QCM : Limites d’une fonction (16 questions)

Question 1

1. On observe une fonction lorsque $x$ augmente sans borne. Quelle propriété caractérise le fait que $f(x)$ tende vers $+\infty$ ?

f(x) devient aussi petit que l’on veut dès que x est suffisamment grand

f(x) prend la même valeur que x dès que x est suffisamment grand

f(x) se rapproche d’une valeur fixe dès que x est suffisamment grand

f(x) dépasse toute valeur fixée dès que x est suffisamment grand

Explication

Tendre vers $+\infty$ signifie que $f(x)$ devient aussi grand que l’on veut lorsque $x$ est suffisamment grand. Se rapprocher d’une valeur fixe correspond à une limite finie, devenir très petit évoque $-\infty$ , et l’égalité avec $x$ n’est pas requise.

Answer

f(x) dépasse toute valeur fixée dès que x est suffisamment grand

Question 2

2. Pour étudier la limite à droite d’une fonction en $a=3$ , quelles valeurs de $x$ faut-il examiner au voisinage de 3 ?

Des valeurs inférieures à 3 qui se rapprochent de 3

La valeur 3 elle-même, sans voisinage

Des valeurs supérieures à 3 qui se rapprochent de 3

Des valeurs supérieures à 3 qui s’éloignent de 3

Explication

La limite à droite étudie les valeurs de la fonction lorsque $x$ s’approche de $a$ en restant supérieur à $a$ . Les valeurs inférieures relèvent de la limite à gauche, le point seul ne décrit pas une limite, et s’éloigner du point ne convient pas.

Answer

Des valeurs supérieures à 3 qui se rapprochent de 3

Question 3

3. Une fonction vérifie $\lim_{x\to-\infty} f(x)=4$ . Quelle droite est une asymptote horizontale à sa courbe ?

La droite d’équation

y=-\infty

La droite d’équation

y=4

La droite d’équation

x=4

La droite d’équation

x=-\infty

Explication

Une limite finie de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ donne une asymptote horizontale d’équation $y=l$ , ici $y=4$ . Une droite $x=4$ est verticale, tandis qu’une limite infinie ne fournit pas cette asymptote horizontale.

Answer

La droite d’équation $$y=4$$

Question 4

4. Au voisinage de $x=2$ , une fonction tend vers $+\infty$ par la droite, mais possède une limite finie par la gauche. Quelle droite est une asymptote verticale ?

La droite d’équation

y=2

La droite d’équation

x=2

La droite d’équation

x=+\infty

Aucune droite, car les limites des deux côtés diffèrent

Explication

Une asymptote verticale est la droite $x=c$ lorsque la fonction tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ en s’approchant de $c$ , éventuellement d’un seul côté. Une limite infinie à droite suffit donc ici ; $y=2$ est horizontale, et la limite finie à gauche n’annule pas le critère.

Answer

La droite d’équation $$x=2$$

Question 5

5. Lorsque $x$ tend vers $-\infty$ , vers quelle limite tend $x^6$ ?

+\infty

La limite n’existe pas

-\infty

0

Explication

Avec un exposant pair, la puissance tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ . La limite $-\infty$ correspond à un exposant impair, tandis que $0$ est une limite usuelle de l’inverse d’une puissance à l’infini.

Answer

$$+\infty$$

Question 6

6. Une variable $t$ s’approche de zéro en restant négative. Vers quelle limite tend $\frac{1}{t}$ ?

-\infty

0

Une limite finie positive

+\infty

Explication

Lorsque le dénominateur tend vers zéro par valeurs négatives, son inverse tend vers $-\infty$ . La limite $+\infty$ correspond à une approche par valeurs positives, et $0$ ne décrit pas ce comportement.

Answer

$$-\infty$$

Question 7

7. Lorsque $f(x)$ tend vers $+\infty$ et $g(x)$ tend vers $-\infty$ , que peut-on conclure directement sur la limite de $f(x)+g(x)$ avec la règle des limites d’une somme ?

La somme tend vers

-\infty

La forme est indéterminée

La somme tend vers

+\infty

La somme tend vers

0

Explication

La somme de limites de signes opposés, $+\infty-\infty$ , est une forme indéterminée : les règles d’opérations ne déterminent pas directement la limite. La compensation exacte n’est pas garantie, et les règles donnant un infini s’appliquent aux sommes d’infinis de même signe.

Answer

La forme est indéterminée

Question 8

8. Lorsque $f(x)$ tend vers $-\infty$ et $g(x)$ tend vers $3$ , vers quelle limite tend leur produit ?

La forme est indéterminée

0

+\infty

-\infty

Explication

Le produit d’une quantité tendant vers $-\infty$ par une quantité tendant vers $3>0$ tend vers $-\infty$ , selon la règle des signes. Le produit n’est pas indéterminé, car le facteur fini ne tend pas vers zéro.

