Fiche de révision : Limites et continuité des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Limites de référence
2. Opérations sur les limites
3. Limites des fonctions polynomiales et rationnelles
4. Limites à gauche et à droite
5. Composition et formes indéterminées
6. Continuité en un point et prolongement
7. Continuité et monotonie stricte
8. Racines et puissances rationnelles

📖 1. Limites de référence

★ À maîtriser

• Pour tout réel c et tout réel a, $\lim_{x\to a}c=\lim_{x\to +\infty}c=\lim_{x\to -\infty}c=c$.

• Pour tout entier naturel non nul n, $\lim_{x\to +\infty}x^n=+\infty$.

• Lorsque x tend vers 0, $1/x^n$ tend vers +∞ si n est pair, et ses limites à gauche et à droite sont respectivement −∞ et +∞ si n est impair.

Compléments

• Lorsque x tend vers +∞, $\sqrt{x}$ tend vers +∞ et $1/\sqrt{x}$ tend vers 0.

• Les limites de référence en 0 sont $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, $\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x}=0$ et $\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$.

💡 Astuce mémo

Pour les puissances inverses, la parité de n distingue le comportement en 0 : même n donne +∞, impair n change de signe.

📖 2. Opérations sur les limites

📝 Points essentiels

• Si f tend vers l et g tend vers l′ en a, la limite de f+g est l+l′ lorsque cette opération est déterminée.

• Si f tend vers un réel non nul l en a, alors 1/f tend vers 1/l.

📖 3. Limites des fonctions polynomiales et rationnelles

📝 Points essentiels

📌 À l’infini, la limite d’une fonction polynôme est celle de son monôme de plus haut degré.

📌 À l’infini, la limite d’une fonction rationnelle est celle du quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

📖 4. Limites à gauche et à droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite à gauche : Lorsque x tend vers a parmi les éléments de son domaine inférieurs à a, f(x) tend vers l.
• Limite à droite : Lorsque x tend vers a parmi les éléments de son domaine supérieurs à a, f(x) tend vers l.
• Limite à gauche : La limite à gauche d’une fonction f en a vaut l si f(x) tend vers l lorsque x tend vers a en restant dans son domaine et avec x<a.

📝 Points essentiels

📌 Si a appartient à l’intervalle de définition K, f admet une limite en a si et seulement si ses limites à gauche et à droite en a existent, sont égales et valent f(a).

💡 Astuce mémo

À gauche, on approche par x<a ; à droite, par x>a.

📖 5. Composition et formes indéterminées

📝 Points essentiels

📌 Si f(x) tend vers b lorsque x tend vers a et si g(x) tend vers c lorsque x tend vers b, alors (g∘f)(x) tend vers c lorsque x tend vers a.

• Les quatre formes indéterminées sont $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0\times\infty$ et $(+\infty)+(-\infty)$.

📖 6. Continuité en un point et prolongement

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction f définie en a est continue en a si et seulement si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
• Prolongement par continuité : Si a n’appartient pas au domaine de f et si $\lim_{x\to a}f(x)=l$ avec l réel, f est prolongeable par continuité en a en posant h(x)=f(x) sur le domaine de f et h(a)=l.

📝 Points essentiels

• Une fonction qui n’est pas définie en a ne peut pas être continue en a.

• Tout prolongement par continuité h de f en a est continu en a.

💡 Astuce mémo

Une limite finie en un point exclu permet de compléter la fonction par continuité.

📖 7. Continuité et monotonie stricte

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité sur un intervalle : Continue en tout point de l’intervalle K.

★ À maîtriser

• Si f est continue sur K et g est continue sur un intervalle contenant f(K), alors g∘f est continue sur K.

• Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle K réalise une bijection de K sur f(K), et sa bijection réciproque est continue sur f(K) et a le même sens de variation que f.

• Si f est continue et strictement monotone sur K, alors pour tout m appartenant à f(K), l’équation f(x)=m admet une unique solution dans K.

Compléments

📌 La somme et le produit de deux fonctions continues sur un intervalle K sont continus sur K.

📌 Le quotient de deux fonctions continues sur K est continu sur K si la fonction au dénominateur ne s’annule pas sur K.

• Les fonctions polynômes sont continues sur ℝ et les fonctions rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition.

• L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle ou un singleton, et l’image d’un intervalle fermé est un intervalle fermé ou un singleton.

• Si f est continue sur [a;b] et f([a;b])=[m;M], alors M est le maximum et m le minimum de f sur [a;b].

📖 8. Racines et puissances rationnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction racine n-ième : Pour un entier n supérieur ou égal à 2, bijection réciproque de la fonction x↦x^n de ℝ⁺ vers ℝ⁺.
• Fonction puissance rationnelle : Pour un rationnel non nul r, fonction x↦x^r de ℝ⁺ vers ℝ⁺.

📝 Points essentiels

• Pour x réel positif et n entier supérieur ou égal à 2, la racine n-ième de x se note $\sqrt[n]{x}$ ou $x^{1/n}$.

📌 Pour x et y réels positifs et n entier strictement supérieur à 1, $\sqrt[n]{x}\geq 0$.

📌 Pour x réel positif et n entier strictement supérieur à 1, $\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x$.

📐 Formule - Pour r et r′ rationnels et x réel strictement positif, $(x^r)^{r'}=x^{rr'}$.

📐 Formule - Pour r rationnel et x,y réels strictement positifs, $\frac{x^r}{y^r}=\left(\frac{x}{y}\right)^r$.