QCM : Limites de fonctions (14 questions)

Question 1

1. Que décrit la limite d’une fonction lorsque la variable s’approche d’un point ou tend vers l’infini ?

Le sens dans lequel les valeurs de la fonction varient

Le comportement des valeurs de la fonction

L’ensemble des valeurs prises par la variable

La valeur exacte de la fonction au point considéré

Explication

La limite décrit le comportement des valeurs de la fonction lorsque la variable se rapproche d’un point ou tend vers l’infini. La valeur exacte au point concerne l’image, le domaine concerne les valeurs admissibles de la variable, et le sens de variation est une autre propriété.

Answer

Le comportement des valeurs de la fonction

Question 2

2. Près d’un réel a, comment distinguer une limite finie égale à L d’une limite infinie égale à +∞ ?

Dans le premier cas, x approche L ; dans le second, f(x) approche un réel fixe

Dans le premier cas, f(x) approche L ; dans le second, f(x) devient aussi grand que voulu

Dans le premier cas, f(x) atteint L ; dans le second, x devient aussi grand que voulu

Dans le premier cas, f(x) devient aussi grand que voulu ; dans le second, f(x) approche L

Explication

Une limite finie signifie que f(x) peut être rendue aussi proche que voulu de L, tandis qu’une limite égale à +∞ signifie que f(x) peut être rendue aussi grande que voulu. Atteindre L confond limite et valeur, et faire tendre x vers l’infini ne définit pas ici le comportement de f(x) près de a.

Answer

Dans le premier cas, f(x) approche L ; dans le second, f(x) devient aussi grand que voulu

Question 3

3. Pour étudier les limites latérales d’une fonction en a, que désignent respectivement les notations $x\to a^-$ et $x\to a^+$ ?

L’approche de a par des valeurs inférieures, puis supérieures

Des valeurs de f(x) négatives, puis des valeurs positives

L’approche de a par des valeurs supérieures, puis inférieures

L’approche de −∞, puis celle de +∞

Explication

La notation $x\to a^-$ correspond à une approche de a par des valeurs inférieures, et $x\to a^+$ à une approche par des valeurs supérieures. Inverser les côtés confond les signes, tandis que les limites à l’infini et le signe de f(x) sont d’autres notions.

Answer

L’approche de a par des valeurs inférieures, puis supérieures

Question 4

4. Une fonction g a pour limite à gauche en b le réel 3 et pour limite à droite en b le réel 3. Que peut-on conclure sur la limite de g en b ?

On ne peut conclure que si g(b) vaut aussi 3

La limite de g en b existe mais ne peut pas valoir 3

La limite de g en b n’existe pas car les côtés sont distincts

La limite de g en b existe et vaut 3

Explication

La limite en b existe lorsque les deux limites latérales existent et sont égales ; ici, elles valent toutes deux 3. Des valeurs de g différentes de chaque côté n’empêchent pas cette conclusion, et l’égalité de g(b) à 3 n’est pas requise.

Answer

La limite de g en b existe et vaut 3

Question 5

5. Lorsque $x$ tend vers $2$ , on sait que $f(x)$ tend vers $3$ et que $g(x)$ tend vers $-4$ . Vers quelle valeur tend $f(x)+g(x)$ ?

7

-1

-12

1

Explication

Lorsque les deux limites sont réelles, la limite de la somme est leur somme : $3+(-4)=-1$ . $-12$ vient de la règle du produit, $7$ de la somme des valeurs absolues et $1$ d’une soustraction inversée.

Answer

$$0\times(+\infty)$$

Answer

Conclure que ce résultat est la limite

Answer

Factoriser par la plus haute puissance de $$x$$

Answer

$$-\infty$$

Answer

$$\frac{7}{4}$$

Answer

$$\ln(x)$$ croît moins vite que $$x^4$$, qui croît moins vite que $$e^x$$.

Answer

Elle n’est pas continue en $$a$$.

