QCM : Limites et continuité — 19 questions

Question 1

1. Laquelle de ces expressions appartient aux formes indéterminées de limites ?

\frac{\infty}{\infty}

\frac{5}{0}

\infty+\infty

0+7

Explication

Le quotient $\frac{\infty}{\infty}$ est une forme indéterminée, car il ne permet pas de connaître directement la limite. En revanche, une somme comme $\infty+\infty$ possède un comportement déterminé dans le cadre usuel des limites étendues.

Answer

$$\frac{\infty}{\infty}$$

Question 2

2. Lorsqu’une limite rationnelle en un point donne la forme $\frac{0}{0}$ , quelle démarche permet de poursuivre le calcul ?

Remplacer chaque facteur nul par une valeur positive

Additionner le numérateur et le dénominateur

Factoriser, simplifier, puis calculer la limite

Remplacer à nouveau la variable par le même nombre

Explication

Il faut factoriser le numérateur et le dénominateur selon le facteur correspondant au point, simplifier le facteur commun, puis évaluer la limite obtenue. Une substitution directe laisse la forme $\frac{0}{0}$ et ne lève donc pas l’indétermination.

Answer

Factoriser, simplifier, puis calculer la limite

Question 3

3. Quelle limite obtient-on après simplification dans l’expression $\lim_{x\to-1}\frac{(x^2-1)^2}{x^3-6x-5}$ ?

-1

La limite n’existe pas

1

0

Explication

On utilise $x^3-6x-5=(x+1)(x^2-x-5)$ et $x^2-1=(x+1)(x-1)$ , puis on simplifie un facteur $x+1$ . L’expression restante tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $-1$ .

Answer

Multiplier par l’expression conjuguée

Answer

$$-\frac14$$

Answer

Comparer $$\sqrt a$$ et $$a'$$

Answer

$$x-1\leq x+\cos x\leq x+1$$

Answer

$$\frac{1}{2}$$

Answer

$$-\frac{2}{9}$$

Answer

$$-\sqrt3$$

Answer

$$\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$$

Answer

Les limites à gauche et à droite existent, sont égales et valent $$f(x_0)$$.

Answer

Elle est continue, car les deux limites latérales valent $$0$$ et $$f(-1)=0$$.

Answer

Elle n’admet pas de limite en $$0$$ et ne peut pas être prolongée par continuité en ce point.

Answer

Lorsque sa limite en $$x_0$$ existe et est finie

Answer

On peut définir $$g(2)=4$$ pour obtenir un prolongement continu

Answer

La limite de la fonction à cette extrémité vaut $$L$$

Question 4

4. Quelle transformation traite une différence de racines qui produit une forme indéterminée ?

Multiplier par l’expression conjuguée

Remplacer la variable par sa valeur limite

Développer directement les deux racines

Additionner les radicandes avant de simplifier

Explication

La multiplication par l’expression conjuguée transforme la différence de racines grâce à l’identité de la différence de carrés. Une substitution directe peut laisser une forme $\frac{0}{0}$ , tandis que la factorisation polynomiale ne constitue pas la méthode générale adaptée aux racines.

Question 5

5. Quelle est la valeur de $\lim_{n\to3}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{3n-5}}{2n-6}$ après rationalisation ?

-\frac12

-\frac14

\frac12

\frac14

Explication

La rationalisation de la différence de racines, suivie de la simplification par $n-3$ , donne une limite égale à $-\frac14$ . La substitution directe produit d’abord $\frac{0}{0}$ et ne fournit donc pas cette valeur.

Question 6

6. Pour étudier à l’infini une expression de la forme $\sqrt{ax^2+bx+c}\pm a'x+b'$ , quelle comparaison faut-il effectuer en premier ?

Comparer

b

et

c

Comparer

a

et

b'

Comparer

\sqrt a

et

a'

Comparer

a'

et

b'

Explication

Les coefficients dominants conduisent à comparer $\sqrt a$ et $a'$ . S’ils sont différents, on factorise selon les termes dominants ; s’ils sont égaux, on recourt au conjugué pour poursuivre l’étude.

