QCM : Limites de fonctions et théorèmes (8 questions)

Question 1

1. Pour déterminer les limites d’un quotient de part et d’autre d’un point où son dénominateur s’annule, quelle démarche faut-il suivre ?

Remplacer le dénominateur par sa valeur absolue, puis comparer les valeurs du numérateur.

Calculer la dérivée du quotient, puis déduire les limites de son sens de variation.

Étudier uniquement le signe du numérateur, puis appliquer la règle des signes de la somme.

Étudier le signe du dénominateur de chaque côté, puis appliquer la règle des signes du quotient.

Explication

Le signe du dénominateur peut changer de part et d’autre du point, ce qui détermine le signe du quotient avec celui du numérateur. Étudier seulement le numérateur ne suffit pas, car cela ne révèle pas le changement éventuel de signe du dénominateur.

Answer

Étudier le signe du dénominateur de chaque côté, puis appliquer la règle des signes du quotient.

Question 2

2. Pour transformer une expression qui contient une racine carrée à l’aide de son conjugué, quelle paire d’expressions faut-il multiplier au numérateur et au dénominateur ?

Deux expressions de la forme

a+b

et

a-b

, dont le produit élimine les termes croisés.

Deux expressions de la forme

ab

et

a+b

, dont le produit élimine les termes croisés.

Deux expressions de la forme

a-b

et

b-a

, dont le produit élimine les termes croisés.

Deux expressions de la forme

a+b

et

a+b

, dont le produit élimine les termes croisés.

Explication

Les expressions conjuguées sont de la forme $a+b$ et $a-b$ ; leur produit supprime les termes croisés. Deux expressions identiques de la forme $a+b$ ne sont pas conjuguées et ne produisent pas cette annulation.

Answer

Deux expressions de la forme $$a+b$$ et $$a-b$$, dont le produit élimine les termes croisés.

Question 3

3. Si l’on applique d’abord la fonction $u$ , puis la fonction $v$ , quelle expression représente cette composée ?

v\circ u

, définie par

(v\circ u)(x)=u(v(x))

.

u\circ v

, définie par

(u\circ v)(x)=v(u(x))

.

u\circ v

, définie par

(u\circ v)(x)=u(v(x))

.

v\circ u

, définie par

(v\circ u)(x)=v(u(x))

.

Explication

Dans $v\circ u$ , on évalue d’abord $u(x)$ , puis on applique $v$ au résultat. L’expression $u(v(x))$ inverse l’ordre des fonctions et correspond à $u\circ v$ .

Answer

$$v\circ u$$, définie par $$(v\circ u)(x)=v(u(x))$$.

Question 4

4. On sait que $\lim_{x\to a}u(x)=b$ et que $\lim_{X\to b}v(X)=c$ ; quelle limite obtient-on pour la composée lorsque $x\to a$ ?

\lim_{x\to a}v(u(x))=c

.

\lim_{x\to a}v(u(x))=a

.

\lim_{x\to a}v(u(x))=u(c)

.

\lim_{x\to a}v(u(x))=b

.

Explication

La fonction intérieure $u(x)$ tend vers $b$ , puis la limite de $v$ au voisinage de $b$ vaut $c$ ; la composée tend donc vers $c$ . La valeur $b$ est la limite de la fonction intérieure, pas celle de la composée.

Answer

$$\lim_{x\to a}v(u(x))=c$$.

Question 5

5. Que garantit le théorème des gendarmes lorsque $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ et que $f$ et $h$ tendent vers le même réel $\ell$ lorsque $x\to+\infty$ ?

La fonction

g

tend vers

\ell

lorsque

x\to+\infty

.

La fonction

g

tend vers

-\infty

lorsque

x\to+\infty

.

La fonction

g

reste bornée sans nécessairement converger lorsque

x\to+\infty

.

La fonction

g

tend vers

+\infty

lorsque

x\to+\infty

.

Explication

Encadrée par deux fonctions qui convergent vers le même réel, $g$ converge vers ce réel par le théorème des gendarmes. Le fait que $g$ soit encadrée n’implique pas qu’elle soit simplement bornée sans limite, puisque les deux bornes ont ici une limite commune.

Answer

La fonction $$g$$ tend vers $$\ell$$ lorsque $$x\to+\infty$$.

Question 6

6. Pour $q(x)=xe^{-x}$ , quelle limite obtient-on lorsque $x\to+\infty$ en écrivant $q(x)=\frac{1}{e^x/x}$ ?

La limite est

+\infty

, car le facteur

x

tend vers

+\infty

.

La limite est

1

, car l’exponentielle domine le facteur polynomial.

La limite est

-\infty

, car l’exposant

-x

tend vers

-\infty

.

La limite est

0

, car

e^x/x

tend vers

+\infty

.

Explication

Comme $e^x/x$ tend vers $+\infty$ , son inverse tend vers $0$ . Le fait que $x$ croisse ne rend pas le produit divergent, puisque l’exponentielle au dénominateur l’emporte.

Answer

La limite est $$0$$, car $$e^x/x$$ tend vers $$+\infty$$.

Question 7

7. Quel est le rôle de la multiplication par l’expression conjuguée dans le calcul d’une limite contenant un radical ?

Remplacer directement la limite du quotient par celle de son numérateur

Transformer l’expression afin de simplifier le radical et lever une forme indéterminée

Établir que le numérateur et le dénominateur ont la même limite

Déterminer le signe du dénominateur de part et d’autre du point étudié

Explication

La multiplication par le conjugué transforme l’expression contenant le radical et peut permettre une simplification qui lève une forme indéterminée. L’étude du signe du dénominateur sert plutôt à déterminer les limites latérales d’un quotient.