Answer

$$-\infty$$

Question 9

9. Pour un quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ , la limite du numérateur et celle du dénominateur tendent toutes deux vers zéro. Comment faut-il classer cette forme ?

Une forme indéterminée

Une limite nécessairement infinie

Une limite nécessairement nulle

Un quotient de limites directement calculable

Explication

La forme $0/0$ est indéterminée : les règles du quotient ne permettent pas de calculer directement la limite lorsque le dénominateur tend vers zéro. Elle ne doit pas être confondue avec un dénominateur dont la limite est non nulle, ni avec la forme $\infty/\infty$ .

Answer

Une forme indéterminée

Question 10

10. Une fonction $f$ vérifie $f(x)\to 3$ lorsque $x\to 2$ , et une fonction $g$ vérifie $g(X)\to -1$ lorsque $X\to 3$ . Quelle est la limite de $g(f(x))$ lorsque $x\to 2$ ?

3

-1

La limite n’est pas déterminable avec ces données

2

Explication

La limite de $f(x)$ vaut $3$ , qui est précisément le point où $g(X)$ tend vers $-1$ ; la limite de la composée vaut donc $-1$ . Répondre $3$ confond la limite intermédiaire avec celle de la composée, tandis que $2$ utilise le point d’approche de $x$ comme argument de $g$ .

Answer

Factoriser par le terme de plus haut degré

Answer

Étudier le signe de $$x-2$$ à gauche et à droite de $$2$$

Question 11

11. Au voisinage de $+\infty$ , trois fonctions vérifient $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ , tandis que $g(x)\to 4$ et $h(x)\to 4$ . Vers quelle valeur $f(x)$ tend-elle ?

+\infty

La limite de f reste indéterminée

0

4

Explication

Le théorème des gendarmes établit que la fonction encadrée tend vers la limite commune des deux bornes, ici $4$ . La réponse $0$ confond la limite commune avec l’écart entre les bornes, et $+\infty$ ne découle pas de bornes tendant vers $4$ .

Question 12

12. Pour un entier naturel $n$ fixé, quelle est la limite de $\frac{x^n}{e^x}$ lorsque $x\to +\infty$ ?

0

La limite dépend de la valeur de n

+\infty

1

Explication

À l’infini, l’exponentielle croît plus vite que toute puissance de $x$ ; le quotient $\frac{x^n}{e^x}$ tend donc vers $0$ . La valeur $1$ suppose à tort une croissance équivalente, et $+\infty$ inverse la comparaison.

Question 13

13. Pour déterminer la limite de $e^{-3x}$ lorsque $x\to +\infty$ , on pose $X=-x$ . Quelle limite obtient-on ?

1

La limite n’existe pas

0

+\infty

Explication

Avec $X=-x$ , on a $X\to-\infty$ et $e^{-3x}=e^{3X}\to0$ . La réponse $+\infty$ correspond à la croissance de l’exponentielle lorsque son exposant tend vers $+\infty$ , et non vers $-\infty$ .

Question 14

14. Pour calculer une limite en forme indéterminée lorsque le numérateur et le dénominateur sont des polynômes de même degré, quelle méthode convient pour comparer leurs termes dominants ?

Étudier séparément les signes de part et d’autre

Factoriser par le terme de plus haut degré

Utiliser le nombre dérivé au point considéré

Multiplier par l’expression conjuguée

Explication

Dans une forme indéterminée de type $\infty/\infty$ , factoriser par le terme de plus haut degré permet de comparer les termes dominants. L’expression conjuguée convient aux expressions avec racines, le nombre dérivé à une forme $0/0$ appropriée, et l’étude des signes à une limite de type $k/0$ .

Question 15

15. Près de $x=2$ , une expression a un numérateur qui tend vers $5$ et un dénominateur $x-2$ . Quelle démarche permet de déterminer les limites de chaque côté de $2$ ?

Étudier le signe de

x-2

à gauche et à droite de

2

Factoriser le numérateur et le dénominateur par leurs termes dominants

Multiplier le quotient par l’expression conjuguée

Appliquer la formule du nombre dérivé au point

2

Explication

Pour une limite de type $k/0$ , le signe du dénominateur au voisinage de la valeur interdite détermine si la limite latérale vaut $+\infty$ ou $-\infty$ . Regrouper les deux côtés néglige leurs signes, la factorisation dominante vise les formes indéterminées et le nombre dérivé ne s’applique pas ici.