Question 6

6. Parmi les situations suivantes, laquelle est une forme indéterminée au programme ?

0\times(+\infty)

\frac{+\infty}{-3}

5+(+\infty)

(-\infty)+(-\infty)

Explication

Le produit d’une quantité tendant vers zéro par une quantité tendant vers l’infini est une forme indéterminée. Une somme d’un réel et de $+\infty$ , un quotient par un réel non nul et la somme de deux limites égales à $-\infty$ sont des cas déterminés.

Question 7

7. En substituant la valeur visée dans une expression, Lina obtient un réel défini, sans forme indéterminée. Quelle étape doit-elle suivre ?

Conclure que ce résultat est la limite

Mettre les termes au même dénominateur

Factoriser le numérateur et le dénominateur

Recommencer la substitution après une simplification

Explication

La méthode consiste à substituer d’abord la valeur visée et à s’arrêter si le résultat est déterminé. Factoriser ou mettre au même dénominateur correspond à des techniques de levée d’indétermination, tandis qu’une nouvelle substitution intervient après simplification.

Question 8

8. Pour $x\to+\infty$ , une fraction rationnelle donne une forme $\frac{\infty}{\infty}$ . Quelle transformation convient pour comparer les termes dominants ?

Factoriser séparément autour d’une racine évidente

Factoriser par la plus petite puissance de

x

Mettre les deux termes au même dénominateur

Factoriser par la plus haute puissance de

x

Explication

Pour une forme $\frac{\infty}{\infty}$ issue d’une fraction rationnelle, on factorise par la plus haute puissance de $x$ afin de faire apparaître les termes dominants. La racine évidente sert notamment aux formes $0/0$ , la mise au même dénominateur traite une différence de type $+\infty-\infty$ , et la plus petite puissance ne révèle pas le terme dominant.

Question 9

9. Quand $x$ tend vers $-\infty$ , vers quoi tend le polynôme $P(x)=4x^5-2x^3+7$ ?

-\infty

7

0

+\infty

Explication

À l’infini, le terme de plus haut degré détermine la limite : ici $4x^5$ tend vers $-\infty$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ . La réponse $7$ retient le terme constant, tandis que $+\infty$ néglige le signe de $x^5$ .

Question 10

10. La fraction rationnelle $\frac{7x^3-2x}{4x^3+5}$ a un numérateur et un dénominateur de même degré ; quelle est sa limite lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

\frac{7}{4}

\frac{4}{7}

3

0

Explication

Lorsque les degrés sont égaux, la limite est le rapport des coefficients dominants, soit $\frac{7}{4}$ . $\frac{4}{7}$ inverse ce rapport, $3$ en soustrait les coefficients et $0$ correspond à une erreur sur les degrés.

Question 11

11. Pour un entier $n\geq 1$ fixé, quelle est la limite de $\frac{\ln(x)}{x^n}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

0

1

Elle n’existe pas.

+\infty

Explication

La croissance de $\ln(x)$ est dominée par celle de toute puissance $x^n$ pour $n\geq 1$ , donc leur quotient tend vers $0$ . $+\infty$ inverse l’effet de la puissance dominante, et $1$ suppose à tort des croissances comparables.

Question 12

12. On compare, lorsque $x$ tend vers $+\infty$ , les fonctions $f(x)=\ln(x)$ , $g(x)=x^4$ et $h(x)=e^x$ ; quel ordre de croissance est correct ?

\ln(x)

croît moins vite que

e^x

, qui croît moins vite que

x^4

.

\ln(x)

et

e^x

croissent au même rythme, plus lentement que

x^4

.

\ln(x)

croît moins vite que

x^4

, qui croît moins vite que

e^x

.

x^4

croît moins vite que

\ln(x)

, qui croît moins vite que

e^x

.

Explication

À l’infini, le logarithme est dominé par toute puissance, et toute puissance est dominée par l’exponentielle : $\ln(x)\ll x^4\ll e^x$ . Les autres propositions inversent l’une de ces dominations ou confondent les rythmes de croissance.

