QCM : Limites et continuité des fonctions (20 questions)

Question 1

1. Pour étudier les limites de $f(x)=\frac{1}{x^3}$ lorsque $x$ tend vers 0, quel couple de limites obtient-on respectivement à gauche et à droite ?

+\infty

des deux côtés

-\infty

à gauche et

+\infty

à droite

+\infty

à gauche et

-\infty

à droite

-\infty

des deux côtés

Explication

Pour un exposant impair, le signe de $1/x^3$ suit celui de $x$ : la limite à gauche vaut $-\infty$ et celle à droite $+\infty$ . Le couple inversé échange les côtés, tandis que deux signes identiques correspondent à la confusion avec un exposant pair.

Answer

$$-\infty$$ à gauche et $$+\infty$$ à droite

Question 2

2. Lorsque $x$ augmente sans borne, vers quelle limite tend $x^5$ ?

1

0

-\infty

+\infty

Explication

Toute puissance $x^n$ avec un entier naturel non nul tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ . La limite n’est donc ni celle d’une fonction réciproque, ni une valeur finie, ni $-\infty$ .

Answer

$$+\infty$$

Question 3

3. Pour calculer la limite de $\frac{\sin x}{x}$ lorsque $x$ tend vers 0, quelle valeur faut-il retenir ?

+\infty

1

-1

0

Explication

La limite de $\sin x/x$ en 0 vaut $1$ . La limite de $(\cos x-1)/x$ vaut $0$ , tandis que les deux limites $\sin x/x$ et $\tan x/x$ valent $1$ .

Answer

$$-\frac{1}{4}$$

Answer

$$-\infty$$

Answer

$$+\infty$$

Answer

La limite à gauche en $$4$$ vaut $$-2$$

Answer

La limite à droite en $$1$$ vaut $$7$$

Answer

La fonction n’a pas de limite en $$a$$ au sens de la propriété énoncée

Answer

$$ (+\infty)+(-\infty)$$

Answer

$$f$$ est continue en $$2$$

Answer

Elle est continue sur $$K$$.

Answer

$$g\circ f$$ est continue sur $$K$$.

Answer

Elle est continue et strictement décroissante.

Answer

Une solution.

Answer

Comme la bijection réciproque de $$x\mapsto x^n$$ de $$\mathbb{R}^{+}$$ vers $$\mathbb{R}^{+}$$.

Answer

La fonction $$x\mapsto x^r$$ de $$\mathbb{R}^{+}$$ vers $$\mathbb{R}^{+}$$.

Question 4

4. Près de $a$ , une fonction $f$ tend vers 4 et une fonction $g$ tend vers $-7$ . Si la somme des limites est déterminée, vers quelle valeur tend $f+g$ ?

3

11

-28

-3

Explication

La limite d’une somme est la somme des limites lorsqu’elle est déterminée : $4+(-7)=-3$ . La valeur $11$ vient de l’addition des valeurs absolues, $3$ de l’ordre inversé et $-28$ de la multiplication.

Question 5

5. Dans un voisinage de $a$ , une fonction $f$ tend vers $-4$ . Vers quelle valeur tend $1/f$ ?

4

\frac{1}{4}

-\frac{1}{4}

-4

Explication

Comme la limite de $f$ est le réel non nul $-4$ , la limite de son inverse est $1/(-4)=-1/4$ . Garder $-4$ oublie l’inversion, tandis que $1/4$ et $4$ résultent d’erreurs de signe ou d’inversion.

Question 6

6. Pour le polynôme $P(x)=-4x^5+3x^2-8$ , quelle est sa limite lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

+\infty

+\infty

en raison du terme de degré cinq

-\infty

-8

Explication

À l’infini, la limite du polynôme est celle de son monôme de plus haut degré, ici $-4x^5$ , qui tend vers $-\infty$ quand $x\to+\infty$ . La réponse $-8$ confond terme constant et terme dominant; $+\infty$ néglige le signe du coefficient dominant.