Question 16

16. Lorsque $x$ tend vers $3$ , un quotient se réécrit sous la forme $\frac{f(x)-f(3)}{x-3}$ , où $f$ est dérivable en $3$ . Quelle est sa limite ?

f'(3)

f'(x)

0

f(3)

Explication

Le quotient $\frac{f(x)-f(3)}{x-3}$ est le quotient différentiel de $f$ en $3$ ; sa limite vaut donc $f'(3)$ . La forme $0/0$ seule ne détermine pas la limite, $f(3)$ est la valeur de la fonction et $f'(x)$ n’est pas une valeur au point considéré.

QCM : Limites d’une fonction (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. On observe une fonction lorsque $x$ augmente sans borne. Quelle propriété caractérise le fait que $f(x)$ tende vers $+\infty$ ?

2. Pour étudier la limite à droite d’une fonction en $a=3$ , quelles valeurs de $x$ faut-il examiner au voisinage de 3 ?

3. Une fonction vérifie $\lim_{x\to-\infty} f(x)=4$ . Quelle droite est une asymptote horizontale à sa courbe ?

4. Au voisinage de $x=2$ , une fonction tend vers $+\infty$ par la droite, mais possède une limite finie par la gauche. Quelle droite est une asymptote verticale ?

5. Lorsque $x$ tend vers $-\infty$ , vers quelle limite tend $x^6$ ?

6. Une variable $t$ s’approche de zéro en restant négative. Vers quelle limite tend $\frac{1}{t}$ ?

7. Lorsque $f(x)$ tend vers $+\infty$ et $g(x)$ tend vers $-\infty$ , que peut-on conclure directement sur la limite de $f(x)+g(x)$ avec la règle des limites d’une somme ?

8. Lorsque $f(x)$ tend vers $-\infty$ et $g(x)$ tend vers $3$ , vers quelle limite tend leur produit ?

9. Pour un quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ , la limite du numérateur et celle du dénominateur tendent toutes deux vers zéro. Comment faut-il classer cette forme ?

10. Une fonction $f$ vérifie $f(x)\to 3$ lorsque $x\to 2$ , et une fonction $g$ vérifie $g(X)\to -1$ lorsque $X\to 3$ . Quelle est la limite de $g(f(x))$ lorsque $x\to 2$ ?

11. Au voisinage de $+\infty$ , trois fonctions vérifient $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ , tandis que $g(x)\to 4$ et $h(x)\to 4$ . Vers quelle valeur $f(x)$ tend-elle ?

12. Pour un entier naturel $n$ fixé, quelle est la limite de $\frac{x^n}{e^x}$ lorsque $x\to +\infty$ ?

13. Pour déterminer la limite de $e^{-3x}$ lorsque $x\to +\infty$ , on pose $X=-x$ . Quelle limite obtient-on ?

14. Pour calculer une limite en forme indéterminée lorsque le numérateur et le dénominateur sont des polynômes de même degré, quelle méthode convient pour comparer leurs termes dominants ?

15. Près de $x=2$ , une expression a un numérateur qui tend vers $5$ et un dénominateur $x-2$ . Quelle démarche permet de déterminer les limites de chaque côté de $2$ ?

16. Lorsque $x$ tend vers $3$ , un quotient se réécrit sous la forme $\frac{f(x)-f(3)}{x-3}$ , où $f$ est dérivable en $3$ . Quelle est sa limite ?

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QCM : Limites d’une fonction (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. On observe une fonction lorsque xxx augmente sans borne. Quelle propriété caractérise le fait que f(x)f(x)f(x) tende vers +∞+\infty+∞ ?

2. Pour étudier la limite à droite d’une fonction en a=3a=3a=3, quelles valeurs de xxx faut-il examiner au voisinage de 3 ?

3. Une fonction vérifie lim⁡x→−∞f(x)=4\lim_{x\to-\infty} f(x)=4limx→−∞​f(x)=4. Quelle droite est une asymptote horizontale à sa courbe ?

4. Au voisinage de x=2x=2x=2, une fonction tend vers +∞+\infty+∞ par la droite, mais possède une limite finie par la gauche. Quelle droite est une asymptote verticale ?

5. Lorsque xxx tend vers −∞-\infty−∞, vers quelle limite tend x6x^6x6 ?

6. Une variable ttt s’approche de zéro en restant négative. Vers quelle limite tend 1t\frac{1}{t}t1​ ?

7. Lorsque f(x)f(x)f(x) tend vers +∞+\infty+∞ et g(x)g(x)g(x) tend vers −∞-\infty−∞, que peut-on conclure directement sur la limite de f(x)+g(x)f(x)+g(x)f(x)+g(x) avec la règle des limites d’une somme ?