Question 13

13. Une fonction vérifie $\lim_{x\to +\infty} f(x)= -3$ . Quelle droite est une asymptote horizontale à sa courbe lorsque $x\to +\infty$ ?

y=-3x

y=-3

y=3

x=-3

Explication

Une limite finie égale à $L$ à l’infini donne l’asymptote horizontale $y=L$ : ici, c’est donc $y=-3$ . $x=-3$ confond asymptote verticale et horizontale, $y=-3x$ propose une droite oblique, et $y=3$ inverse le signe de la limite.

Question 14

14. Une fonction $f$ est définie en $a$ , et l’on sait que $\lim_{x\to a}f(x)=4$ tandis que $f(a)=5$ . Que peut-on conclure sur sa continuité en $a$ ?

Elle n’est pas continue en

a

.

Elle est continue si la limite vaut zéro.

La continuité en

a

n’est pas définie.

Elle est continue en

a

.

Explication

La continuité en $a$ exige que la limite de $f(x)$ en $a$ soit égale à $f(a)$ ; ici, $4\ne5$ . Dire qu’elle est continue parce que la limite existe confond existence de la limite et continuité, et la valeur zéro ou une limite infinie ne constitue pas le critère.

QCM : Limites de fonctions (14 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Que décrit la limite d’une fonction lorsque la variable s’approche d’un point ou tend vers l’infini ?

2. Près d’un réel a, comment distinguer une limite finie égale à L d’une limite infinie égale à +∞ ?

3. Pour étudier les limites latérales d’une fonction en a, que désignent respectivement les notations $x\to a^-$ et $x\to a^+$ ?

4. Une fonction g a pour limite à gauche en b le réel 3 et pour limite à droite en b le réel 3. Que peut-on conclure sur la limite de g en b ?

5. Lorsque $x$ tend vers $2$ , on sait que $f(x)$ tend vers $3$ et que $g(x)$ tend vers $-4$ . Vers quelle valeur tend $f(x)+g(x)$ ?

6. Parmi les situations suivantes, laquelle est une forme indéterminée au programme ?

7. En substituant la valeur visée dans une expression, Lina obtient un réel défini, sans forme indéterminée. Quelle étape doit-elle suivre ?

8. Pour $x\to+\infty$ , une fraction rationnelle donne une forme $\frac{\infty}{\infty}$ . Quelle transformation convient pour comparer les termes dominants ?

9. Quand $x$ tend vers $-\infty$ , vers quoi tend le polynôme $P(x)=4x^5-2x^3+7$ ?

10. La fraction rationnelle $\frac{7x^3-2x}{4x^3+5}$ a un numérateur et un dénominateur de même degré ; quelle est sa limite lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

11. Pour un entier $n\geq 1$ fixé, quelle est la limite de $\frac{\ln(x)}{x^n}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

12. On compare, lorsque $x$ tend vers $+\infty$ , les fonctions $f(x)=\ln(x)$ , $g(x)=x^4$ et $h(x)=e^x$ ; quel ordre de croissance est correct ?

13. Une fonction vérifie $\lim_{x\to +\infty} f(x)= -3$ . Quelle droite est une asymptote horizontale à sa courbe lorsque $x\to +\infty$ ?

14. Une fonction $f$ est définie en $a$ , et l’on sait que $\lim_{x\to a}f(x)=4$ tandis que $f(a)=5$ . Que peut-on conclure sur sa continuité en $a$ ?

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QCM : Limites de fonctions (14 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Que décrit la limite d’une fonction lorsque la variable s’approche d’un point ou tend vers l’infini ?

2. Près d’un réel a, comment distinguer une limite finie égale à L d’une limite infinie égale à +∞ ?

3. Pour étudier les limites latérales d’une fonction en a, que désignent respectivement les notations x→a−x\to a^-x→a− et x→a+x\to a^+x→a+ ?

