Fiche de révision : Limites de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Notion et types de limites
2. Limites latérales en un point
3. Opérations et formes indéterminées
4. Méthode de calcul des limites
5. Polynômes et fractions rationnelles
6. Croissances comparées
7. Limites, asymptotes et continuité

📖 1. Notion et types de limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite d’une fonction : La limite d’une fonction décrit le comportement de ses valeurs lorsque la variable s’approche d’un point donné ou tend vers l’infini.

★ À maîtriser

📌 Une limite finie en a signifie que f(x) peut être rendu aussi proche que l’on veut d’un réel L lorsque x est suffisamment proche de a, tandis qu’une limite infinie signifie que f(x) peut être rendu aussi grand que l’on veut.

Compléments

• La limite de 1/x lorsque x tend vers +∞ est 0.

• La limite de 1/x lorsque x tend vers 0 par valeurs positives est +∞.

📖 2. Limites latérales en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Limites latérales : Les limites latérales sont les limites de f(x) lorsque x s’approche de a par des valeurs inférieures ou supérieures, notées respectivement x→a− et x→a+.

★ À maîtriser

📌 La limite de f en a existe si et seulement si ses limites à gauche et à droite en a existent et sont égales.

Compléments

• Pour f(x)=1/x, la limite à droite en 0 vaut +∞ et la limite à gauche en 0 vaut −∞, donc la limite en 0 n’existe pas.

💡 Astuce mémo

À gauche et à droite de 0, 1/x diverge vers des infinis opposés.

📖 3. Opérations et formes indéterminées

★ À maîtriser

📌 Si f(x) tend vers L et g(x) tend vers L′, avec L et L′ réels, alors f(x)+g(x) tend vers L+L′ et f(x)g(x) tend vers LL′.

• Les quatre formes indéterminées au programme sont :
  • +∞−∞
  • 0×(±∞)
  • ±∞/±∞
  • 0/0

Compléments

📌 Si f(x) tend vers L et g(x) tend vers L′ avec L′ non nul, alors le quotient f(x)/g(x) tend vers L/L′.

• Lorsque x tend vers +∞, x²/x tend vers +∞, x/x tend vers 1 et x/x² tend vers 0, illustrant que la forme ∞/∞ ne détermine pas à elle seule la limite.

📖 4. Méthode de calcul des limites

★ À maîtriser

• Pour calculer une limite, on substitue la valeur visée, on vérifie si le résultat est déterminé, puis, en cas de forme indéterminée, on choisit une technique adaptée, on simplifie et on recommence.

Compléments

• Pour une forme 0/0, on factorise le numérateur et le dénominateur, notamment à l’aide d’une racine évidente ou d’une identité remarquable.

• Pour une forme ∞/∞ d’une fraction rationnelle, on factorise par la plus haute puissance de x.

• Pour une forme +∞−∞, on met les termes au même dénominateur ou on factorise par le terme dominant.

• Pour une forme 0×∞, on réécrit l’expression sous forme de quotient afin de la ramener à 0/0 ou à ∞/∞.

💡 Astuce mémo

Substituer → identifier la forme → choisir la technique → simplifier et recommencer.

📖 5. Polynômes et fractions rationnelles

★ À maîtriser

📌 À l’infini, la limite d’un polynôme est celle de son terme de plus haut degré.

📌 Pour une fraction rationnelle en ±∞, si le numérateur et le dénominateur ont le même degré, la limite est le rapport de leurs coefficients dominants.

Compléments

• La limite lorsque x tend vers +∞ de (−3x⁴+7x²−1) est −∞, car son terme dominant est −3x⁴.

📖 6. Croissances comparées

★ À maîtriser

📌 Pour tout entier n≥1, ln(x)/xⁿ tend vers 0 lorsque x tend vers +∞, et xⁿ/eˣ tend également vers 0.

📌 Lorsque x tend vers +∞, la croissance de ln(x) est dominée par celle des puissances xⁿ, qui est elle-même dominée par celle de eˣ.

Compléments

• La limite lorsque x tend vers +∞ de x³e⁻ˣ est 0, car x³e⁻ˣ= x³/eˣ et l’exponentielle domine les puissances.

• Le théorème des gendarmes permet de déterminer une limite en encadrant une fonction entre deux fonctions ayant la même limite.

💡 Astuce mémo

À l’infini, l’exponentielle domine les puissances, qui dominent le logarithme.

📖 7. Limites, asymptotes et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote horizontale : Une droite y=L lorsque f(x) tend vers L en +∞ ou en −∞.
• Asymptote verticale : Une droite x=a lorsque f(x) tend vers +∞ ou −∞ par la droite ou par la gauche en a.

📝 Points essentiels

📌 La droite y=ax+b est une asymptote oblique si f(x)−(ax+b) tend vers 0 lorsque x tend vers +∞ ou −∞.

📌 Une fonction f est continue en a si et seulement si la limite de f(x) lorsque x tend vers a est égale à f(a).

📐 Formule - La dérivée en a est définie par $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.