Fiche de révision : Limites et convergence des suites

📋 Plan du Cours

1. Théorèmes de comparaison des limites
2. Limites des suites géométriques
3. Monotonie et convergence des suites
4. Étude des suites définies par récurrence

📖 1. Théorèmes de comparaison des limites

★ À maîtriser

📌 Si, à partir d’un certain rang, $v_m\leq u_m\leq w_m$ et si $v_m$ et $w_m$ convergent toutes deux vers le réel $l$, alors $u_m$ converge vers $l$.

📌 Si, à partir d’un certain rang, $u_m\geq v_m$ et si $v_m$ tend vers $+\infty$, alors $u_m$ tend vers $+\infty$.

Compléments

• Pour $u_m=\frac{\sin(m)}{m}$ avec $m\in\mathbb N^*$, l’encadrement $-\frac1m\leq u_m\leq\frac1m$ montre par le théorème des gendarmes que $u_m$ tend vers 0.

• Pour $u_m=m+\cos(m)$, l’encadrement $m-1\leq u_m\leq m+1$ et la limite de $m-1$ égale à $+\infty$ établissent que $u_m$ tend vers $+\infty$ par comparaison.

💡 Astuce mémo

Deux bornes vers la même limite encadrent ; une borne divergente entraîne la suite.

📖 2. Limites des suites géométriques

★ À maîtriser

• Pour un réel $q>1$, la suite $q^m$ tend vers $+\infty$.

• Pour $q\leq-1$, la suite $q^m$ n’a pas de limite.

Compléments

• Pour $q=1$, la suite $q^m$ tend vers 1.

• L’inégalité de Bernoulli affirme que, pour $x>0$ et tout entier naturel $m$, $(1+x)^m\geq1+mx$.

• Pour $u_m=-4\times5^m$, la limite de $5^m$ étant $+\infty$, la suite $u_m$ tend vers $-\infty$.

• La suite $u_m=\frac{(-2)^m}{3}$ n’a pas de limite, car $-2\leq-1$ et la suite $(-2)^m$ n’a pas de limite.

📖 3. Monotonie et convergence des suites

📝 Points essentiels

• Si une suite croissante converge vers un réel $l$, alors $l$ est un majorant de la suite.

• Si une suite décroissante converge vers un réel $l$, alors $l$ est un minorant de la suite.

• Toute suite croissante et majorée converge.

• Toute suite décroissante et minorée converge.

• Toute suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$.

• Toute suite décroissante et non minorée tend vers $-\infty$.

💡 Astuce mémo

Monotonie + borne → convergence ; monotonie sans borne opposée → divergence vers l’infini.

📖 4. Étude des suites définies par récurrence

★ À maîtriser

• Pour déterminer la limite d’une suite récurrente croissante et majorée, on établit d’abord sa convergence, puis on note sa limite $l$ et on utilise la relation de récurrence et l’unicité de la limite pour déterminer $l$.

Compléments

📌 Pour une suite définie par $u_{m+1}=f(u_m)$, si $f$ est croissante sur $$[0;+[ $ $, la suite est croissante.

📌 Pour une suite définie par $u_{m+1}=f(u_m)$, si $f$ est décroissante sur $[0;+[$, la suite est décroissante.

• Pour $u_0=1$ et $u_{m+1}=\frac13u_m+2$, la suite croissante et majorée par 3 converge vers 3, obtenu en résolvant $l=\frac13l+2$.

💡 Astuce mémo

Montrer la monotonie, établir une borne, puis identifier la limite par l’équation de récurrence.