Question 7

7. Quelle est la valeur de $\lim_{n\to-\infty}\left(2n+\sqrt{4n^2+1}\right)$ ?

+\infty

-\infty

0

1

Explication

L’utilisation de l’expression conjuguée permet de transformer la somme en une fraction dont le numérateur reste borné tandis que le dénominateur devient arbitrairement grand en valeur absolue. La limite vaut donc $0$ .

Question 8

8. Quel encadrement permet de démontrer que $\lim_{x\to+\infty}(x+\cos x)=+\infty$ ?

x-1\leq x+\cos x\leq x+1

-x\leq x+\cos x\leq x

1\leq x+\cos x\leq x+2

x\leq x+\cos x\leq 2x

Explication

Comme $-1\leq\cos x\leq1$ , l’addition de $x$ donne $x-1\leq x+\cos x\leq x+1$ , ce qui montre que l’expression croît vers $+\infty$ . La fonction $\cos x$ seule n’a pas de limite à l’infini, mais son encadrement permet ici de contrôler la somme.

Question 9

9. Pour tout réel non nul $a$ , quelle est la valeur de $\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}$ ?

a

0

1

\frac{1}{a}

Explication

La limite usuelle de $\frac{\sin(ax)}{x}$ vaut $a$ lorsque $x$ tend vers zéro. La valeur zéro correspond plutôt à $\frac{1-\cos x}{x}$ , qui est une autre limite trigonométrique.

Question 10

10. Quelle limite obtient-on lorsque le dénominateur est $x^2$ dans $\frac{1-\cos x}{x^2}$ au voisinage de zéro ?

-\frac{1}{2}

0

1

\frac{1}{2}

Explication

La limite usuelle $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$ est égale à $\frac12$ . Avec le dénominateur $x$ , la limite serait en revanche nulle.

Question 11

11. Quelle est la valeur de $\lim_{x\to0}\frac{\cos(2x)-1}{\sin^2(3x)}$ ?

-\frac{2}{9}

-\frac{9}{2}

\frac{1}{2}

\frac{2}{9}

Explication

En utilisant les équivalents trigonométriques, $\cos(2x)-1$ se comporte comme $-2x^2$ et $\sin^2(3x)$ comme $9x^2$ , d’où le rapport $-\frac29$ . Le signe négatif provient du terme $\cos(2x)-1$ .

Question 12

12. Quelle est la valeur de $\lim_{n\to\frac\pi3}\frac{1-2\cos n}{\sqrt3-2\sin n}$ ?

-\sqrt3

\sqrt3

-\frac{1}{\sqrt3}

\frac{1}{\sqrt3}

Explication

Les deux expressions tendent vers zéro, et leur quotient se traite comme un quotient d’accroissements, ce qui donne le rapport des dérivées en $\frac\pi3$ . Ce rapport vaut $-\sqrt3$ , et non une valeur obtenue en divisant directement les limites nulles.

Question 13

13. Si $f$ et $g$ sont dérivables en $x_0$ , quelle expression donne la limite de leur quotient d’accroissements lorsque les deux accroissements s’annulent ?

\frac{g'(x_0)}{f'(x_0)}

f'(x_0)-g'(x_0)

\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}

\bigl(f-g\bigr)'(x_0)

Explication

Lorsque le quotient est défini, la limite $\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}$ est le rapport $\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$ . Elle ne correspond pas à la dérivée de la différence, qui serait $f'(x_0)-g'(x_0)$ .

Question 14

14. Quelles conditions caractérisent la continuité d’une fonction définie par morceaux en $x_0$ ?

La valeur

f(x_0)

existe, même si les limites latérales sont différentes.

La limite à droite existe et vaut la limite de la fonction sur l’intervalle précédent.

Les deux expressions de la fonction ont la même formule au voisinage de

x_0

.

Les limites à gauche et à droite existent, sont égales et valent

f(x_0)

.

Explication

La continuité en $x_0$ exige l’existence et l’égalité des limites latérales, ainsi que leur égalité avec $f(x_0)$ . Une valeur définie au point ne suffit pas lorsque les limites latérales diffèrent ou n’existent pas.