Question 7

7. Pour $R(x)=\frac{6x^4-2x}{3x^2+5}$ , quelle limite obtient-on lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

\frac{1}{2}

0

2

+\infty

Explication

La limite est celle du quotient des monômes dominants, $\frac{6x^4}{3x^2}=2x^2$ , qui tend vers $+\infty$ . $2$ omet la différence de degrés, $0$ traite à tort le dénominateur comme dominant seul, et $\frac{1}{2}$ inverse le quotient des coefficients.

Question 8

8. Une fonction est définie pour des valeurs de $x$ inférieures à $4$ et, lorsque $x$ s’approche de $4$ par ces valeurs, $f(x)$ tend vers $-2$ . Quelle limite cela décrit-il ?

La limite en

4

vaut

-2

des deux côtés

La valeur de

f(4)

vaut

-2

La limite à droite en

4

vaut

-2

La limite à gauche en

4

vaut

-2

Explication

La limite à gauche s’étudie en faisant tendre $x$ vers $4$ parmi les valeurs du domaine inférieures à $4$ . La limite à droite concerne les valeurs supérieures; une limite bilatérale requiert des informations des deux côtés, et la limite ne donne pas à elle seule $f(4)$ .

Question 9

9. Une fonction est définie pour $x>1$ près de $1$ , et ses valeurs tendent vers $7$ lorsque $x$ s’approche de $1$ depuis ces valeurs. Quelle limite est décrite ?

La limite en

1

vaut

7

des deux côtés

La valeur de la fonction en

1

vaut

7

La limite à gauche en

1

vaut

7

La limite à droite en

1

vaut

7

Explication

La limite à droite correspond à l’approche de $1$ par des valeurs du domaine supérieures à $1$ . Le côté inférieur définit la limite à gauche; une limite bilatérale nécessite les deux côtés, et la limite ne fixe pas la valeur au point.

Question 10

10. Une fonction est définie sur un intervalle contenant $a$ . Ses limites à gauche et à droite en $a$ existent et valent toutes deux $3$ , mais $f(a)=5$ . Que peut-on conclure sur la limite de $f$ en $a$ ?

La fonction a pour limite

3

en

a

puisque les deux côtés concordent

La fonction a pour limite

8

en

a

en additionnant les deux limites

La fonction a pour limite

5

en

a

puisque cette valeur est f(a)

La fonction n’a pas de limite en

a

au sens de la propriété énoncée

Explication

Pour qu’une fonction définie en $a$ admette une limite au sens de cette propriété, ses limites à gauche et à droite doivent exister, être égales et valoir $f(a)$ . Ici, elles valent $3$ alors que $f(a)=5$ ; l’accord des côtés seul ne satisfait donc pas la condition.

Question 11

11. Lorsque $f(x)$ tend vers $-2$ quand $x$ tend vers $3$ et que $g(t)$ tend vers $7$ quand $t$ tend vers $-2$ , vers quelle valeur tend $g(f(x))$ quand $x$ tend vers $3$ ?

-2

g(3)

3

7

Explication

La règle de composition transmet à la composée la limite de g au point vers lequel tend f : ici, la limite vaut $7$ . $-2$ confond la limite de f avec celle de la composée, $3$ reprend le point d’approche de x et $g(3)$ évalue g au mauvais point.

Question 12

12. Parmi les expressions suivantes, laquelle est une forme indéterminée ?

0\times 0

(+\infty)+(-\infty)

\frac{0}{\infty}

(+\infty)+(+\infty)

Explication

La somme de termes tendant respectivement vers $+\infty$ et $-\infty$ est l’une des quatre formes indéterminées. La somme d’infinis de même signe, le produit de deux quantités tendant vers zéro et le quotient $\frac{0}{\infty}$ ne figurent pas parmi ces quatre formes.

