Fiche de révision : Limites d’une fonction

📋 Plan du Cours

1. Définitions des limites et asymptotes
2. Limites usuelles
3. Opérations sur les limites
4. Composition et théorèmes de comparaison
5. Croissances comparées
6. Méthodes de calcul des limites

📖 1. Définitions des limites et asymptotes

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie à l’infini : La limite de f(x) est +∞ lorsque x tend vers +∞ si f(x) devient aussi grand que l’on veut pour x suffisamment grand.
• Asymptote horizontale : La droite d’équation y = l est une asymptote horizontale à la courbe de f si f(x) tend vers l lorsque x tend vers +∞ ou vers −∞.
• Asymptote verticale : La droite d’équation x = a est une asymptote verticale à la courbe de f si f(x) tend vers +∞ ou −∞ lorsque x tend vers a, éventuellement par valeurs supérieures ou inférieures.
• Limite en un réel : La limite de f(x) est l lorsque x tend vers a par valeurs supérieures si f(x) se rapproche de l lorsque x se rapproche de a en restant supérieur à a.

💡 Astuce mémo

À l’infini, l’abscisse s’éloigne ; près d’un réel, elle s’en approche.

📖 2. Limites usuelles

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout entier n > 1, $\lim_{x\to +\infty} x^n=+\infty$.

📐 Formule - La fonction exponentielle vérifie $\lim_{x\to +\infty} e^x=+\infty$ et $\lim_{x\to -\infty} e^x=0$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout entier n > 1, $\lim_{x\to -\infty} x^n=+\infty$ si n est pair et $\lim_{x\to -\infty} x^n=-\infty$ si n est impair.

📐 Formule - La limite de $\frac{1}{x}$ est −∞ lorsque x tend vers 0 par valeurs inférieures et +∞ lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures.

📖 3. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

• La limite d’une somme se calcule en additionnant les limites lorsque les règles d’opérations s’appliquent ; les formes +∞ − ∞ et −∞ + ∞ sont indéterminées.

• La limite d’un produit se calcule en multipliant les limites lorsque les règles d’opérations s’appliquent ; les formes 0 × ∞ et ∞ × 0 sont indéterminées.

• La limite d’un quotient se calcule à partir des limites du numérateur et du dénominateur lorsque les règles d’opérations s’appliquent ; les formes 0/0 et ∞/∞ sont indéterminées.

Compléments

• Pour lever une forme indéterminée, on transforme l’expression, notamment en simplifiant une fraction, avant de recalculer sa limite.

📖 4. Composition et théorèmes de comparaison

★ À maîtriser

📌 Si f(x) tend vers b et si g(X) tend vers c lorsque X tend vers b, alors g(f(x)) tend vers c.

📌 Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et si g(x) et h(x) tendent vers le même réel l, alors f(x) tend vers l.

Compléments

📌 Si f(x) ≥ g(x) sur un intervalle de la forme [a ; +∞[ et si g(x) tend vers +∞, alors f(x) tend vers +∞.

💡 Astuce mémo

Dans le théorème des gendarmes, deux fonctions encadrent une troisième et la conduisent vers la même limite.

📖 5. Croissances comparées

★ À maîtriser

📌 Pour tout entier naturel n, $\lim_{x\to +\infty}\frac{x^n}{e^x}=0$.

Compléments

• Pour calculer $\lim_{x\to +\infty}e^{-2x}$, le changement de variable X = −x donne X → −∞ et permet d’utiliser la limite de l’exponentielle en −∞.

💡 Astuce mémo

À +∞, l’exponentielle l’emporte sur la puissance ; à −∞, elle s’efface devant elle.

📖 6. Méthodes de calcul des limites

★ À maîtriser

• Pour lever une forme indéterminée, on choisit une transformation selon sa forme : factoriser par le terme de plus haut degré pour ∞/∞ ou ∞ − ∞, utiliser l’expression conjuguée pour les racines, ou reconnaître un nombre dérivé pour 0/0.

• Pour déterminer une limite de type k/0, on étudie séparément les limites à gauche et à droite en examinant le signe du dénominateur au voisinage de la valeur interdite.

📌 Lorsque le quotient $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ tend vers la forme 0/0, sa limite vaut f′(a) si f est dérivable en a.

Compléments

• Pour déterminer une asymptote horizontale, on calcule la limite de la fonction à l’infini ; pour déterminer une asymptote verticale, on calcule ses limites aux valeurs interdites.