Question 15

15. Pour la fonction définie par morceaux considérée, que peut-on conclure au point $x=-1$ ?

Elle est continue, car les deux limites latérales valent

0

et

f(-1)=0

.

Elle est continue, car seule la limite à droite vaut

f(-1)=0

.

Elle est discontinue, car une fonction par morceaux ne peut pas être continue en un point de raccord.

Elle n’a pas de limite, car les expressions utilisées de part et d’autre sont différentes.

Explication

En $-1$ , les limites à gauche et à droite existent, sont toutes deux égales à $0$ et coïncident avec la valeur de la fonction. Le fait que la définition soit donnée par morceaux ne suffit donc pas à créer une discontinuité.

Question 16

16. Que se passe-t-il pour la fonction considérée au voisinage de $x=0$ , sachant que $\lim_{x\to0^+}f(x)=-1$ et $\lim_{x\to0^-}f(x)=1$ ?

Elle admet une limite égale à

0

et peut être prolongée en posant

f(0)=0

.

Elle admet une limite égale à

1

, déterminée par le comportement à gauche.

Elle est continue en

0

dès qu’une valeur quelconque lui est attribuée.

Elle n’admet pas de limite en

0

et ne peut pas être prolongée par continuité en ce point.

Explication

Les limites latérales en zéro sont différentes, donc la limite en zéro n’existe pas. Sans limite commune, aucune valeur attribuée à $f(0)$ ne peut rendre la fonction continue par prolongement.

Question 17

17. Dans quelle condition une fonction définie sur un point exclu $x_0$ peut-elle être prolongée par continuité en ce point ?

Lorsque sa limite en

x_0

n’existe pas

Lorsque sa valeur tend vers deux nombres distincts

Lorsque ses deux limites latérales sont infinies

Lorsque sa limite en

x_0

existe et est finie

Explication

Un prolongement par continuité est possible si la limite au point exclu existe et possède une valeur finie. Deux limites latérales différentes empêchent cette continuité, car elles ne donnent pas une limite commune.

Question 18

18. Pour $g(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ définie sur $\mathbb R\setminus\{2\}$ , quelle conclusion peut-on tirer de $\lim_{x\to2}g(x)=4$ ?

La fonction possède déjà la valeur

g(2)=4

dans son domaine initial

La droite

y=4

est une asymptote horizontale en

x=2

La fonction ne peut pas être prolongée car le quotient est indéfini

On peut définir

g(2)=4

pour obtenir un prolongement continu

Explication

La limite finie vaut $4$ , donc on peut attribuer cette valeur au point exclu afin de rendre la fonction continue en $2$ . Le domaine initial exclut toutefois $2$ , qui appartient seulement au domaine de la fonction prolongée.

Question 19

19. Quelle condition caractérise une asymptote horizontale d’équation $y=L$ au voisinage d’une extrémité ?

La dérivée de la fonction tend vers

L

à cette extrémité

La limite de la fonction à cette extrémité vaut

L

La fonction prend la valeur

L

en un point de son domaine

La fonction possède une limite infinie à cette extrémité

Explication

La droite $y=L$ est une asymptote horizontale lorsque la fonction tend vers $L$ à l’extrémité considérée. Le fait que la fonction prenne cette valeur en un point ou que sa dérivée tende vers cette valeur ne suffit pas à définir une asymptote horizontale.

QCM : Limites et continuité — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle de ces expressions appartient aux formes indéterminées de limites ?

2. Lorsqu’une limite rationnelle en un point donne la forme $\frac{0}{0}$ , quelle démarche permet de poursuivre le calcul ?

3. Quelle limite obtient-on après simplification dans l’expression $\lim_{x\to-1}\frac{(x^2-1)^2}{x^3-6x-5}$ ?

4. Quelle transformation traite une différence de racines qui produit une forme indéterminée ?

5. Quelle est la valeur de $\lim_{n\to3}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{3n-5}}{2n-6}$ après rationalisation ?