Question 13

13. Une fonction $f$ est définie en $a=2$ , avec $f(2)=5$ et $\lim_{x\to 2}f(x)=5$ . Que peut-on conclure sur sa continuité en $2$ ?

f

est discontinue en

2

car la limite doit différer de

f(2)

On ne peut pas conclure sans connaître les valeurs de f ailleurs

f

est continue en

2

f

est discontinue en

2

car sa limite doit être nulle

Explication

Une fonction définie en $a$ est continue en ce point si et seulement si sa limite en $a$ est égale à sa valeur en $a$ ; ici, les deux valent $5$ . Exiger une limite nulle ou différente de $f(2)$ inverse le critère, tandis que connaître les valeurs ailleurs n’est pas nécessaire pour cette conclusion.

Question 14

14. Une fonction $f$ n’est pas définie en $a=4$ , mais $\lim_{x\to 4}f(x)=-3$ . Quelle valeur faut-il attribuer à $h(4)$ pour prolonger $f$ par continuité en $4$ ?

3

-3

4

f(3)

Explication

Pour prolonger f par continuité en a, on conserve ses valeurs sur son domaine et on pose $h(a)=l$ , où l est la limite finie en a ; ici, $h(4)=-3$ . La valeur $4$ reprend le point considéré, $f(3)$ une valeur voisine et $3$ inverse le signe de la limite.

Question 15

15. Une fonction est continue en chaque point de l’intervalle $K$ . Que peut-on conclure sur sa continuité sur $K$ ?

Elle est continue sur tout intervalle contenant

K

.

Elle est continue sur

K

.

Elle est strictement monotone sur

K

.

Elle est continue en au moins un point de

K

.

Explication

La continuité sur un intervalle signifie que la fonction est continue en tout point de cet intervalle. La continuité en un seul point ne suffit pas, et la monotonie est une propriété distincte.

Question 16

16. La fonction $f$ est continue sur $K$ , et $g$ est continue sur un intervalle contenant toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x\in K$ . Quelle propriété s’applique à $g\circ f$ ?

g\circ f

est continue sur l’intervalle de définition de

g

.

f\circ g

est continue sur

K

.

g\circ f

est continue sur

K

.

g\circ f

est strictement monotone sur

K

.

Explication

La composée $g\circ f$ est continue sur $K$ lorsque $f$ y est continue et que $g$ est continue sur un intervalle contenant $f(K)$ . Inverser l’ordre donne une autre composée, et la continuité ne garantit pas la monotonie.

Question 17

17. Une fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur un intervalle $K$ . Quelle propriété possède sa fonction réciproque sur $f(K)$ ?

Elle est continue et strictement décroissante.

Elle est continue et strictement croissante.

Elle est strictement décroissante, mais non continue.

Elle est continue et strictement décroissante sur

K

.

Explication

Une fonction continue et strictement monotone réalise une bijection de $K$ sur $f(K)$ ; sa réciproque est continue sur $f(K)$ et a le même sens de variation. Dire qu’elle croît inverse le sens, tandis que $K$ n’est pas son intervalle de définition.

Question 18

18. Une fonction $h$ est continue et strictement monotone sur $K$ , et $m\in h(K)$ . Combien de solutions l’équation $h(x)=m$ possède-t-elle dans $K$ ?

Une solution.

Deux solutions.

Aucune solution.

Au moins deux solutions.

Explication

La continuité et la stricte monotonie garantissent que chaque valeur de $h(K)$ est atteinte une seule fois dans $K$ . Plusieurs solutions contredisent la stricte monotonie, et l’appartenance de $m$ à l’image garantit l’existence.

Question 19

19. Pour un entier $n\geq 2$ , comment définit-on la fonction racine n-ième sur $\mathbb{R}^{+}$ ?

Comme la bijection réciproque de

x\mapsto x^n

de

\mathbb{R}^{+}

vers

\mathbb{R}^{+}

.

Comme la bijection réciproque de

x\mapsto x^n

de

\mathbb{R}

vers

\mathbb{R}

.

Comme la fonction

x\mapsto x^n

de

\mathbb{R}^{+}

vers

\mathbb{R}^{+}

.

