérale.

Explication

Une limite sur $X$ entraîne la même limite sur toute partie $A\subset X$ où $x_0$ adhère, car la condition reste vraie lorsqu’on restreint les points considérés. La réciproque est fausse, et l’adhérence de $x_0$ à $A$ est nécessaire pour parler de cette limite en $A$ ; les domaines n’ont pas à être égaux.

Explication

Toute fonction réelle monotone sur $]a,b[$ possède en chaque point intérieur une limite à gauche et une limite à droite, chacune pouvant être réelle ou infinie. La monotonie n’implique pas la continuité ni l’égalité des limites latérales, et le résultat ne requiert pas une monotonie stricte.

Explication

La limite de $f(x)$ est précisément le point $2$ où l’on considère la limite de $g$; la limite de la composition est donc $7$. La valeur intermédiaire $2$ n’est pas la limite de la composition, et ni $g(7)$ ni la somme des limites ne résultent de la règle de composition.

Explication

Un voisinage de $x_0$ doit contenir un intervalle ouvert $]x_0-\delta;x_0+\delta[$ pour un $\delta>0$, sans être nécessairement lui-même un intervalle. L’option du voisinage fermé confond ouvert et fermé, celle qui impose un intervalle entier ajoute une contrainte, et celle avec une extrémité en $x_0$ ne décrit pas un intervalle centré.

Explication

À coefficients strictement positifs, l’exponentielle croissante domine les puissances, qui dominent les logarithmes, tandis que l’exponentielle décroissante est la plus petite de ces fonctions. La deuxième réponse place à tort le logarithme devant la puissance, la troisième fait dominer l’exponentielle décroissante, et la quatrième inverse la comparaison entre exponentielle croissante et puissance.

Explication

Une limite égale à $+\infty$ signifie que, pour tout seuil réel $A$, les valeurs de la fonction deviennent supérieures à $A$ suffisamment près de $x_0$. L’inégalité $f(x)<A$ correspond à une limite vers $-\infty$, tandis que les conditions avec une distance expriment des critères de proximité à une valeur réelle.

Explication

L’adhérence à $+\infty$ exige que tout voisinage de $+\infty$ rencontre $X$ ; un seul voisinage qui ne le rencontre pas suffit à invalider cette propriété. L’option sur la non-bornitude confond un critère global avec le critère de tous les voisinages, celle sur la borne supérieure inverse l’idée, et la dernière confond adhérence et appartenance.

Explication

La somme de deux fonctions tendant vers $+\infty$ tend vers $+\infty$; l’indétermination concerne des limites infinies de signes opposés. La règle du produit ne s’applique pas à une somme, et ces limites ne produisent pas une valeur finie.

Explication

Les limites ne sont pas simultanément nulles ni simultanément infinies; la limite du quotient est donc $\frac{6}{2}=3$. L’inverse donne $\frac{2}{6}$, tandis que $12$ et $4$ proviennent respectivement d’une multiplication et d’une soustraction.

Explication

Une fonction usuelle continue sur son domaine a pour limite en un point de ce domaine sa valeur en ce point, et $\exp(0)=1$. La valeur nulle confond limite et annulation; les infinis ne sont pas les valeurs de l’exponentielle en zéro.

Explication

Un facteur de limite finie non nulle permet d’appliquer la règle du produit, et le produit d’un nombre négatif par une quantité tendant vers $+\infty$ tend vers $-\infty$. Le signe positif inverse les signes; le cas d’un facteur tendant vers zéro est différent, et ici le produit n’est pas indéterminé.

Explication

À $+\infty$, la condition demande un seuil $A$ au-delà duquel toutes les valeurs de la fonction sont à moins de $\varepsilon$ de $\ell$. La condition $x<A$ concerne $-\infty$, celle en $\delta$ porte sur une limite en un point réel, et la dernière impose l’inverse de la proximité recherchée.

Explication

Les deux fonctions qui encadrent $g$ tendent vers $2$, donc le théorème des gendarmes impose à $g$ la même limite. Se fier à une seule borne néglige l’encadrement complet, et exiger que les bornes coïncident près de $0$ méconnaît le théorème.