6. Pour étudier à l’infini une expression de la forme $\sqrt{ax^2+bx+c}\pm a'x+b'$ , quelle comparaison faut-il effectuer en premier ?

7. Quelle est la valeur de $\lim_{n\to-\infty}\left(2n+\sqrt{4n^2+1}\right)$ ?

8. Quel encadrement permet de démontrer que $\lim_{x\to+\infty}(x+\cos x)=+\infty$ ?

9. Pour tout réel non nul $a$ , quelle est la valeur de $\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}$ ?

10. Quelle limite obtient-on lorsque le dénominateur est $x^2$ dans $\frac{1-\cos x}{x^2}$ au voisinage de zéro ?

11. Quelle est la valeur de $\lim_{x\to0}\frac{\cos(2x)-1}{\sin^2(3x)}$ ?

12. Quelle est la valeur de $\lim_{n\to\frac\pi3}\frac{1-2\cos n}{\sqrt3-2\sin n}$ ?

13. Si $f$ et $g$ sont dérivables en $x_0$ , quelle expression donne la limite de leur quotient d’accroissements lorsque les deux accroissements s’annulent ?

14. Quelles conditions caractérisent la continuité d’une fonction définie par morceaux en $x_0$ ?

15. Pour la fonction définie par morceaux considérée, que peut-on conclure au point $x=-1$ ?

16. Que se passe-t-il pour la fonction considérée au voisinage de $x=0$ , sachant que $\lim_{x\to0^+}f(x)=-1$ et $\lim_{x\to0^-}f(x)=1$ ?

17. Dans quelle condition une fonction définie sur un point exclu $x_0$ peut-elle être prolongée par continuité en ce point ?

18. Pour $g(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ définie sur $\mathbb R\setminus\{2\}$ , quelle conclusion peut-on tirer de $\lim_{x\to2}g(x)=4$ ?

19. Quelle condition caractérise une asymptote horizontale d’équation $y=L$ au voisinage d’une extrémité ?

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QCM : Limites et continuité — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle de ces expressions appartient aux formes indéterminées de limites ?

2. Lorsqu’une limite rationnelle en un point donne la forme 00\frac{0}{0}00​, quelle démarche permet de poursuivre le calcul ?

3. Quelle limite obtient-on après simplification dans l’expression lim⁡x→−1(x2−1)2x3−6x−5\lim_{x\to-1}\frac{(x^2-1)^2}{x^3-6x-5}limx→−1​x3−6x−5(x2−1)2​ ?

4. Quelle transformation traite une différence de racines qui produit une forme indéterminée ?

5. Quelle est la valeur de lim⁡n→3n+1−3n−52n−6\lim_{n\to3}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{3n-5}}{2n-6}limn→3​2n−6n+1​−3n−5​​ après rationalisation ?

6. Pour étudier à l’infini une expression de la forme ax2+bx+c±a′x+b′\sqrt{ax^2+bx+c}\pm a'x+b'ax2+bx+c​±a′x+b′, quelle comparaison faut-il effectuer en premier ?

7. Quelle est la valeur de lim⁡n→−∞(2n+4n2+1)\lim_{n\to-\infty}\left(2n+\sqrt{4n^2+1}\right)limn→−∞​(2n+4n2+1​) ?

8. Quel encadrement permet de démontrer que lim⁡x→+∞(x+cos⁡x)=+∞\lim_{x\to+\infty}(x+\cos x)=+\inftylimx→+∞​(x+cosx)=+∞ ?

9. Pour tout réel non nul aaa, quelle est la valeur de lim⁡x→0sin⁡(ax)x\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}limx→0​xsin(ax)​ ?

10. Quelle limite obtient-on lorsque le dénominateur est x2x^2x2 dans 1−cos⁡xx2\frac{1-\cos x}{x^2}x21−cosx​ au voisinage de zéro ?

11. Quelle est la valeur de lim⁡x→0cos⁡(2x)−1sin⁡2(3x)\lim_{x\to0}\frac{\cos(2x)-1}{\sin^2(3x)}limx→0​sin2(3x)cos(2x)−1​ ?

