QCM : Limites d’une fonction (10 questions)

Question 1

1. Pour une fonction définie pour les grandes valeurs de $x$ , quelle condition signifie que $f(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

La valeur de

f(x)

se rapproche d’un nombre réel lorsque

x

est suffisamment grand.

La valeur de

f(x)

devient aussi négative que l’on veut lorsque

x

est suffisamment grand.

La valeur de

f(x)

augmente à chaque étape lorsque

x

est suffisamment grand.

Pour toute borne choisie,

f(x)

finit par la dépasser lorsque

x

est suffisamment grand.

Explication

Tendre vers $+\infty$ signifie que $f(x)$ devient plus grande que toute borne fixée dès que $x$ est suffisamment grand. Se rapprocher d’un réel décrit une limite finie, devenir très négative correspond à $-\infty$ , et une croissance monotone n’est pas requise.

Answer

Pour toute borne choisie, $$f(x)$$ finit par la dépasser lorsque $$x$$ est suffisamment grand.

Question 2

2. Près de $x=4$ , une fonction tend vers $-\infty$ quand $x$ s’approche de 4 par la gauche et vers $+\infty$ quand $x$ s’en approche par la droite. Quelle droite est une asymptote verticale à sa courbe ?

La droite d’équation

x=-4

.

La droite d’équation

x=4

.

La droite d’équation

y=4

.

La droite d’équation

y=-4

.

Explication

Une asymptote verticale a une équation de la forme $x=a$ lorsque la fonction tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ à l’approche de $a$ , d’un côté ou des deux. Une droite $y=4$ ou $y=-4$ est horizontale, tandis que $x=-4$ ne correspond pas à la valeur approchée.

Answer

La droite d’équation $$x=4$$.

Question 3

3. Pour un entier $n>1$ , quelle limite obtient-on lorsque $x$ tend vers $+\infty$ dans l’expression $x^n$ ?

Une limite finie dépendant de

n

-\infty

0

+\infty

Explication

Pour tout entier $n>1$ , une puissance $x^n$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ . La limite n’est donc ni celle de $1/x$ , ni une valeur négative ou finie.

Answer

$$+\infty$$

Question 4

4. Une quantité est modélisée par $e^x$ . Que devient-elle lorsque la variable $x$ décroît sans borne vers $-\infty$ ?

Elle tend vers

+\infty

.

Elle tend vers

0

.

Elle tend vers

1

.

Elle tend vers

-\infty

.

Explication

La fonction exponentielle tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ , alors qu’elle tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ . Elle ne suit pas le comportement d’une puissance paire et ne diverge pas vers une valeur négative.

Answer

Elle tend vers $$0$$.

Question 5

5. Que signifie qu’une limite de somme est une forme indéterminée de type $+\infty-\infty$ ?

La somme n’a pas de limite parce que ses deux termes divergent vers des infinis opposés.

La limite de la somme vaut

+\infty

, car le premier terme domine le second.

La limite de la somme vaut nécessairement zéro, car les termes se compensent.

Les limites des termes ne suffisent pas à déterminer celle de leur somme sans transformation supplémentaire.

Explication

Cette forme est dite indéterminée parce que les limites des deux termes ne permettent pas, à elles seules, de connaître la limite de leur somme. Contrairement à l’idée d’une compensation automatique, le résultat dépend de la manière dont chaque terme diverge.

Answer

Les limites des termes ne suffisent pas à déterminer celle de leur somme sans transformation supplémentaire.

Question 6

6. Si $f(x)$ tend vers $b$ et si $g(X)$ tend vers $c$ lorsque $X$ tend vers $b$ , vers quelle valeur tend $g(f(x))$ ?

Vers

f(c)

Vers

c

Vers

b

La limite ne peut pas être déterminée sans connaître la valeur de

g(b)

Explication

La composition des limites donne $g(f(x))\to c$ lorsque $f(x)\to b$ et que $g(X)\to c$ en $b$ . La valeur de $g(b)$ n’est pas nécessaire pour appliquer ce résultat, contrairement à ce que suggère le distracteur.

Answer

Vers $$c$$

Question 7

7. Quel rôle joue la limite $\lim_{x\to +\infty}\frac{x^n}{e^x}=0$ dans la comparaison entre une puissance et une exponentielle ?