4. Une fonction g a pour limite à gauche en b le réel 3 et pour limite à droite en b le réel 3. Que peut-on conclure sur la limite de g en b ?

5. Lorsque xxx tend vers 222, on sait que f(x)f(x)f(x) tend vers 333 et que g(x)g(x)g(x) tend vers −4-4−4. Vers quelle valeur tend f(x)+g(x)f(x)+g(x)f(x)+g(x) ?

6. Parmi les situations suivantes, laquelle est une forme indéterminée au programme ?

7. En substituant la valeur visée dans une expression, Lina obtient un réel défini, sans forme indéterminée. Quelle étape doit-elle suivre ?

8. Pour x→+∞x\to+\inftyx→+∞, une fraction rationnelle donne une forme ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞​. Quelle transformation convient pour comparer les termes dominants ?

9. Quand xxx tend vers −∞-\infty−∞, vers quoi tend le polynôme P(x)=4x5−2x3+7P(x)=4x^5-2x^3+7P(x)=4x5−2x3+7 ?

10. La fraction rationnelle 7x3−2x4x3+5\frac{7x^3-2x}{4x^3+5}4x3+57x3−2x​ a un numérateur et un dénominateur de même degré ; quelle est sa limite lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞ ?

11. Pour un entier n≥1n\geq 1n≥1 fixé, quelle est la limite de ln⁡(x)xn\frac{\ln(x)}{x^n}xnln(x)​ lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞ ?

12. On compare, lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞, les fonctions f(x)=ln⁡(x)f(x)=\ln(x)f(x)=ln(x), g(x)=x4g(x)=x^4g(x)=x4 et h(x)=exh(x)=e^xh(x)=ex ; quel ordre de croissance est correct ?

13. Une fonction vérifie lim⁡x→+∞f(x)=−3\lim_{x\to +\infty} f(x)= -3limx→+∞​f(x)=−3. Quelle droite est une asymptote horizontale à sa courbe lorsque x→+∞x\to +\inftyx→+∞ ?

14. Une fonction fff est définie en aaa, et l’on sait que lim⁡x→af(x)=4\lim_{x\to a}f(x)=4limx→a​f(x)=4 tandis que f(a)=5f(a)=5f(a)=5. Que peut-on conclure sur sa continuité en aaa ?

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3. Pour étudier les limites latérales d’une fonction en a, que désignent respectivement les notations $x\to a^-$ et $x\to a^+$ ?

5. Lorsque $x$ tend vers $2$ , on sait que $f(x)$ tend vers $3$ et que $g(x)$ tend vers $-4$ . Vers quelle valeur tend $f(x)+g(x)$ ?

8. Pour $x\to+\infty$ , une fraction rationnelle donne une forme $\frac{\infty}{\infty}$ . Quelle transformation convient pour comparer les termes dominants ?

9. Quand $x$ tend vers $-\infty$ , vers quoi tend le polynôme $P(x)=4x^5-2x^3+7$ ?

10. La fraction rationnelle $\frac{7x^3-2x}{4x^3+5}$ a un numérateur et un dénominateur de même degré ; quelle est sa limite lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

11. Pour un entier $n\geq 1$ fixé, quelle est la limite de $\frac{\ln(x)}{x^n}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

12. On compare, lorsque $x$ tend vers $+\infty$ , les fonctions $f(x)=\ln(x)$ , $g(x)=x^4$ et $h(x)=e^x$ ; quel ordre de croissance est correct ?

13. Une fonction vérifie $\lim_{x\to +\infty} f(x)= -3$ . Quelle droite est une asymptote horizontale à sa courbe lorsque $x\to +\infty$ ?

14. Une fonction $f$ est définie en $a$ , et l’on sait que $\lim_{x\to a}f(x)=4$ tandis que $f(a)=5$ . Que peut-on conclure sur sa continuité en $a$ ?