Fiche de révision : Limites d’une fonction

📋 Plan du Cours

1. Définitions des limites
2. Asymptotes horizontales et verticales
3. Limites usuelles
4. Opérations sur les limites
5. Composition et comparaison
6. Croissances comparées
7. Méthodes de calcul des limites

📖 1. Définitions des limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie en l’infini : Une fonction f tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ si f(x) devient aussi grand que l’on veut pour x suffisamment grand.
• Limite en un réel : Une fonction tend vers l lorsque x tend vers c si ses limites à gauche et à droite en c valent toutes deux l.
• Limite latérale : La limite à droite en a étudie les valeurs de f(x) lorsque x se rapproche de a en restant supérieur à a, tandis que la limite à gauche reste inférieur à a.

📖 2. Asymptotes horizontales et verticales

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote horizontale : La droite d’équation y=l est une asymptote horizontale à la courbe de f si f(x) tend vers l lorsque x tend vers +∞ ou −∞.
• Asymptote verticale : La droite d’équation x=c est une asymptote verticale à la courbe de f si f(x) tend vers +∞ ou −∞ lorsque x tend vers c, éventuellement d’un seul côté.

📝 Points essentiels

• Pour déterminer une asymptote horizontale, on calcule les limites de la fonction lorsque x tend vers +∞ ou −∞ ; pour une asymptote verticale, on calcule les limites aux valeurs interdites.

💡 Astuce mémo

Horizontale : x part vers l’infini ; verticale : x se rapproche d’une valeur finie.

📖 3. Limites usuelles

★ À maîtriser

• Lorsque x tend vers −∞, x^n tend vers −∞ si n est impair et vers +∞ si n est pair.

• Lorsque x tend vers 0 par valeurs négatives, 1/x tend vers −∞ ; lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, 1/x tend vers +∞.

Compléments

• Lorsque x tend vers +∞, e^x tend vers +∞ ; lorsque x tend vers −∞, e^x tend vers 0.

📖 4. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

• La limite d’une somme est la somme des limites lorsque les règles d’opérations s’appliquent ; les formes +∞−∞ et −∞+∞ sont indéterminées.

• La limite d’un produit de limites finies est leur produit ; pour un produit faisant intervenir l’infini, le signe de la limite se détermine avec la règle des signes, sauf dans les formes indéterminées 0×∞ et ∞×0.

• Pour un quotient, les règles d’opérations s’appliquent lorsque la limite du dénominateur est non nulle ; les formes 0/0 et ∞/∞ sont indéterminées.

Compléments

• Une forme indéterminée n’implique pas que la limite n’existe pas : elle signifie seulement que les opérations sur les limites ne permettent pas de la calculer directement.

📖 5. Composition et comparaison

★ À maîtriser

📌 Si f(x) tend vers b lorsque x tend vers a et si g(X) tend vers c lorsque X tend vers b, alors g(f(x)) tend vers c lorsque x tend vers a.

📌 Si g(x)≤f(x)≤h(x) au voisinage de +∞ et si g et h tendent toutes deux vers l, alors f(x) tend vers l.

Compléments

• Pour calculer la limite de 1+x² lorsque x tend vers −∞, on pose X=1+x² ; comme X tend vers +∞ et que la limite de X lorsque X tend vers +∞ vaut +∞, la limite cherchée vaut +∞.

📌 Si f(x)≥g(x) au voisinage de +∞ et si g(x) tend vers +∞, alors f(x) tend vers +∞.

• Pour tout réel x, −1≤sin x≤1 et −1≤cos x≤1.

💡 Astuce mémo

La fonction composée passe par une valeur intermédiaire X ; le théorème des gendarmes encadre une fonction entre deux autres.

📖 6. Croissances comparées

★ À maîtriser

• Pour tout entier naturel n, la limite de x^n/e^x lorsque x tend vers +∞ vaut 0.

Compléments

• En +∞, l’exponentielle croît plus vite que toute puissance de x.

• Pour calculer la limite de e^(−2x) lorsque x tend vers +∞, on pose X=−x ; alors X tend vers −∞ et e^(2X) tend vers 0, donc e^(−2x) tend vers 0.

💡 Astuce mémo

En +∞, l’exponentielle dépasse les puissances ; en −∞, son inverse tend vers zéro.

📖 7. Méthodes de calcul des limites

📝 Points essentiels

• Pour lever une forme indéterminée, on peut factoriser par le terme de plus haut degré dans les formes ∞/∞ ou ∞−∞, multiplier par l’expression conjuguée dans les expressions avec racines, ou utiliser le nombre dérivé dans la forme 0/0 appropriée.

• Pour calculer une limite de type k/0, on étudie séparément les limites à gauche et à droite en déterminant le signe du dénominateur au voisinage de la valeur interdite ; ce signe fixe si la limite vaut +∞ ou −∞.

📌 Si l’expression se met sous la forme (f(x)−f(a))/(x−a) lorsque x tend vers a, sa limite vaut f′(a).