Elle indique que la puissance et l’exponentielle croissent à la même vitesse lorsque

x

tend vers

+\infty

.

Elle établit que le quotient entre la puissance et l’exponentielle tend vers

+\infty

lorsque

x

tend vers

+\infty

.

Elle montre que l’exponentielle croît plus vite que toute puissance lorsque

x

tend vers

+\infty

.

Elle montre que toute puissance croît plus vite que l’exponentielle lorsque

x

tend vers

+\infty

.

Explication

Le quotient tend vers zéro, ce qui signifie que la puissance devient négligeable devant l’exponentielle à l’infini. La croissance de la puissance ne domine donc pas celle de l’exponentielle.

Answer

Elle montre que l’exponentielle croît plus vite que toute puissance lorsque $$x$$ tend vers $$+\infty$$.

Question 8

8. En quoi la méthode de factorisation par le terme de plus haut degré diffère-t-elle de l’utilisation de l’expression conjuguée pour lever une forme indéterminée ?

La factorisation sert à analyser le signe d’un dénominateur près d’une valeur interdite, tandis que l’expression conjuguée reconnaît un nombre dérivé.

La factorisation s’applique aux formes

0/0

en identifiant une dérivée, tandis que l’expression conjuguée traite les quotients de limites infinies.

La factorisation détermine les limites à gauche et à droite, tandis que l’expression conjuguée calcule les limites à l’infini.

La factorisation convient notamment aux formes

\infty/\infty

ou

\infty-\infty

, tandis que l’expression conjuguée sert à transformer des expressions comportant des racines.

Explication

La factorisation par le terme de plus haut degré est recommandée notamment pour les formes $\infty/\infty$ ou $\infty-\infty$ , alors que le conjugué permet de transformer des expressions avec des racines. L’étude du signe du dénominateur près d’une valeur interdite répond plutôt au calcul d’une limite de type $k/0$ .

Answer

La factorisation convient notamment aux formes $$\infty/\infty$$ ou $$\infty-\infty$$, tandis que l’expression conjuguée sert à transformer des expressions comportant des racines.

Question 9

9. Si $f(x)$ tend vers le réel $\ell$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ , quelle conséquence cela a-t-il pour la courbe de $f$ ?

La courbe tend vers une asymptote horizontale d’équation

x=\ell

.

La droite d’équation

x=\ell

est une asymptote verticale à la courbe.

La courbe possède une asymptote verticale dès que

x

tend vers

-\infty

.

La droite d’équation

y=\ell

est une asymptote horizontale à la courbe.

Explication

Une limite finie lorsque l’abscisse tend vers $-\infty$ entraîne que la droite horizontale d’équation $y=\ell$ est une asymptote. Une asymptote verticale correspond plutôt à une limite infinie lorsque $x$ tend vers un réel.

Answer

La droite d’équation $$y=\ell$$ est une asymptote horizontale à la courbe.

Question 10

10. Pour déterminer le comportement de $\frac{1}{x}$ au voisinage de zéro, quelles limites unilatérales faut-il utiliser ?

Elle tend vers

+\infty

à gauche de zéro et vers

-\infty

à droite.

Elle tend vers

+\infty

des deux côtés de zéro.

Elle tend vers

-\infty

à gauche de zéro et vers

+\infty

à droite.

Elle tend vers zéro des deux côtés de zéro.

Explication

Quand $x$ approche zéro par valeurs négatives, $\frac{1}{x}$ devient très négatif ; par valeurs positives, il devient très positif. L’inversion des signes entre les deux côtés est essentielle : la fonction ne tend pas vers la même infinité des deux côtés.

Answer

Elle tend vers $$-\infty$$ à gauche de zéro et vers $$+\infty$$ à droite.

QCM : Limites d’une fonction (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction définie pour les grandes valeurs de $x$ , quelle condition signifie que $f(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

2. Près de $x=4$ , une fonction tend vers $-\infty$ quand $x$ s’approche de 4 par la gauche et vers $+\infty$ quand $x$ s’en approche par la droite. Quelle droite est une asymptote verticale à sa courbe ?