Answer

Transformer l’expression afin de simplifier le radical et lever une forme indéterminée

Question 8

8. Quelle différence distingue la limite de la composée $v(u(x))$ de la limite de la fonction intérieure $u(x)$ lorsque $x\to a$ , si $u(x)\to b$ et $v(X)\to c$ lorsque $X\to b$ ?

La composée tend vers

c

, tandis que la fonction intérieure tend vers

b

.

La composée n’a pas de limite déterminée, même si les deux limites indiquées existent.

La composée tend vers

b

, tandis que la fonction intérieure tend vers

c

.

Les deux fonctions tendent vers

b

, car la limite de la fonction extérieure ne modifie pas celle de l’intérieur.

Explication

La fonction intérieure rapproche son image de $b$ , puis la fonction extérieure transforme cette proximité en une limite égale à $c$ . La valeur $b$ est la limite de l’expression intérieure, et non celle de la composée sauf si $c=b$ .

Answer

La composée tend vers $$c$$, tandis que la fonction intérieure tend vers $$b$$.

QCM : Limites de fonctions et théorèmes (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour déterminer les limites d’un quotient de part et d’autre d’un point où son dénominateur s’annule, quelle démarche faut-il suivre ?

2. Pour transformer une expression qui contient une racine carrée à l’aide de son conjugué, quelle paire d’expressions faut-il multiplier au numérateur et au dénominateur ?

3. Si l’on applique d’abord la fonction $u$ , puis la fonction $v$ , quelle expression représente cette composée ?

4. On sait que $\lim_{x\to a}u(x)=b$ et que $\lim_{X\to b}v(X)=c$ ; quelle limite obtient-on pour la composée lorsque $x\to a$ ?

5. Que garantit le théorème des gendarmes lorsque $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ et que $f$ et $h$ tendent vers le même réel $\ell$ lorsque $x\to+\infty$ ?

6. Pour $q(x)=xe^{-x}$ , quelle limite obtient-on lorsque $x\to+\infty$ en écrivant $q(x)=\frac{1}{e^x/x}$ ?

7. Quel est le rôle de la multiplication par l’expression conjuguée dans le calcul d’une limite contenant un radical ?

8. Quelle différence distingue la limite de la composée $v(u(x))$ de la limite de la fonction intérieure $u(x)$ lorsque $x\to a$ , si $u(x)\to b$ et $v(X)\to c$ lorsque $X\to b$ ?

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QCM : Limites de fonctions et théorèmes (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour déterminer les limites d’un quotient de part et d’autre d’un point où son dénominateur s’annule, quelle démarche faut-il suivre ?

2. Pour transformer une expression qui contient une racine carrée à l’aide de son conjugué, quelle paire d’expressions faut-il multiplier au numérateur et au dénominateur ?

3. Si l’on applique d’abord la fonction uuu, puis la fonction vvv, quelle expression représente cette composée ?

4. On sait que lim⁡x→au(x)=b\lim_{x\to a}u(x)=blimx→a​u(x)=b et que lim⁡X→bv(X)=c\lim_{X\to b}v(X)=climX→b​v(X)=c ; quelle limite obtient-on pour la composée lorsque x→ax\to ax→a ?

5. Que garantit le théorème des gendarmes lorsque f(x)≤g(x)≤h(x)f(x)\leq g(x)\leq h(x)f(x)≤g(x)≤h(x) et que fff et hhh tendent vers le même réel ℓ\ellℓ lorsque x→+∞x\to+\inftyx→+∞ ?

6. Pour q(x)=xe−xq(x)=xe^{-x}q(x)=xe−x, quelle limite obtient-on lorsque x→+∞x\to+\inftyx→+∞ en écrivant q(x)=1ex/xq(x)=\frac{1}{e^x/x}q(x)=ex/x1​ ?

7. Quel est le rôle de la multiplication par l’expression conjuguée dans le calcul d’une limite contenant un radical ?

8. Quelle différence distingue la limite de la composée v(u(x))v(u(x))v(u(x)) de la limite de la fonction intérieure u(x)u(x)u(x) lorsque x→ax\to ax→a, si u(x)→bu(x)\to bu(x)→b et v(X)→cv(X)\to cv(X)→c lorsque X→bX\to bX→b ?

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3. Si l’on applique d’abord la fonction $u$ , puis la fonction $v$ , quelle expression représente cette composée ?

4. On sait que $\lim_{x\to a}u(x)=b$ et que $\lim_{X\to b}v(X)=c$ ; quelle limite obtient-on pour la composée lorsque $x\to a$ ?

5. Que garantit le théorème des gendarmes lorsque $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ et que $f$ et $h$ tendent vers le même réel $\ell$ lorsque $x\to+\infty$ ?

6. Pour $q(x)=xe^{-x}$ , quelle limite obtient-on lorsque $x\to+\infty$ en écrivant $q(x)=\frac{1}{e^x/x}$ ?

8. Quelle différence distingue la limite de la composée $v(u(x))$ de la limite de la fonction intérieure $u(x)$ lorsque $x\to a$ , si $u(x)\to b$ et $v(X)\to c$ lorsque $X\to b$ ?