Comme la fonction

x\mapsto x^r

de

\mathbb{R}^{+}

vers

\mathbb{R}^{+}

.

Explication

La fonction racine n-ième est la réciproque de la fonction puissance $x\mapsto x^n$ lorsque celle-ci est considérée de $\mathbb{R}^{+}$ vers $\mathbb{R}^{+}$ . La puissance directe et la fonction d’exposant rationnel $r$ sont des notions distinctes, et la définition donnée porte sur les réels positifs.

Question 20

20. Pour un rationnel non nul $r$ , quelle fonction désigne la puissance d’exposant $r$ ?

La fonction

x\mapsto x^r

de

\mathbb{R}^{+}

vers

\mathbb{R}^{+}

.

La bijection réciproque de

x\mapsto x^n

de

\mathbb{R}^{+}

vers

\mathbb{R}^{+}

.

La fonction

x\mapsto x^{1/r}

de

\mathbb{R}^{+}

vers

\mathbb{R}^{+}

.

La fonction

x\mapsto x^n

de

\mathbb{R}^{+}

vers

\mathbb{R}^{+}

.

Explication

Pour un rationnel non nul $r$ , la fonction puissance d’exposant $r$ associe à $x$ la valeur $x^r$ sur $\mathbb{R}^{+}$ . L’exposant entier $n$ et l’exposant inverse $1/r$ désignent d’autres fonctions, tandis que la réciproque de $x\mapsto x^n$ est la fonction racine n-ième.

QCM : Limites et continuité des fonctions (20 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour étudier les limites de $f(x)=\frac{1}{x^3}$ lorsque $x$ tend vers 0, quel couple de limites obtient-on respectivement à gauche et à droite ?

2. Lorsque $x$ augmente sans borne, vers quelle limite tend $x^5$ ?

3. Pour calculer la limite de $\frac{\sin x}{x}$ lorsque $x$ tend vers 0, quelle valeur faut-il retenir ?

4. Près de $a$ , une fonction $f$ tend vers 4 et une fonction $g$ tend vers $-7$ . Si la somme des limites est déterminée, vers quelle valeur tend $f+g$ ?

5. Dans un voisinage de $a$ , une fonction $f$ tend vers $-4$ . Vers quelle valeur tend $1/f$ ?

6. Pour le polynôme $P(x)=-4x^5+3x^2-8$ , quelle est sa limite lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

7. Pour $R(x)=\frac{6x^4-2x}{3x^2+5}$ , quelle limite obtient-on lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

8. Une fonction est définie pour des valeurs de $x$ inférieures à $4$ et, lorsque $x$ s’approche de $4$ par ces valeurs, $f(x)$ tend vers $-2$ . Quelle limite cela décrit-il ?

9. Une fonction est définie pour $x>1$ près de $1$ , et ses valeurs tendent vers $7$ lorsque $x$ s’approche de $1$ depuis ces valeurs. Quelle limite est décrite ?

10. Une fonction est définie sur un intervalle contenant $a$ . Ses limites à gauche et à droite en $a$ existent et valent toutes deux $3$ , mais $f(a)=5$ . Que peut-on conclure sur la limite de $f$ en $a$ ?

11. Lorsque $f(x)$ tend vers $-2$ quand $x$ tend vers $3$ et que $g(t)$ tend vers $7$ quand $t$ tend vers $-2$ , vers quelle valeur tend $g(f(x))$ quand $x$ tend vers $3$ ?

12. Parmi les expressions suivantes, laquelle est une forme indéterminée ?

13. Une fonction $f$ est définie en $a=2$ , avec $f(2)=5$ et $\lim_{x\to 2}f(x)=5$ . Que peut-on conclure sur sa continuité en $2$ ?

14. Une fonction $f$ n’est pas définie en $a=4$ , mais $\lim_{x\to 4}f(x)=-3$ . Quelle valeur faut-il attribuer à $h(4)$ pour prolonger $f$ par continuité en $4$ ?