3. Pour un entier $n>1$ , quelle limite obtient-on lorsque $x$ tend vers $+\infty$ dans l’expression $x^n$ ?

4. Une quantité est modélisée par $e^x$ . Que devient-elle lorsque la variable $x$ décroît sans borne vers $-\infty$ ?

5. Que signifie qu’une limite de somme est une forme indéterminée de type $+\infty-\infty$ ?

6. Si $f(x)$ tend vers $b$ et si $g(X)$ tend vers $c$ lorsque $X$ tend vers $b$ , vers quelle valeur tend $g(f(x))$ ?

7. Quel rôle joue la limite $\lim_{x\to +\infty}\frac{x^n}{e^x}=0$ dans la comparaison entre une puissance et une exponentielle ?

8. En quoi la méthode de factorisation par le terme de plus haut degré diffère-t-elle de l’utilisation de l’expression conjuguée pour lever une forme indéterminée ?

9. Si $f(x)$ tend vers le réel $\ell$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ , quelle conséquence cela a-t-il pour la courbe de $f$ ?

10. Pour déterminer le comportement de $\frac{1}{x}$ au voisinage de zéro, quelles limites unilatérales faut-il utiliser ?

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QCM : Limites d’une fonction (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction définie pour les grandes valeurs de xxx, quelle condition signifie que f(x)f(x)f(x) tend vers +∞+\infty+∞ lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞ ?

2. Près de x=4x=4x=4, une fonction tend vers −∞-\infty−∞ quand xxx s’approche de 4 par la gauche et vers +∞+\infty+∞ quand xxx s’en approche par la droite. Quelle droite est une asymptote verticale à sa courbe ?

3. Pour un entier n>1n>1n>1, quelle limite obtient-on lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞ dans l’expression xnx^nxn ?

4. Une quantité est modélisée par exe^xex. Que devient-elle lorsque la variable xxx décroît sans borne vers −∞-\infty−∞ ?

5. Que signifie qu’une limite de somme est une forme indéterminée de type +∞−∞+\infty-\infty+∞−∞ ?

6. Si f(x)f(x)f(x) tend vers bbb et si g(X)g(X)g(X) tend vers ccc lorsque XXX tend vers bbb, vers quelle valeur tend g(f(x))g(f(x))g(f(x)) ?

7. Quel rôle joue la limite lim⁡x→+∞xnex=0\lim_{x\to +\infty}\frac{x^n}{e^x}=0limx→+∞​exxn​=0 dans la comparaison entre une puissance et une exponentielle ?

8. En quoi la méthode de factorisation par le terme de plus haut degré diffère-t-elle de l’utilisation de l’expression conjuguée pour lever une forme indéterminée ?

9. Si f(x)f(x)f(x) tend vers le réel ℓ\ellℓ lorsque xxx tend vers −∞-\infty−∞, quelle conséquence cela a-t-il pour la courbe de fff ?

10. Pour déterminer le comportement de 1x\frac{1}{x}x1​ au voisinage de zéro, quelles limites unilatérales faut-il utiliser ?

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2. Près de $x=4$ , une fonction tend vers $-\infty$ quand $x$ s’approche de 4 par la gauche et vers $+\infty$ quand $x$ s’en approche par la droite. Quelle droite est une asymptote verticale à sa courbe ?

3. Pour un entier $n>1$ , quelle limite obtient-on lorsque $x$ tend vers $+\infty$ dans l’expression $x^n$ ?

4. Une quantité est modélisée par $e^x$ . Que devient-elle lorsque la variable $x$ décroît sans borne vers $-\infty$ ?

5. Que signifie qu’une limite de somme est une forme indéterminée de type $+\infty-\infty$ ?

6. Si $f(x)$ tend vers $b$ et si $g(X)$ tend vers $c$ lorsque $X$ tend vers $b$ , vers quelle valeur tend $g(f(x))$ ?

7. Quel rôle joue la limite $\lim_{x\to +\infty}\frac{x^n}{e^x}=0$ dans la comparaison entre une puissance et une exponentielle ?

9. Si $f(x)$ tend vers le réel $\ell$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ , quelle conséquence cela a-t-il pour la courbe de $f$ ?

10. Pour déterminer le comportement de $\frac{1}{x}$ au voisinage de zéro, quelles limites unilatérales faut-il utiliser ?