12. Quelle est la valeur de lim⁡n→π31−2cos⁡n3−2sin⁡n\lim_{n\to\frac\pi3}\frac{1-2\cos n}{\sqrt3-2\sin n}limn→3π​​3​−2sinn1−2cosn​ ?

13. Si fff et ggg sont dérivables en x0x_0x0​, quelle expression donne la limite de leur quotient d’accroissements lorsque les deux accroissements s’annulent ?

14. Quelles conditions caractérisent la continuité d’une fonction définie par morceaux en x0x_0x0​ ?

15. Pour la fonction définie par morceaux considérée, que peut-on conclure au point x=−1x=-1x=−1 ?

16. Que se passe-t-il pour la fonction considérée au voisinage de x=0x=0x=0, sachant que lim⁡x→0+f(x)=−1\lim_{x\to0^+}f(x)=-1limx→0+​f(x)=−1 et lim⁡x→0−f(x)=1\lim_{x\to0^-}f(x)=1limx→0−​f(x)=1 ?

17. Dans quelle condition une fonction définie sur un point exclu x0x_0x0​ peut-elle être prolongée par continuité en ce point ?

18. Pour g(x)=x2−4x−2g(x)=\frac{x^2-4}{x-2}g(x)=x−2x2−4​ définie sur R∖{2}\mathbb R\setminus\{2\}R∖{2}, quelle conclusion peut-on tirer de lim⁡x→2g(x)=4\lim_{x\to2}g(x)=4limx→2​g(x)=4 ?

19. Quelle condition caractérise une asymptote horizontale d’équation y=Ly=Ly=L au voisinage d’une extrémité ?

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2. Lorsqu’une limite rationnelle en un point donne la forme $\frac{0}{0}$ , quelle démarche permet de poursuivre le calcul ?

3. Quelle limite obtient-on après simplification dans l’expression $\lim_{x\to-1}\frac{(x^2-1)^2}{x^3-6x-5}$ ?

5. Quelle est la valeur de $\lim_{n\to3}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{3n-5}}{2n-6}$ après rationalisation ?

6. Pour étudier à l’infini une expression de la forme $\sqrt{ax^2+bx+c}\pm a'x+b'$ , quelle comparaison faut-il effectuer en premier ?

7. Quelle est la valeur de $\lim_{n\to-\infty}\left(2n+\sqrt{4n^2+1}\right)$ ?

8. Quel encadrement permet de démontrer que $\lim_{x\to+\infty}(x+\cos x)=+\infty$ ?

9. Pour tout réel non nul $a$ , quelle est la valeur de $\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}$ ?

10. Quelle limite obtient-on lorsque le dénominateur est $x^2$ dans $\frac{1-\cos x}{x^2}$ au voisinage de zéro ?

11. Quelle est la valeur de $\lim_{x\to0}\frac{\cos(2x)-1}{\sin^2(3x)}$ ?

12. Quelle est la valeur de $\lim_{n\to\frac\pi3}\frac{1-2\cos n}{\sqrt3-2\sin n}$ ?

13. Si $f$ et $g$ sont dérivables en $x_0$ , quelle expression donne la limite de leur quotient d’accroissements lorsque les deux accroissements s’annulent ?

14. Quelles conditions caractérisent la continuité d’une fonction définie par morceaux en $x_0$ ?

15. Pour la fonction définie par morceaux considérée, que peut-on conclure au point $x=-1$ ?

16. Que se passe-t-il pour la fonction considérée au voisinage de $x=0$ , sachant que $\lim_{x\to0^+}f(x)=-1$ et $\lim_{x\to0^-}f(x)=1$ ?

17. Dans quelle condition une fonction définie sur un point exclu $x_0$ peut-elle être prolongée par continuité en ce point ?

18. Pour $g(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ définie sur $\mathbb R\setminus\{2\}$ , quelle conclusion peut-on tirer de $\lim_{x\to2}g(x)=4$ ?

19. Quelle condition caractérise une asymptote horizontale d’équation $y=L$ au voisinage d’une extrémité ?