8. Lorsque f(x)f(x)f(x) tend vers −∞-\infty−∞ et g(x)g(x)g(x) tend vers 333, vers quelle limite tend leur produit ?

9. Pour un quotient f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)​, la limite du numérateur et celle du dénominateur tendent toutes deux vers zéro. Comment faut-il classer cette forme ?

10. Une fonction fff vérifie f(x)→3f(x)\to 3f(x)→3 lorsque x→2x\to 2x→2, et une fonction ggg vérifie g(X)→−1g(X)\to -1g(X)→−1 lorsque X→3X\to 3X→3. Quelle est la limite de g(f(x))g(f(x))g(f(x)) lorsque x→2x\to 2x→2 ?

11. Au voisinage de +∞+\infty+∞, trois fonctions vérifient g(x)≤f(x)≤h(x)g(x)\leq f(x)\leq h(x)g(x)≤f(x)≤h(x), tandis que g(x)→4g(x)\to 4g(x)→4 et h(x)→4h(x)\to 4h(x)→4. Vers quelle valeur f(x)f(x)f(x) tend-elle ?

12. Pour un entier naturel nnn fixé, quelle est la limite de xnex\frac{x^n}{e^x}exxn​ lorsque x→+∞x\to +\inftyx→+∞ ?

13. Pour déterminer la limite de e−3xe^{-3x}e−3x lorsque x→+∞x\to +\inftyx→+∞, on pose X=−xX=-xX=−x. Quelle limite obtient-on ?

14. Pour calculer une limite en forme indéterminée lorsque le numérateur et le dénominateur sont des polynômes de même degré, quelle méthode convient pour comparer leurs termes dominants ?

15. Près de x=2x=2x=2, une expression a un numérateur qui tend vers 555 et un dénominateur x−2x-2x−2. Quelle démarche permet de déterminer les limites de chaque côté de 222 ?

16. Lorsque xxx tend vers 333, un quotient se réécrit sous la forme f(x)−f(3)x−3\frac{f(x)-f(3)}{x-3}x−3f(x)−f(3)​, où fff est dérivable en 333. Quelle est sa limite ?

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1. On observe une fonction lorsque $x$ augmente sans borne. Quelle propriété caractérise le fait que $f(x)$ tende vers $+\infty$ ?

2. Pour étudier la limite à droite d’une fonction en $a=3$ , quelles valeurs de $x$ faut-il examiner au voisinage de 3 ?

3. Une fonction vérifie $\lim_{x\to-\infty} f(x)=4$ . Quelle droite est une asymptote horizontale à sa courbe ?

4. Au voisinage de $x=2$ , une fonction tend vers $+\infty$ par la droite, mais possède une limite finie par la gauche. Quelle droite est une asymptote verticale ?

5. Lorsque $x$ tend vers $-\infty$ , vers quelle limite tend $x^6$ ?

6. Une variable $t$ s’approche de zéro en restant négative. Vers quelle limite tend $\frac{1}{t}$ ?

7. Lorsque $f(x)$ tend vers $+\infty$ et $g(x)$ tend vers $-\infty$ , que peut-on conclure directement sur la limite de $f(x)+g(x)$ avec la règle des limites d’une somme ?

8. Lorsque $f(x)$ tend vers $-\infty$ et $g(x)$ tend vers $3$ , vers quelle limite tend leur produit ?

9. Pour un quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ , la limite du numérateur et celle du dénominateur tendent toutes deux vers zéro. Comment faut-il classer cette forme ?

10. Une fonction $f$ vérifie $f(x)\to 3$ lorsque $x\to 2$ , et une fonction $g$ vérifie $g(X)\to -1$ lorsque $X\to 3$ . Quelle est la limite de $g(f(x))$ lorsque $x\to 2$ ?

11. Au voisinage de $+\infty$ , trois fonctions vérifient $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ , tandis que $g(x)\to 4$ et $h(x)\to 4$ . Vers quelle valeur $f(x)$ tend-elle ?

12. Pour un entier naturel $n$ fixé, quelle est la limite de $\frac{x^n}{e^x}$ lorsque $x\to +\infty$ ?

13. Pour déterminer la limite de $e^{-3x}$ lorsque $x\to +\infty$ , on pose $X=-x$ . Quelle limite obtient-on ?

15. Près de $x=2$ , une expression a un numérateur qui tend vers $5$ et un dénominateur $x-2$ . Quelle démarche permet de déterminer les limites de chaque côté de $2$ ?

16. Lorsque $x$ tend vers $3$ , un quotient se réécrit sous la forme $\frac{f(x)-f(3)}{x-3}$ , où $f$ est dérivable en $3$ . Quelle est sa limite ?