Limites de fonctions

Qu’est-ce qu’un voisinage de $x_0\in\mathbb R$ ?

Une partie de $\mathbb R$ contenant un intervalle $]x_0-\delta;x_0+\delta[$ pour un $\delta>0$.

Quand un réel $x_0$ adhère-t-il à $X\subset\mathbb R$ ?

Lorsque tout voisinage de $x_0$ rencontre $X$.

Quand $f:X\to\mathbb R$ admet-elle la limite $\ell$ en $x_0$ ?

Lorsque tout voisinage de $\ell$ contient les images des points de $X$ suffisamment proches de $x_0$.

Que peut-on affirmer de deux limites d’une fonction au même point lorsqu’elles existent ?

Elles sont égales.

Quelle condition définit la limite réelle $\ell$ de $f$ en $x_0$ ?

$\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x\in X,\ |x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon.$

Quelle inégalité caractérise la limite $+\infty$ de $f$ en $x_0$ ?

Pour tout $A\in\mathbb R$, $f(x)>A$ dès que $x\in X$ est suffisamment proche de $x_0$.