15. Une fonction est continue en chaque point de l’intervalle $K$ . Que peut-on conclure sur sa continuité sur $K$ ?

16. La fonction $f$ est continue sur $K$ , et $g$ est continue sur un intervalle contenant toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x\in K$ . Quelle propriété s’applique à $g\circ f$ ?

17. Une fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur un intervalle $K$ . Quelle propriété possède sa fonction réciproque sur $f(K)$ ?

18. Une fonction $h$ est continue et strictement monotone sur $K$ , et $m\in h(K)$ . Combien de solutions l’équation $h(x)=m$ possède-t-elle dans $K$ ?

19. Pour un entier $n\geq 2$ , comment définit-on la fonction racine n-ième sur $\mathbb{R}^{+}$ ?

20. Pour un rationnel non nul $r$ , quelle fonction désigne la puissance d’exposant $r$ ?

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QCM : Limites et continuité des fonctions (20 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour étudier les limites de f(x)=1x3f(x)=\frac{1}{x^3}f(x)=x31​ lorsque xxx tend vers 0, quel couple de limites obtient-on respectivement à gauche et à droite ?

2. Lorsque xxx augmente sans borne, vers quelle limite tend x5x^5x5 ?

3. Pour calculer la limite de sin⁡xx\frac{\sin x}{x}xsinx​ lorsque xxx tend vers 0, quelle valeur faut-il retenir ?

4. Près de aaa, une fonction fff tend vers 4 et une fonction ggg tend vers −7-7−7. Si la somme des limites est déterminée, vers quelle valeur tend f+gf+gf+g ?

5. Dans un voisinage de aaa, une fonction fff tend vers −4-4−4. Vers quelle valeur tend 1/f1/f1/f ?

6. Pour le polynôme P(x)=−4x5+3x2−8P(x)=-4x^5+3x^2-8P(x)=−4x5+3x2−8, quelle est sa limite lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞ ?

7. Pour R(x)=6x4−2x3x2+5R(x)=\frac{6x^4-2x}{3x^2+5}R(x)=3x2+56x4−2x​, quelle limite obtient-on lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞ ?

8. Une fonction est définie pour des valeurs de xxx inférieures à 444 et, lorsque xxx s’approche de 444 par ces valeurs, f(x)f(x)f(x) tend vers −2-2−2. Quelle limite cela décrit-il ?

9. Une fonction est définie pour x>1x>1x>1 près de 111, et ses valeurs tendent vers 777 lorsque xxx s’approche de 111 depuis ces valeurs. Quelle limite est décrite ?

10. Une fonction est définie sur un intervalle contenant aaa. Ses limites à gauche et à droite en aaa existent et valent toutes deux 333, mais f(a)=5f(a)=5f(a)=5. Que peut-on conclure sur la limite de fff en aaa ?

11. Lorsque f(x)f(x)f(x) tend vers −2-2−2 quand xxx tend vers 333 et que g(t)g(t)g(t) tend vers 777 quand ttt tend vers −2-2−2, vers quelle valeur tend g(f(x))g(f(x))g(f(x)) quand xxx tend vers 333 ?

12. Parmi les expressions suivantes, laquelle est une forme indéterminée ?

13. Une fonction fff est définie en a=2a=2a=2, avec f(2)=5f(2)=5f(2)=5 et lim⁡x→2f(x)=5\lim_{x\to 2}f(x)=5limx→2​f(x)=5. Que peut-on conclure sur sa continuité en 222 ?

14. Une fonction fff n’est pas définie en a=4a=4a=4, mais lim⁡x→4f(x)=−3\lim_{x\to 4}f(x)=-3limx→4​f(x)=−3. Quelle valeur faut-il attribuer à h(4)h(4)h(4) pour prolonger fff par continuité en 444 ?

15. Une fonction est continue en chaque point de l’intervalle KKK. Que peut-on conclure sur sa continuité sur KKK ?

16. La fonction fff est continue sur KKK, et ggg est continue sur un intervalle contenant toutes les valeurs de f(x)f(x)f(x) pour x∈Kx\in Kx∈K. Quelle propriété s’applique à g∘fg\circ fg∘f ?

