Limites et convergence des suites

📋 Plan du Cours

1. Théorèmes de comparaison des limites
2. Limites des suites géométriques
3. Monotonie et convergence des suites
4. Étude des suites définies par récurrence

📖 1. Théorèmes de comparaison des limites

★ À maîtriser

📌 Si, à partir d’un certain rang, $v_m\leq u_m\leq w_m$ et si $v_m$ et $w_m$ convergent toutes deux vers le réel $l$, alors $u_m$ converge vers $l$.

📌 Si, à partir d’un certain rang, $u_m\geq v_m$ et si $v_m$ tend vers $+\infty$, alors $u_m$ tend vers $+\infty$.

Compléments

• Pour $u_m=\frac{\sin(m)}{m}$ avec $m\in\mathbb N^*$, l’encadrement $-\frac1m\leq u_m\leq\frac1m$ montre par le théorème des gendarmes que $u_m$ tend vers 0.

• Pour $u_m=m+\cos(m)$, l’encadrement $m-1\leq u_m\leq m+1$ et la limite de $m-1$ égale à $+\infty$ établissent que $u_m$ tend vers $+\infty$ par comparaison.

💡 Astuce mémo

Deux bornes vers la même limite encadrent ; une borne divergente entraîne la suite.

📖 2. Limites des suites géométriques

★ À maîtriser

• Pour un réel $q>1$, la suite $q^m$ tend vers $+\infty$.

• Pour $q\leq-1$, la suite $q^m$ n’a pas de limite.

Compléments

• Pour $q=1$, la suite $q^m$ tend vers 1.