Fiche de révision : Limites et continuité

📋 Plan du Cours

1. Formes indéterminées rationnelles
2. Limites avec expressions radicales
3. Limites à l’infini
4. Limites trigonométriques usuelles
5. Limites par équivalents et dérivées
6. Continuité d’une fonction définie par morceaux
7. Prolongement et asymptotes

📖 1. Formes indéterminées rationnelles

★ À maîtriser

📌 Les formes indéterminées rencontrées sont notamment « ∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞/∞ » et « 0/0 ».

• Pour traiter une limite rationnelle en un point où le numérateur et le dénominateur s’annulent, on factorise chacun par le facteur correspondant à ce point, on simplifie puis on calcule la limite.

• Comme $x^3-6x-5=(x+1)(x^2-x-5)$, on obtient $\lim_{x\to-1}\frac{(x^2-1)^2}{x^3-6x-5}=0$ après simplification par $x+1$.

Compléments

• La factorisation $x^3-x^2+3x-10=(x-2)(x^2+x+5)$ permet de simplifier une expression contenant le facteur $x-2$.

💡 Astuce mémo

Identifier la forme → factoriser → simplifier → calculer

📖 2. Limites avec expressions radicales

★ À maîtriser

• Pour une différence de racines donnant une forme indéterminée, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée afin d’utiliser une différence de carrés.

• La limite $\lim_{n\to3}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{3n-5}}{2n-6}$ vaut $-\frac14$ après rationalisation et simplification par $n-3$.

📌 Pour une expression de la forme $\sqrt{ax^2+bx+c}\pm a'x+b'$ à l’infini, on compare d’abord $\sqrt a$ et $a'$ : s’ils sont différents, on factorise ; s’ils sont égaux, on utilise le conjugué.

Compléments

• La limite $\lim_{n\to2}\frac{\sqrt{n+7}-\sqrt{3n-2}-1}{n^2-4}$ est calculée par rationalisation séparée et vaut $-\frac{7}{48}$.

💡 Astuce mémo

Factorisation à l’infini, conjugué pour une différence de racines

📖 3. Limites à l’infini

★ À maîtriser

• La limite $\lim_{n\to-\infty}\left(2n+\sqrt{4n^2+1}\right)$ vaut 0 après utilisation de l’expression conjuguée.

• Pour démontrer que $\lim_{x\to+\infty}(x+\cos x)=+\infty$, on utilise $-1\leq\cos x\leq1$, puis $x-1\leq x+\cos x\leq x+1$.

Compléments

• La limite $\lim_{t\to+\infty}\left(\sqrt{3t^2-1}-2t\right)$ est une forme indéterminée de type $\infty-\infty$.

💡 Astuce mémo

Encadrement par deux fonctions divergentes → limite infinie

📖 4. Limites trigonométriques usuelles

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout réel non nul a, $\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}=a$ et $\lim_{x\to0}\frac{\tan(ax)}{x}=a$.

📐 Formule — Les limites usuelles sont $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0$ et $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$.

• La limite $\lim_{x\to0}\frac{\cos(2x)-1}{\sin^2(3x)}$ vaut $-\frac29$ en utilisant les limites trigonométriques usuelles.

💡 Astuce mémo

SCT : sinus, cosinus, tangente

📖 5. Limites par équivalents et dérivées

📝 Points essentiels

• La limite $\lim_{n\to\frac\pi3}\frac{1-2\cos n}{\sqrt3-2\sin n}$ vaut $-\sqrt3$ après mise sous forme de quotient d’accroissements.

📐 Formule — Lorsque f et g sont dérivables en x₀ et que leurs accroissements s’annulent, on utilise $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$ lorsque le quotient est défini.

💡 Astuce mémo

Quotient d’accroissements de f et de g → quotient des dérivées

📖 6. Continuité d’une fonction définie par morceaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : La continuité de f en x₀ exige que les limites à gauche et à droite existent, soient égales et coïncident avec f(x₀).

📝 Points essentiels

• Pour la fonction définie par morceaux donnée, les limites à gauche et à droite en −1 valent 0 et f(−1)=0, donc la fonction est continue en −1.

• Pour cette même fonction, $\lim_{x\to0^+}f(x)=-1$ tandis que $\lim_{x\to0^-}f(x)=1$, donc elle n’admet pas de limite en 0 et n’est pas prolongeable par continuité en ce point.

💡 Astuce mémo

Limite à gauche → limite à droite → valeur de la fonction

📖 7. Prolongement et asymptotes

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote horizontale : Une droite d’équation y=L est une asymptote horizontale au voisinage d’une extrémité si la limite de la fonction à cette extrémité vaut L.

★ À maîtriser

📌 Une fonction définie sur un point exclu x₀ est prolongeable par continuité en x₀ si sa limite en x₀ existe et est finie.

• Pour $g(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ définie sur $\mathbb R\setminus\{2\}$, on a $\lim_{x\to2}g(x)=4$, donc g est prolongeable par continuité en 2.

Compléments

• Pour la branche définie sur ]−∞;−1[, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1$, donc la droite d’équation $y=-1$ est une asymptote horizontale au voisinage de −∞.

• Pour la branche définie sur ]−1;+∞[\setminus{0}, la limite de f(x) quand x tend vers +∞ vaut +∞.

💡 Astuce mémo

Limite finie en un point exclu : prolongement ; limite finie à l’infini : asymptote

📊 Tableaux de synthèse

Continuité, prolongement et asymptote