17. Une fonction fff est continue et strictement décroissante sur un intervalle KKK. Quelle propriété possède sa fonction réciproque sur f(K)f(K)f(K) ?

18. Une fonction hhh est continue et strictement monotone sur KKK, et m∈h(K)m\in h(K)m∈h(K). Combien de solutions l’équation h(x)=mh(x)=mh(x)=m possède-t-elle dans KKK ?

19. Pour un entier n≥2n\geq 2n≥2, comment définit-on la fonction racine n-ième sur R+\mathbb{R}^{+}R+ ?

20. Pour un rationnel non nul rrr, quelle fonction désigne la puissance d’exposant rrr ?

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Crée tes propres QCM

1. Pour étudier les limites de $f(x)=\frac{1}{x^3}$ lorsque $x$ tend vers 0, quel couple de limites obtient-on respectivement à gauche et à droite ?

2. Lorsque $x$ augmente sans borne, vers quelle limite tend $x^5$ ?

3. Pour calculer la limite de $\frac{\sin x}{x}$ lorsque $x$ tend vers 0, quelle valeur faut-il retenir ?

4. Près de $a$ , une fonction $f$ tend vers 4 et une fonction $g$ tend vers $-7$ . Si la somme des limites est déterminée, vers quelle valeur tend $f+g$ ?

5. Dans un voisinage de $a$ , une fonction $f$ tend vers $-4$ . Vers quelle valeur tend $1/f$ ?

6. Pour le polynôme $P(x)=-4x^5+3x^2-8$ , quelle est sa limite lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

7. Pour $R(x)=\frac{6x^4-2x}{3x^2+5}$ , quelle limite obtient-on lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

8. Une fonction est définie pour des valeurs de $x$ inférieures à $4$ et, lorsque $x$ s’approche de $4$ par ces valeurs, $f(x)$ tend vers $-2$ . Quelle limite cela décrit-il ?

9. Une fonction est définie pour $x>1$ près de $1$ , et ses valeurs tendent vers $7$ lorsque $x$ s’approche de $1$ depuis ces valeurs. Quelle limite est décrite ?

10. Une fonction est définie sur un intervalle contenant $a$ . Ses limites à gauche et à droite en $a$ existent et valent toutes deux $3$ , mais $f(a)=5$ . Que peut-on conclure sur la limite de $f$ en $a$ ?

11. Lorsque $f(x)$ tend vers $-2$ quand $x$ tend vers $3$ et que $g(t)$ tend vers $7$ quand $t$ tend vers $-2$ , vers quelle valeur tend $g(f(x))$ quand $x$ tend vers $3$ ?

13. Une fonction $f$ est définie en $a=2$ , avec $f(2)=5$ et $\lim_{x\to 2}f(x)=5$ . Que peut-on conclure sur sa continuité en $2$ ?

14. Une fonction $f$ n’est pas définie en $a=4$ , mais $\lim_{x\to 4}f(x)=-3$ . Quelle valeur faut-il attribuer à $h(4)$ pour prolonger $f$ par continuité en $4$ ?

15. Une fonction est continue en chaque point de l’intervalle $K$ . Que peut-on conclure sur sa continuité sur $K$ ?

16. La fonction $f$ est continue sur $K$ , et $g$ est continue sur un intervalle contenant toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x\in K$ . Quelle propriété s’applique à $g\circ f$ ?

17. Une fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur un intervalle $K$ . Quelle propriété possède sa fonction réciproque sur $f(K)$ ?

18. Une fonction $h$ est continue et strictement monotone sur $K$ , et $m\in h(K)$ . Combien de solutions l’équation $h(x)=m$ possède-t-elle dans $K$ ?

19. Pour un entier $n\geq 2$ , comment définit-on la fonction racine n-ième sur $\mathbb{R}^{+}$ ?

20. Pour un rationnel non nul $r$ , quelle fonction désigne la puissance d’exposant $r$ ?