Fiche de révision : Limites de fonctions et théorèmes

📋 Plan du Cours

1. Limites de quotients et radicaux
2. Composition de fonctions
3. Comparaison et théorème des gendarmes
4. Croissances comparées à l’infini

📖 1. Limites de quotients et radicaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Expressions conjuguées : Les expressions $a+b$ et $a-b$ sont dites conjuguées ; multiplier le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée permet de transformer une expression contenant un radical.

★ À maîtriser

• Pour calculer une limite de quotient, on étudie le signe du dénominateur de part et d’autre du point, puis on applique la règle des signes du quotient.

• Pour $f(x)=\frac{2x+3}{x-2}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$, les limites en 2 sont $-\infty$ à gauche et $+\infty$ à droite.

Compléments

• Pour lever une forme indéterminée dans le calcul d’une limite, on peut factoriser, développer ou écrire l’expression comme une somme.

• Pour $f(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$ sur $]1,+\infty[$, la multiplication par $\sqrt{x}+1$ permet de simplifier par $x-1$ et donne $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}+1}$.

💡 Astuce mémo

Au voisinage de 2, le signe du dénominateur distingue les deux limites latérales ; le conjugué lève l’indétermination.

📖 2. Composition de fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Composée de fonctions : La composée de u par v, notée $v\circ u$, est la fonction définie par $(v\circ u)(x)=v(u(x))$.

★ À maîtriser

📌 Si $\lim_{x\to a}u(x)=b$ et $\lim_{X\to b}v(X)=c$, alors $\lim_{x\to a}v(u(x))=c$.

Compléments

• Pour $f(x)=e^{-x^2+1}$, on a $-x^2+1\to-\infty$ lorsque $x\to+\infty$, donc par composition $f(x)\to0$.

💡 Astuce mémo

D’abord u(x) tend vers b, puis v(X) tend vers c : v(u(x)) tend vers c.

📖 3. Comparaison et théorème des gendarmes

★ À maîtriser

• Si $f(x)\leq g(x)$ sur un intervalle de la forme $]a,+\infty[$ et si $f(x)\to+\infty$, alors $g(x)\to+\infty$.

• Si $f(x)\leq g(x)$ sur $]a,+\infty[$ et si $g(x)\to-\infty$, alors $f(x)\to-\infty$.

• Si $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ et si f et h tendent toutes deux vers le même réel ℓ lorsque $x\to+\infty$, alors $g(x)\to\ell$.

Compléments

• Comme $-1\leq\sin(3x)\leq1$, on a $x-1\leq x+\sin(3x)\leq x+1$ ; par comparaison, $x+\sin(3x)\to-\infty$ lorsque $x\to-\infty$.

💡 Astuce mémo

La fonction g reste coincée entre f et h, qui convergent vers le même ℓ.

📖 4. Croissances comparées à l’infini

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout entier naturel non nul n, $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0$.

Compléments

• En l’infini, l’exponentielle $e^x$ l’emporte sur la puissance $x^n$.

• Pour étudier $f(x)=4e^x-x+3$ à +∞, on factorise par x pour faire apparaître $e^x/x$, qui tend vers +∞, puis on conclut que f tend vers +∞.

• Pour $q(x)=xe^{-x}=1/(e^x/x)$, la croissance comparée donne $q(x)\to0$ lorsque $x\to+\infty$.

💡 Astuce mémo

À l’infini, eˣ l’emporte sur xⁿ.